Übungsaufgaben: Zentrische Streckung + Strahlensätze ZS/SS

Übungsaufgaben: Zentrische Streckung + Strahlensätze
ZS/SS
Mathematik
T. Hunziker, dipl. math., dipl. ML
www.hunziker.jimdo.com
- Hilfsmittel: Taschenrechner, Formelblatt GBMS, Geodreieck, Lineal, Zirkel
- Runden Sie Resultate wenn nötig auf 2 Stellen nach dem Komma.
Aufgabe 1
Unten sehen Sie einen Winkel, der von 2 Parallelen geschnitten wird. Berechnen Sie x und y:
1.5
2.4
x
2.4
1.8
y
Aufgabe 2
Die drei markierten Winkel sind 90°. Berechnen Sie x, y, z und w:
4
2
3
z
x
y
10
w
Aufgabe 3
Mit welchem Streckfaktor muss man eine Figur strecken, damit sich seine Fläche halbiert?
Aufgabe 4
Gegeben ist das abgebildete Dreieck ABC. Konstruieren Sie eine zentrische Streckung mit
Streckzentrum B, so dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks verdoppelt. Mit kurzem KB.
C
A
B
Mai 16
Aufgabe 5
a) Strecken Sie das Viereck mit dem Streckfaktor k =
2
,
3
S
S ist das Streckzentrum. Bezeichnen Sie
das neue Viereck mit A'B'C'D'. Ohne KB.
b) In welchem ganzzahligen Verhältnis
stehen die Strecken
SC : SC' ?
SA' : AA ' ?
B
C
A 'B ' : AB ?
D
c) Um wieviele Prozent ist B 'C ' kürzer als BC ?
d) Um wieviel Prozent ist BC länger als B 'C ' ?
A
e) Um wieviel Prozent hat der Flächeninhalt bei der
Streckung abgenommen?
Aufgabe 6
In einem Trapez ABCD messen die Parallelseiten AB = 10.5 cm und CD = 4.5 cm. Die Verlängerungen
der beiden Schenkel treffen sich im Punkt E. Der Abstand des Punktes E von CD beträgt 3.6 cm.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABE.
Aufgabe 7
Die Winkel EDC und DAB sind 90°. EC ist parallel zu DB.
Berechnen Sie x und y!
C
15 cm
y
B
16cm
x
E
D
A
12 cm
Lösungen
Aufgabe 1
y
1.5
=
1.8
2.4
1.5
2.4
x
x
2.4
=
2.4
1.5+2.4
2.4
y = 1.125
1.8
y
x = 1.48
Aufgabe 2
4
x =
2
3
z
x
z
z+2
=
3
4
y
10
√ 62 −32
x = 5.20
y =
√102 −w2
y =
√102−5 2
w
y = 8.66
4z = 3(z+2)
w
10
=
3
z
4z = 3z+6
w
10
=
3
6
z=6
w=5
Aufgabe 3
Mit welchem Streckfaktor muss man eine Figur strecken, damit sich seine Fläche halbiert?
Lösung: mit dem Streckfaktor
k =
√
1 . Auch richtig sind k =
2
√ 0.5
oder k
= 0.71.
Aufgabe 4
Gegeben ist das abgebildete Dreieck ABC. Konstruieren Sie eine zentrische Streckung mit
Streckzentrum B, so dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks verdoppelt. Mit kurzem KB.
KB:
- Strahlen von B aus durch A und C
- Quadrat über die Seite BC
- Diagonale abtragen >> C‘
- AC parallel verschieben durch C‘ >> A‘
C'
C
A'
A
B
Aufgabe 5
a) Strecken Sie das Viereck mit dem Streckfaktor
2
k=
, S ist das Streckzentrum. Bezeichnen
3
Sie das neue Viereck mit A'B'C'D'. Ohne KB.
SA' : AA ' ?
3:2
A 'B ' : AB ?
2:1
B
C'
b) In welchem ganzzahligen Verhältnis
stehen die Strecken
SC : SC ' ?
B'
S
D'
C
2:3
D
c) Um wieviele Prozent ist B 'C ' kürzer als BC ?
um 33.33%
A'
d) Um wieviel Prozent ist BC länger als B 'C ' ?
um 50%
A
e) Um wieviel Prozent hat der Flächeninhalt bei der
Streckung abgenommen?
2
k = 0.444.. ---> Neue Fläche ist 44.44... % der alten Fläche
100%−44.44 % = 55.56 %
Aufgabe 6
In einem Trapez ABCD messen die Parallelseiten AB = 10.5 cm und CD = 4.5 cm. Die Verlängerungen
der beiden Schenkel treffen sich im Punkt E. Der Abstand des Punktes E von CD beträgt 3.6 cm.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABE.
Skizze:
Fläche Dreieck ABE:
3.6
3.6+x
=
4.5
10.5
E
3.6
D
4.5
3.6⋅10.5 = 4.5⋅(3.6+x)
C
AΔ ABE =
AB⋅h
2
A Δ ABE =
10.5⋅8.4
2
37.8 = 16.2+4.5 x
x
21.6 = 4.5 x
10.5
A
Aufgabe 7
Berechnen Sie x und y!
Lösung:
PB = 12cm
PC =
√BC −PB
2
2
B
Idee, um y zu berechnen: die Dreiecke EDC und DAB sind ähnlich.
Somit gilt:
EC
DB
=
DC
AB
AB = PD = 16− 9 = 7cm wobei DB =
AC =
√ 162+122
A Δ ABE = 44.1cm 2
4.8 = x
√122+72
C
= 13.892 cm
= 20cm
x
AB
=
AC−x
CD
y
13.892
=
16
7
x
7
=
20 −x
16
→ y = 31.75 cm
15 cm
y
16cm
P
140
→x =
= 6.09cm
23
E
D
B
Q
x
A
12 cm