Übungsbeispiele für die 2. Schularbeit (zweistündig)

Übungsbeispiele für die 2. Schularbeit (zweistündig)
(6A, Gymnasium, 2010/11)
Diese Beispiele sollen durch jene für
Den zweiten Teil der Analytischen
Raumgeometrie relevanten Grundaufgaben [Treffnormalenbestimmung
windschiefer Geradenpaare, Schnitt
(gerade) zweier Ebenen (inkl. Anwendungen: Umkreis- und Umkugelmittelpunkt von Dreieck und dreiseitiger Pyramide, Höhenschnittpunkt eines Dreiecks), Berechnung der Winkelmaße zwischen Ebenen sowie
zwischen Gerade und Ebene)] führen, die du bei der 2. Schularbeit in jedem Fall unter Beweis stellen wirst müssen.
ACHTUNG! Ein bloßes
erworbenen Kenntnisse bei der Schularbeit auf Problemstellungen anzuwenden hast, die zwar nicht gänzlich neuartig,
aber zum Teil in der Form wie bei der Schularbeit gestellt in dieser Aufgabensammlung nicht enthalten sind! Ein
eigenständiges Lösen dieser Aufgaben (bis auf jene, die wir in diversen Schulübun-gen gemeinsam bearbeiten werden)
ist eine absolute Notwendigkeit für ein angemessenes Übungsprogramm!
Seitenlänge 3
1) Ermittle im Würfel ABCDEFGH die Treffnormale der Flächendiagonalen AH und BE. In welchem
Verhältnis teilen deren Endpunkte P und Q diese Diagonalen? Zeige, dass n parallel zu einer
Raumdiagonale (Länge d) des Würfels verläuft und ermittle das Verhältnis PQ : d !
Welche Raumdiagonale?
BEACHTE FÜR EINIGE DER FOLGENDEN AUFGABENSTELLUNGEN DIE
UNTEREN BEIDEN ABBILDUNGEN, DIE ILLUSTRIEREN, WIE SICH DAS
REGELMÄSZIGE TETRAEDER AUS DEM WÜRFEL ABLEITEN LÄSZT!
2) Das in nebenstehender Abbildung illustrierte regelmäßige Tetraeder ist aus einem Würfel der Seitenlänge 42 abzuleiten, wobei zum Lösen der folgenden Aufgaben das bereits eingezeichnete Koordinatensystem zu verwenden ist. Q entsteht wie abgebildet durch Drittelung der Tetraederkante AD,
P ist der Mittelpunkt der Tetraederkante CD.
a) Zeige, dass gAP und gBQ aufeinander normal stehen!
b) In welchem Verhältnis teilen die Endpunkte R und S der Treffnormale der
Strecken AP und BQ die jeweilige Strekke (ikonische oder verbale Antwort!)?
3) In nebenstehend abgebildetem Tetraeder (abzuleiten
aus einem Würfel der Kantenlänge 70, wobei das bereits eingezeichnete Koordinatensystem zu verwenden
ist!) wurden die Kanten AC und BD jeweils in zehn
gleich lange Teile geteilt. R ist von A nach C betrachtet
der erste Teilungspunkt, S ist von B nach D betrachtet
der dritte Teilungspunkt. P und Q bezeichnen die Endpunkte der Treffnormale der Höhen MABC und MBCD.
a) In welchem Verhältnis teilt P bzw. Q
die Länge der Strecke MABC bzw. MBCH
(ikonische oder verbale Antwort!)?
b) Zeige, dass gPQ parallel zu gRS verläuft
und ermittle das Verhältnis PQ : RS !
c) Berechne für den Punkt R(0|–130|6) das Maß des Winkels α = ∠ PQR!
4) Der nebenstehende Würfel
ABCDEFGH hat eine Seitenlänge von 130. M1 und
M2 sind der Abbildung zu
entnehmende Kantenmittelpunkte, P und Q sind die
Endpunkte der Treffnormale der Strecken M1G und
M2H. R bzw. T entsteht wie
abgebildet durch eine Unterteilung der Kante DH bzw.
EF in drei bzw. sieben gleich
lange Teile. S liegt auf der
Strecke AR derart, dass
AS = 6 ⋅ SR gilt. Verwende
zum Lösen der folgenden Aufgaben das bereits eingezeichnete Koordinatensystem!
a) In welchem Verhältnis teilt
P bzw. Q die Länge der Strecke M1G bzw. M2H (ikonische oder verbale Antwort!)?
a) Zeige, dass gPQ parallel zur Gerade gTS verläuft! In welchem Verhältnis stehen die Längen der Strecken PQ und TS zueinander?
c) Berechne für den Punkt R(89|321|42) das Maß des Winkels α = ∠ PQR!
