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DETERMINANTEN
UND
MATRIZEN
VO N
DR. FRITZ NEISS
OBERSTUDIENRAT,
A. PL. PROFESSOR A . D .U NIVERS !TAT IN BERLIN
ZWEITE, VERBESSERTE AUFLAGE
MIT 1 ABBILDUNG
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1943
ISBN 978-3-662-36184-9
ISBN 978-3-662-37014-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-37014-8
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1941 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Ursprünglich erschienen bei Springer-V erlag OHG in Berlin 1941
Vorwort.
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die ich mehrfach als Einführung in die höhere Mathematik an den Universitäten
Halle und Berlin gehalten habe.
Es soll dazu beitragen, die Schwierigkeiten zu überwinden, die sich
dem Studierenden beim Übergang von der Schule zur Hochschule bieten.
Diese ergeben sich z. T. daraus, daß der Lernende, von der Schule her
an die Form des abfragenden Unterrichts gewöhnt, vielfach noch nicht
die Reife für die Übermittelung des Stoffes durch akademische Vorlesungen besitzt. Denn hier bleibt die Kontrolle darüber, ob wirklich
alles verstanden ist, der eigenen Initiative und Selbstkritik überlassen.
Es ist daher anzustreben, den Studenten besonders im Anfang
seines Studiums zur stärkeren aktiven Mitarbeit heranzuziehen. Diese
soll außer im Lösen von Aufgaben gelegentlich auch in der Wiedergabe
des in der Vorlesung gebrachten Stoffes sowie in Referaten einzelner
Abschnitte des Buches bestehen. Auf diese Weise tritt an die Stelle der
Vorlesung teilweise eine geleitete Lektüre.
An Vorkenntnissen wird so wenig wie möglich vorausgesetzt. Kombinatorik, binomischer Satz und andere Dinge, die noch in das Pensum
der Schule gehören, werden daher entwickelt, jedoch in einer Form,
die sich vom elementaren Unterricht loslöst und den Studierenden
gleich zu Anfang mit Hilfsmitteln vertraut macht, die ihm neu, aber
für strenge Durchführung mathematischer Beweise von grundlegender
Bedeutung sind.
Es ist dies in erster Linie der Induktionsschluß. Seine vielfache Verwendung kann den Anfänger zunächst befremden; ebenso verhält es
sich mit dem Aufbau der Determinantentheorie nach der WEIERSTRASSschen Definition. Trotzdem habe ich diese Darstellung gewählt. Denn
erstens werden so die Beweise kurz und einfach, und die ganze Theorie
gewinnt an Schönheit und Eleganz, zweitens soll neben der Übermittelung des Stoffes eine Einführung in mathematische Methoden und Gedankengänge überhaupt erfolgen, wie sie im elementaren Unterricht
nicht gegeben werden können.
In der Behandlung der linearen Gleichungen bin ich einer Anregung
des Herrn Prof. H. W. E. JUNG, Halle, gefolgt.
Die Paragraphen 13, 14, 15 und 16 sind für die folgenden Kapitel
nicht erforderlich und können übergangen werden.
IV
Vorwort.
In den Anwendungen wird die Bedeutung der Determinanten und
i\latrizen für die analytische Geometrie gezeigt. Besonderer Wert ist
darauf gelegt, die Grundlagen für das Rechnen mit Vektoren zu schaffen.
Die Übungsaufgaben bieten keine besonderen Schwierigkeiten.
Einige davon sind mir von Assistenten gegeben worden, sie stammen
aus Vorlesungen, die früher an der Berliner Universität gehalten wurden.
Besonderen Dank schulde ich dem Verlag, der trotz der schwierigen Zeitlage das Erscheinen in so kurzer Zeit ermöglichte.
Charlottenburg, Oktober 1941.
NE ISS.
Vorwort zur zweiten Auflage.
In der zweiten Auflage ist noch ein Kapitel über quadratische Formen hinzugefügt worden. Es enthält die wichtigsten Sätze über die
charakteristische Gleichung einer symmetrischen Matrix und die Hauptachsentransformation. Sonst sind keine wesentlichen Veränderungen
vorgenommen worden.
Charlottenburg, August 1943.
NE ISS.
Inhaltsverzeichnis.
