Übersicht zu Grundlagen der Stochastik

Wissenswertes 009 …
1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mengentheoretische Grundlagen1:
Die Anzahl n der Elemente oder auch Ereignisse ωi (i ∈ {1, 2, …, n}) einer Menge Ω
heißt Betrag oder Mächtigkeit von Ω, kurz: |Ω|. ωi (i ∈ {1, 2, …, n}) heißt Elementarereignis von Ω, wenn ωi ∩ ωj = ∅ für alle i,j ∈ {1, 2, …, n} (i ≠ j).
Laplace – Wahrscheinlichkeit:
Für die Teilmenge A einer Menge Ω mit ωi (i ∈ {1, 2, …, n}) gilt wegen:
(
)
1
P ωi , i∈{1,..., n} =
n
144
42444
3
⇒ P( A) = ∑ P(ω a ) =
Laplace → Gleichverteilung
der Wahrscheinlichkeiten der
Elementarereignisse
ωa ∈A
A
Ω
2. Axiome von Kolmogoroff:
P( A) ≥ 0 für alle A ⊂ Ω P(Ω ) = 1 Normierung
P ( A ∪ B ) = P( A) + P (B ), wenn A ∩ B = ∅ Additionss atz
Gegenereignis:
A = Ω / A heißt Gegenereignis zu A
P ( A ) = 1 − P ( A)
3. Wichtige Formeln zur Wahrscheinlichkeit:
P( A ∪ B ) = P( A) + P(B ), wenn A ∩ B = ∅
P( A ∪ B ) = P( A) + P(B ) − P( A ∩ B ) Sylvestersatz
P( A ∩ B )
(bedingte Wahrscheinlichkeit )
P ( A)
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P(B ) stochastische Unabhängigkeit von A und B
P( A / B ) =
4. Kombinatorik
Permutationen der Elemente einer n - elementigen Menge:
Fakultät: n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 (verschiedene Anordnungsmöglichkeiten von n
unterscheidbaren Elementen ohne Wiederholung) Beachte: 0! = 1.
k – Permutationen von k Elementen einer n - elementigen Menge:
n!
(verschiedene Auswahlmöglichkeiten von k
nk ! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) =
(n − k )!
unterscheidbaren Elementen einer n – elementigen Menge mit Berücksichtigung ihrer
Reihenfolge)
k – Kombinationen von k Elementen einer n - elementigen Menge ohne Wiederholung:
⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
(verschiedene Auswahlmöglichkeiten von k unterscheidbaren Elemen⎝ k ⎠ (n − k )!⋅k !
ten einer n – elementigen Menge ohne Berücksichtigung ihrer Reihenfolge)
1
Betrachtungen über relative Häufigkeiten und absolute Häufigkeiten bleiben unberücksichtigt.
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k – Kombinationen von k Elementen einer n - elementigen Menge mit Wiederholung:
⎛ n + k − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟ (verschiedene Auswahlmöglichkeiten von k unterscheidbaren Elementen ei⎝ k
⎠
ner n – elementigen Menge ohne Berücksichtigung ihrer Reihenfolge)
5. Urnenmodelle
Urnenmodell I:
Es treten die Merkmale S und W auf. (Gleichzeitige) Entnahme von n aus N Elementen ohne Zurücklegen, wobei s aus S und w aus W Merkmalsträger entnommen werden sollen (s + w = n; S + W = N).
⎛ S ⎞ ⎛W ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
s
w
⎛ S ⎞ ⎛W ⎞
A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ → P( A) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛N⎞
⎝s⎠ ⎝ w⎠
⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
bilden!
Urnenmodell II:
Kumuliert: Summen über mögliche Teiergebnisse
Es treten nur Treffer (Wahrscheinlichkeit p) und Niete (q = 1 – p) auf. Ziehen mit Zurücklegen ergibt unter der Berücksichtigung der möglichen Kombinationen des Zustandekommens des erwünschten Ergebnisses:
⎛n⎞
⎛n⎞
P( A) = B(n, p , k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ q n − k = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p )n − k = Ppn, k
⎝k ⎠
⎝k ⎠
Kumuliert: Summen über mögliche Teiergebnisse bilden! Die zugrundeliegende Verteilung heißt Binomialverteilung!
6. Stochastische Unabhängigkeit / Vierfeldertafel:
Es seien die Merkmale A und B gegeben. A heißt stochastisch unabhängig von B (und
umgekehrt), wenn P( A) ⋅ P(B ) = P( A ∩ B ) . Ist A und B stoch. unabhängig, so sind auch
alle anderen Kombinationen von Ereignissen und Gegenereignissen zueinander stoch.
unabhängig!
B
B
∑
A
P( A ∩ B )
P(A ∩ B )
P ( A)
A
P (A ∩ B )
P (A ∩ B )
P (A )
∑
P (B )
P (B )
1
7. Ergänzungen / besondere Aufgaben2:
Binomialverteilte Zufallsgröße / Gesucht n:
Wie oft muss ein Experiment mindestens wiederholt werden, damit mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von P mindestens einmal ein Treffer erziehlt wird?
Ansatz: B(n, p, k ≥ 1) = 1 − B(n, p , k = 0) ≥ P ⇔ n ≥ ln(1− P ) ln(1− p )
2
Es wird kein Anspruch auf Vollständigkeit erhoben! Selten im Abitur behandelten Stoffgebiete bitte nochmal selber
auswerten!
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Hypothesentest (relevante Version: Entscheidungsregel bestimmen):
Nullhypothese bestimmen; Annahmebereich / Ablehnungsbereich allgemein aufstellen;
Signifikanzniveau α auswerten; zugeordnete Binomialverteilungsfunktion aufstellen;
zugehöriges k aus Tafelwerk entnehmen!
Beispiel:
H0: „p0 ≤ p“; A0 = {1, 2, …, k}; A1 = {k+1; …; n}; α;
k
B(n, p0 , i ≤ k ) = ∑ B(n, p0 , i ) ≤ α ⎯⎯
⎯→ k = ...
TW
i =0
Beispiel:
H0: „p0 ≥ p“; A0 = {k+1; …; n}; A1 = {1, 2, …, k}; α;
k −1
B(n, p0 , i ≥ k ) = 1 − B(n, p0 , i ≤ k − 1) = ∑ B(n, p0 , i ) ≤ (1 − α ) ⎯⎯
⎯→ k = ...
i =0
TW