5) Der in nebenstehender Abbildung illustrierte Würfel
hat eine Seitenlänge von 34, die Punkte P und Q
bezeichnen die Endpunkte der Treffnormale der
Geraden durch A und MCG sowie durch MAD und G.
Verwende zum Lösen der folgenden Aufgaben
das bereits eingezeichnete Koordinatensystem!
a) In welchem Verhältnis teilt P bzw. Q die jeweilige Strecke (ikonische oder verbale Antwort!)?
b) Berechne für R(13/19/26) das
Maß des Winkels α = ∠ QPR!
BEACHTE FÜR EINIGE WENIGE DER FOLGENDEN AUFGABEN DIE UNTERE LINKE ABBILDUNG, DIE ILLUSTRIERT, WIE SICH DAS OKTAEDER AUS DEM WÜRFEL ABLEITEN LÄSZT!
Nota bene: Aufgabe 6 ist für "Feinspitze" gedacht
und setzt die selbständige Auseinandersetzung
mit der linken oberen Abbildung voraus!
6)
Das in nebenstehender Abbildung illustrierte Oktaeder ist aus einem
Würfel der Seitenlänge 140 abzuleiten. Q ist der Mittelpunkt der Oktaederkante CF, P entsteht wie abgebildet durch Spiegelung von MAE an E.
a) Zeige, dass gAQ und gDP aufeinander normal stehen!
b) In welchem Verhältnis teilen die Endpunkte R und
S der Treffnormale der Strecken AQ und DP die jeweilige Strecke (ikonische oder verbale Antwort!)?
AT = 6 ⋅ TE gilt. U
BU = 6 ⋅ UC gilt. V
c) T liegt auf der Oktaederkante AE derart, dass
liegt auf der Oktaederkante BC derart, dass
ist der Mittelpunkt der Strecke BU, W der Spiegelpunkt von V an B.
Zeige, dass gRS parallel zu gTW verläuft und ferner RS = 53 ⋅ TW gilt!
7) Wie deutlich ersichtlich ein ehemaliges Schularbeitsbeispiel:
8) Ebenso leicht erkennbar: ein weiteres ehemaliges Schularbeitsbeispiel:
9) Nebenstehender Würfel hat eine Seitenlänge von 87,
bis auf die Punkte T und U sind alle Punkte durch
Drittelung entsprechender Strecken entstanden.
a) Ermittle die Treffnormale der Geraden gPQ
und gRS inkl. der Koordinaten der Endpunkte
V (auf gPQ) und W (auf gRS). Verwende dazu
das bereits eingezeichnete Koordinatensystem!
b) Berechne für den Punkt N(22|21|169)
das Maß des Winkels α = ∠NVW !
c) Verifiziere folgende Konstruktion für die Endpunkte V und W der Treffnormale: T ist von P
nach Q betrachtet der vierte von 29 Teilungspunkten, U von R nach S betrachtet der neunte
von 29 Teilungspunkten. Dann ist V bzw. W der Spiegelpunkt von T an P bzw. von U an R.
10) In nebenstehender Abbildung ist ein
Würfel (Kantenlänge 4) zusammen mit
einem Kantenmittelpunkt (J) illustriert.
a) Ermittle unter Verwendung des bereits eingezeichneten Koordinatensystems die Treffnormale der Geraden gBC und gGJ. In welchem Verhältnis teilt P bzw. Q (siehe Abbildung!) die Strecke BC bzw. GJ?
b) Berechne für den Punkt R(19|84|0)
das Maß des Winkels α = ∠QPR !
11) Ermittle eine Parameterdarstellung der Schnittgerade s
der Ebenen ε1 und ε2 [ε1: x+9y+3z=33, ε2: x+4y+z=13].
12) Ermittle eine Parameterdarstellung der Schnittgerade s
der Ebenen ε1 und ε2 [ε1: 3x+y+2z=20, ε2: 5x+3y–2z=28].
13) Ermittle eine Parameterdarstellung der Schnittgerade s
der Ebenen ε1 und ε2 [ε1: 2x+y+3z=38, ε2: 4x+3y–5z=–12].
14) Vom Dreieck ∆ABC[A(23|14|–30), B(9|–14|–58), C(–22|17|66)] sind sowohl die Koordinaten
des Umkreismittelpunkts U zu berechnen als auch eine Parameterdarstellung der
Drehachse des Umkreises k aufzustellen sowie der Umkreisradius zu berechnen.