Erstes Kapitel: Allgemeine Vorbemerkungen.
§ I. Induktionsschluß . . . . . . .
§ 2. Gebrauch des Summenzekhens
§ 3. Aufgaben
. . . . . . . .
§
§
§
§
§
4.
5.
6.
7.
8.
Zweites Kapitel: Kombinatorik.
Permutationen
Kombinationen .
Binomischer Satz .
Gerade und ungerade Permutationen .
Aufgaben
Seite
1
2
3
4
5
6
9
10
Drittes Kapitel: Determinanten.
§ 9. Die Determinante nach LEIBNIZ • . .
§ 10. Die Determinante nach WEIERSTRASS
§ ll.
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
§ 16.
§ 17.
§
§
§
§
§
§
Sätze über Determinanten. . . . . .
Beispiele, Aufgaben, Anwendungen . .
Erweiterung der Weierstraßschen Definition .
Satz von LAPLACE . . . . . . . . . .
Yerallgemeinertes Multiplikationstheorem
Satz von SYLVESTER . . . . . . .
Aufgaben
....... .
Viertes Kapitel: Matrizen.
18. Rechnen mit Matrizen
19. Cramersche Regel, inverse, transponierte, orthogonale Matrizen
20. Aufgaben . . . . . . . . . . . .
21. Geometrische Anwendungen . . . .
22. Transformation einer Matrix au·f die Diagonalform .
23. Rang einer :\latrix . . . . . . .
ll
14
19
24
31
32
33
35
36
37
41
47
48
58
62
Fünftes Kapitel: Systeme Ii nearer Gleichungen.
§ 24.
§ 25.
§ 26.
§ 27.
Allgemeine Lösung eines Systems linearer Gleichungen .
Lineare Abhängigkeit . · . . . . . . . .
Zusätze zur Lösung linearer Gleichungen . . . . . . .
Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . .
66
71
76
77
Sechstes Kap;tel: Hauptachsentransformation.
§ 28. Die charakteristische Gleichung . . . . . . . . .
§ 29. Orthogonale Transformation quadratischer Formen .
84
Sachverzeichnis . . . . . . .
91
§ 30. Invarianten quadratischer Formen
86
88
Erstes Kapitel.
Allgemeine Vorbemerkungen.
§ 1. Der Induktionsschluß.
Ein in der Mathematik häufig gebrauchtes Beweisverfahren ist der
Schluß der vollständigen Induktion, auch Schluß von n auf n + I genannt. Zur Erläuterung dieser Schlußweise beweisen wir folgende
Formel:
I + 2 -l- 3 + · · · J.. n = n (n 2+ 1) >
I
'
wo n eine positive ganze Zahl ist. Man kann die Richtigkeit dieser Formel für besondere Werte von n leicht durch Einsetzen bestätigen, z. B.
für
n = I ist: I = 1 (1: 1),
n = 4: I
+ 2 -;-' 3 + 4 =
+ 1)
4· (4
2
usw.
Derartige Proben kann man beliebig vermehren. Will man indessen aus
diesen einzelnen Feststellungen folgern, daß die Formel für jeden Wert
von n richtig ist, so ist dies ein Schluß vom Besonderen zum Allgemeinen,
er wird Induktionsschluß genannt und ist in dieser Form als mathematischer Beweis nicht zulässig.
Dagegen ist folgende Schlußweise bindend:
Wir überzeugen uns durch Einsetzen zunächst von der Richtigkeit
der Formel für n = I. Dann nehmen wir an, die Formel sei für allen< r
bewiesen, wo unter r eine beliebige feste, positive ganze Zahl zu verstehen ist. Vielleicht erscheint es im ersten Augenblick widersinnig, das
als richtig anzunehmen, was doch erst bewiesen werden soll. Das trifft
aber nicht zu; denn die Arinahme bezieht sich nur auf alle n < r, der
Beweis soll aber die Gültigkeit der Formel für alle n erbringen. Wir
zeigen jetzt: Wenn die Annahme erfüllt sein sollte, d. h. wenn die Formel
für n < r richtig ist, dann ist sie auch für die folgende Zahl r + I richtig,
oder anders ausgedrückt:
Voraussetzung: I+2+···+n=
n(n+ 1)
2
fürn~r.
l)r +
Behauptung: (n wird durch r +I ersetzt)
I + 2 + ··· + r + r + I =
Neiß, Determinanten.
2.
Aufl.
(r
+
2l.
2
Allgemeine Vorbemerkungen.
Zum Beweis wird die Summe I + 2 + ··· + r in die nach der Vor· F orm r (r + 1) gesc hne
· ben. Danac h 1
aussetzung zu1äss1ge
autet die Be2
hauptung:
r (r
+ 1) + r + l
2
(r
=
+ 1) (r + 2)
2
'
eine Identität, wie man durch Umformung leicht bestätigt.
Damit ist der Beweis natürlich noch nicht fertig, es ist nur gezeigt:
Wenn die Formel etwa für allen :::; I7 richtig ist, dann ist sie es auch für
n = I8. Die Beweisführung beruhte auf einer Annahme, deren Gültigkeit zunächst noch offen ist und einstweilen nur für n = I feststeht.
Daher gilt aber die Formel, wie eben gezeigt wurde, auch für n = 2,
ebenso kommt man von n = 2 zu n = 3, und diese Schlußweise kann beliebig weit fortgesetzt werden.
Der Induktionsschluß ist, wie man sieht, nur zu gebrauchen, wenn der
zu beweisende Satz eine Aussage über eine ganze Zahl enthält. Es ist
auch nicht immer gesagt, daß die Gültigkeit bei n = I anfängt, sie kann
auch schon bei n = 0 oder erst an einer späteren Stelle einsetzen.
§ 2. Gebrauch des Summenzeichens.
2: (großes griechisches Sigma) ist das Summenzeichen. Ist /(e) eine
Funktion von (!, die nur für ganzzahlige (! erklärt zu sein braucht, und
will man die Summe
/(I) + /(2) + ·· · + f(n)
bilden, so schreibt man dafür
"
.2:/(e),
e=l
lies: "Summe von(! = I bis n"; d. h.: es werden für(! der Reihe nach die
Zahlen I, 2, bis n eingesetzt, und die so erhaltenen Werte /(e) werden
addiert. Häufig tritt der Summationsbuchstabe als Index auf:
n
.J.:ae = al
e=l
+ a2 +
... +an.
Auf die Bezeichnung dieser Zahl kommt es nicht an, daher ist:
n
_2av
v-1
n
n-1
p=l
i=O
= .:Eae = ;Ea;.+l,
eist durch .it + I ersetzt; wenn(! die Werte von I bis n durchläuft, geht
.it von 0 bis n - I.
Die Regel für die Multiplikation zweier Summen nimmt jetzt folgende Form an:
n.
m
e=I
i.=I
n
m
.};a11 .J.:b;. =.2 ;Ea11 b;..
e=I i.=I
3
§ 3. Aufgaben.
Die rechte Seite ist eine Doppelsumme, denn e und I. durchlaufen unabhängig von einander die Werte von 1 bis n bzw. von 1 bis m. Natürlich
müssen hier die beiden Summationsbuchstaben verschieden bezeichnet
werden.
§ 3. Aufgaben.
Folgende Formeln sind durch vollständige Induktion zu beweisen.
Die linken Seiten sind bei Aufgabe 1 bis 7 auf zwei Arten geschrieben,
um den Leser an den Gebrauch des Summenzeichens zu gewöhnen.
II
I.
..2)(!2 =
P
+ 22 + ... + n2 =
p
+ 23 + ... + n3 =
e=O
n
2. 2.,;"Te3
=
e~o
3
"
\""1
1
· L.J ((!- 1) e
e=2
n
"
4 · L.J
e=1
1
(!
= _1_
1·2
((! + 2) =
1
N
n (n
c t 1)r
... -
_1_
+2·3 +
5 · L.J (!
((!
e~t
1
1-
(n-
1
+ 2-"4 + ··· +
1
1
+ 1) ((! + 2) = 1 · 2 · 3
11
1) n
"qr!