15) Vom Dreieck ∆ABC[A(29|10|33), B(21|–22|–31), C(–28|34|18)] sind sowohl die Koordinaten
des Umkreismittelpunkts U zu berechnen als auch eine Parameterdarstellung der
Drehachse des Umkreises k aufzustellen sowie der Umkreisradius zu berechnen.
16) Vom Dreieck ∆ABC[A(46|13|–22), B(26|–17|–82), C(–42|0|71)] sind sowohl die Koordinaten
des Umkreismittelpunkts U zu berechnen als auch eine Parameterdarstellung der
Drehachse des Umkreises k aufzustellen sowie der Umkreisradius zu berechnen.
5017) In nebenstehender Abbildung
ist ein Würfel der Kantenlänge
12 zusammen mit der Trägergerade g einer Flächendiagonale
sowie der Trägergerade h einer
Raumdiagonale illustriert. P ist
der Mittelpunkt der Strecke AM.
a) Ermittle eine Parameterdarstellung der Treffgerade t
von g und h durch P!
b) Ermittle die Schnittpunkte Q
und R von t mit g und h und
drücke deren Lage auf allen
drei Geraden durch entsprechende Teilverhältnisse
aus! Zeige ferner, dass t
auf eine der beiden Geraden g und h normal steht!
5018) In nebenstehender Abbildung
ist ein Würfel der Kantenlänge
60 zusammen mit der Trägergerade g einer Flächendiagonale
sowie der Trägergerade h einer
Raumdiagonale illustriert. P ist
der Mittelpunkt der Strecke MC.
a) Ermittle eine Parameterdarstellung der Treffgerade t
von g und h durch P!
b) Ermittle die Schnittpunkte Q und R von t mit g und h
und drücke deren Lage auf allen drei Geraden durch
entsprechende Teilverhältnisse aus! Zeige ferner, dass
t auf eine der beiden Geraden g und h normal steht!
5019) In nebenstehender Abbildung
ist ein Würfel der Kantenlänge
30 zusammen mit der Trägergerade g einer Flächendiagonale
sowie der Trägergerade h einer
Raumdiagonale illustriert. P ist
der Mittelpunkt der Kante BC.
a) Ermittle eine Parameterdarstellung der Treffgerade t
von g und h durch P!
b) Ermittle die Schnittpunkte Q und R von t mit g
und h und drücke deren Lage auf allen drei Geraden durch entsprechende Teilverhältnisse aus!
20)
21)
Lsg. für 20): U(-9/1/-5), r=39
Lsg. für 21): U(10/-3/-1), r=51
22)
12. HÜ (bis Di, 30.11.):
Ausschnitt aus:
23)
Raum für Notizen:
24) Der Würfel in nebenstehender Abbildung weist eine Seitenlänge von 24
auf, M ist der Mittelpunkt der
Kante BP. Berechne vom
Dreieck ∆RQM
a)
die Koordinaten des
Höhenschnittpunkts H,
b)
die Koordinaten des
Umkreismittelpunkts U,
c)
mittels vektorieller
Schwerpunktformel
die Koordinaten des
Schwerpunkts S.
d)
Kontrolliere, dass H, S und U
kollinear liegen (EULER-Gerade e),
und zwar so, dass HS = 2 ⋅ SU gilt.
e)
Zeige, dass e parallel zu gQR verläuft. In welchem
Verhältnis stehen die Längen der Strecken QR und HU?
f)
Die in e) genannte Eigenschaft
trifft genau dann zu, wenn das
Produkt der Tangenswerte
jener Dreiecksinnenwinkel,
welche der zu e parallelen
Seite anliegen,
exakt 3 ergibt.
Verifiziere diesen
Lehrsatz am vorliegenden Beispiel!
25) Wie 24) mit nebenstehender Abbildung, wobei Q
der Mittelpunkt der Kante
TU ist und P durch Viertelung
der Flächendiagonale MN entsteht,
wobei der Würfel die Seitenlänge 72 aufweist
und das Dreieck ∆PQR zu betrachten ist.
26) Weise die Richtigkeit der Behauptung über den
Schnittwinkel in nebenstehendem Jahresberichtsartikel nach, indem du den Würfel (Seitenlänge 1
genügt!) in ein geeignetes Koordinatensystem legst!