L.;
e=O
=
11 -
1
11
3 11 2 + 5 11
1
(n +2) = 4 (11 + 1) (n + 2)
1
+ 2 · 31· 4 + ··· + n (n + 1) (n +
n 2: 1
2)
+ 3)
+ 1) (1! + 2)
n (n
4 (11
n-1
6.
n>o
(n
n
"
n>o
+ 1)6(2 n + 1)
=
1
+ q + q2 + ... + qn-1 =
q" - 1
q-1
n
e~2
n
8
''.!?_=')_n+2
2"
. L.; 2f
e=l
9.
n
..2)cos (e x)
x)
.
Sill
e~O
x)
cos ( ;
sin (n ; 1
= ------X
2
10. Jede ganze Zahl N läßt sich auf die Form bringen:
N = Eo + E 1 ·3 + E2 3 2 + ··· + En 3n,
+
I, 0, - I annehmen dürfen.
wo die Größen E0 , E1, • •• , En nur die Werte
Il. Man beweise die Bernoullische Ungleichung:
(I + p)n > 1 + np
für p >
-
I und n positiv und ganz.
1*
4
Kombinatorik.
Zweites Kapitel.
Kombinatorik.
§ 4. Permutationen.
n! (lies "n Fakultät") ist für ganze positive n als das Produkt der
n Zahlen 1, 2, 3, ... , n erklärt, also
n! = I·2·3 .. . n;
für n = 0 wird ergänzend 0! = I gesetzt. Danach ist: 1! = I; 2! = 2;
3! = 6; 4! = 24; 5! = I20; 6! = 720 usw.
Es seien a, b, c, ... eine Anzahl begrifflich unterschiedener Dinge,
die auch Elemente genannt werden. Eine bestimmte Anordnung derselben heißt eine Permutation; z. B. sind acb; bac; abc Permutationen
der drei Elemente ab c.
Satz 1: Die Anzahl der verschiedenen Permutationen von n Elementen (sie soll mit P n bezeichnet werden) ist n!.
Beweis: Für n = 1 ist P 1 = I! = 1. Wir nehmen an, für n < r sei
P n = n !, wo r eine feste' Zahl bezeichnet, und zeigen, daß auch
Pr+ 1 = (r + 1)! ist.
Um alle Permutationen von r + I Elementen zu bilden, denken wir
uns alle von r Elementen aufgestellt: ab c. . . sei eine solche. x ist ein
r + l tes Element. Aus jeder Permutation von r Elementen machen wir
durch Hinzufügen von x genau r + 1 Permutationen von r + l Elementen, indem x erst an den Anfang, dann zwischen das erste und
zweite Element usw. gesetzt wird:
xabc ...
axbc ...
abxc ...
abcx ...
Verfährt man in gleicher Weise mit allen r! Permutationen der r Elemente, so erhält man alle Permutationen der r
I Elemente und jede
nur einmal, daher ist:
+
Pr+l =Pr (r +I) = r! (r + l) = (r + 1)!.
Permutationen mit Wiederholungen sind solche, bei denen
einzelne Elemente mehrfach auftreten, z. B. aaabb. Ihre Anzahl ergibt
sich aus folgendem
Satz 2: a möge a.mal, b möge {Jmal usw. vorkommen, dann ist die
Anzahl P der verschiedenen Permutationen:
P= rx!{J!
-'-''....
Für das obige Beispiel ist n = 5, a. = 3, fJ = 2, also P = 10.
Beweis: Wir denken uns alle verschiedenen Permutationen dieser
Art hingeschrieben, z. B.:
abcaacab ...
5
§ 5. Kombinationen.
An die Elemente a fügen wir Indices:
a1 bca 2 a3 ca 4 b ...
und permutieren unter Beibehaltung derb, c nur die a1 , a 2 , a 3 ,
•.. ,
etwa:
a3 bca 1 a4 ca 2 b ...
Man erhält aus jeder Permutation Ot! neue, bei denen die a 1 , a 2 , a 3 , ••• , als
verschieden anzusehen sind. Insgesamt ist also Pat! die Anzahl der
verschiedenen Permutationen von den n Elementen:
a 1 a 2 ••• a"' b b . .. c c . .. ,
wo die a1 , a 2 , a 3 ••• verschieden sind und nur unter den b bzw. c gleiche
auftreten können. Wendet man dasselbe Verfahren auf die b, dann auf
die c an, so erhält man alle Permutationen von n verschiedenen Elementen, deren Anzahl n! ist. Also:
Poc! {3! ... = n!