27) Im regelmäßigen Tetraeder ABCD spannen der Eckpunkt B, der Kantenmittelpunkt MCD und der Dreieckschwerpunkt S∆ACD eine Ebene ε1 auf. Ist M der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kantenmittelpunkte
MBC und MAD und P der Spiegelpunkt von M an MAD,
so spannen auch die Punkte B, D und P eine Ebene ε2
auf. Alexandra (siehe obere Abbildung rechts!) behauptet, dass der spitze Schnittwinkel zwischen ε1 und ε2
45° beträgt. Monsieur Cerise (siehe obere Abbildung
links!) ist aber fest davon überzeugt, dass der spitze
Schnittwinkel zwischen ε1 und ε2 60° beträgt. Wer der
beiden behält nun Recht? Leite das Tetraeder
aus einem Würfel mit der Kantenlänge 6 ab!
28) Wie Aufgabe 27), wobei die Ebene ε1 wie in Aufgabe 27) definiert
ist und ε2 durch die Punkte A, D und Q geht. Dabei liegt Q auf der
Kante BC derart , dass QC = 3 ⋅ BQ gilt. Denise (rechte Abbildung
links) behauptet, dass der spitze Schnittwinkel zwischen ε1 und ε2
30° beträgt. Anna (rechte Abbildung rechts!) ist aber
fest davon überzeugt, dass der spitze Schnittwinkel
zwischen ε1 und ε2 60° beträgt. Hat eine der beiden
Damen Recht? Falls ja, welche? Leite das Tetraeder
aus einem Würfel mit der Kantenlänge 12 ab!
29) Wie Aufgabe 27), wobei die Ebene ε1 wie in Aufgabe
27) definiert ist und ε2 durch die Punkte A, C und S
geht. Dabei kommt S folgendermaßen zustande: Die
Kante AB werde in acht gleich lange Teile geteilt, R
sei von A nach B betrachtet der dritte Teilungspunkt.
Nun werde die Strecke DR in drei Teile geteilt und diese Unterteilung über R hinaus fortgesetzt, S
sei von D aus betrachtet der achte Teilungspunkt. Caroline (obere Abbildung links) behauptet, dass
der spitze Schnittwinkel zwischen ε1 und ε2 30° beträgt. Conny (obere Abbildung rechts!) ist aber
fest davon überzeugt, dass der spitze Schnittwinkel zwischen ε1 und ε2 45° beträgt. Hat eine der
beiden Damen Recht? Falls ja, welche? Leite das Tetraeder aus einem Würfel mit der Kantenlänge 24 ab!
30) In nebenstehend abgebildetem Würfel (Kantenlänge 5cm)
liegt P exakt 2cm von F und Q exakt 1cm von H entfernt.
R ist der Spiegelpunkt von B an F. ε1 (waagrecht und senkrecht schraffiert) bezeichne die Ebene durch A, P und Q,
ε2 (diagonal schraffiert) bezeichne die Ebene durch A, H
und R. Berechne unter Verwendung des bereits eingezeichneten Koordinatensystems das Maß des spitzen Schnittwinkels zwischen ε1 und ε2.
31)
In nebenstehend abgebildetem
Würfel (Kantenlänge 5cm) liegt P
exakt 2cm von F und Q exakt
1cm von H entfernt. R ist der
Spiegelpunkt von D an C. ε1
(waagrecht und senkrecht
schraffiert) bezeichne die Ebene
durch A, P und Q, ε2 (von links
unten nach rechts oben schraffiert
und teilweise durch ε1 verdeckt)
bezeichne die
Ebene durch A, H
und R. Berechne
unter Verwendung des bereits
eingezeichneten
Koordinatensystems das Maß des
spitzen Schnittwinkels zwischen
ε1 und ε2.
32) In obig abgebildetem Würfel ABCDEFGH (Kantenlänge 2) sind die Punkte P, Q und R durch
Hinzufügen und Halbieren von (weiteren) Würfelkanten und Flächendiagonalen entstanden. Julia
(siehe an die Seite AE angefügtes Quadrat!) hat behauptet, dass der spitze Winkel zwischen den Ebenen
εBPR und εBPQ 30° misst und bekam für diese falsche Behauptung doch glatt ein "zweites
Gesicht" verpasst.
☺ Wie groß ist denn nun tatsächlich das Maß dieses spitzen Schnittwinkels?
33) In nebenstehender Abbildung sind
die Punkte P und Q Diagonalenschnittpunkte von Würfeln, welche
an den Würfel ABCDEFGH
(Seitenlänge 2) angehängt wurden.
Christine versucht uns mit ihrem
Blick einzureden, dass der Winkel
zwischen den Dreiecken(!) ∆CPE
und ∆EPQ exakt 120° misst. Beweise
oder korrigiere Christines Behauptung!