§ 5. Kombinationen.
p sei eine positive ganze Zahl, n beliebig, dann wird das Zeichen (;)
(lies "n über p"), wie folgt, erklärt:
( n)
z.
B.:
p
=
n (n - 1) .•. (n-
1·2 ... p
p + 1)
•
7. 6= 56 • (' 221) = ! (1!· 2- 1)
(8)3 = 8.1·2·3
Für p = 0 wird ergänzend (~) = I festgesetzt.
Da wir im folgenden das Symbol nur für positive ganzzahlige n gebrauchen, soll jetzt n eine solche Zahl bezeichnen. Ist p > n, so kommt
im Zähler einmal der Faktor 0 vor. Also ist
für n
< p.
Für 0 :S: p :S: n läßt sich das Symbol durch Einführung von q = n - p
in eine symmetrische Form bringen, indem mit q! erweitert wird:
(;) =
p~~~,'
woraus (;) = (;) sofort zu erkennen ist. Das ist auch für p = 0, q = n
richtig:
Satz 3:
II\ = (11)
(o)
n =I.
n ) = ("P+1.
+ 1)
(n)p , (P+l
I
6
Kombinatorik.
Diese Formel ergibt sich leicht, wenn man die beiden Brüche links gleichnamig macht und addiert:
n!
n!
p!q!+ (P+1)!(q-1)!
11! (p + 1) + n! q
(P+1)!q!
=n!(p+q+1)= (n+1)! =("+I)
(p + 1)! q
(P + 1)! q!
p +I .
Für p > n ist die Formel auch richtig, ebenfalls für beliebige n.
Satz 4: (;) ist immer eine ganze Zahl.
Beweis durch Induktion nach n. Für n = 1 ist der Satz richtig,
weil
(~) =
G) = 1 , sonst (!) = 0. Ferner ist (~) = 1 für jedes n, wir
brauchen nur noch p > 1 zu betrachten. Angenommen, (;) sei für n < r,
wo r einen festen Wert bezeichnet, und alle p bereits als ganzzahlig erkannt, dann ist für p > 1:
(r~1) = (;)
+ (p_:_ 1);
das ist die Summe zweier ganzen Zahlen, also ist der Satz auch für
n = r + 1 richtig.
Greift man aus n verschiedenen Elementen p heraus, wobei es auf
die Reihenfolge nicht ankommt, so heißt eine solche Zusammenstellung
eine Kombination von n Elementen zur pten Klasse. Z. B. sind acd,
bce, ade Kombinationen der fünf Elemente abcde zur dritten Klasse.
Satz 5: Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur ptrn Klasse
ist (;).
Nimmt man aus n Elementen
p heraus, so bleiben q übrig, die dann
alle Kombinationen zur pten Klasse bilden. In der Tat ist (;) = (;) .
Erster Beweis durch Induktion nach p. Es sein eine feste Zahl,
und p durchlaufe die Werte von 1 bis n. Für p = 1 ist(;)= n, und nMöglichkeiten gibt es, aus n Elementen eines herauszunehmen. Bis zu p = r,
wo 1 < r < n, sei der Satz bewiesen, dann lassen sich die Kombinationen
zur r + I ten Klasse folgendermaßen abzählen: Wir bilden alle Kombinationen zur rtrn Klasse, deren Anzahl(:) ist, und setzen jedesmal eines
der übrigen n - r Elemente dazu, so daß aus jeder Kombination zur rten
Klasse n - r Kombinationen zur r + I ten Klasse entstehen. So erhält
man alle Kombinationen zur r + 1ten Klasse und jede einzelner + 1 mal,
denn jedes der r + I Elemente einer solchen Kombination kann das
hinzugefügte r + 1te Element sein. Demnach ist die Anzahl der verschiedenen Kombinationen zur r + 1trn Klasse:
(:): ~; =
(r: 1) .
7
§ 6. Der binomische Satz.
Zweiter Beweis. Er wird gezeigt, daß die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur pten Klasse gleich der Anzahl der Permutationen
von n Elementen ist, von denen je p und je q einander gleich sind:
aa ... abb ... b
I2...
n
In der ersten Zeile steht pmal a und q mal b, in der zweiten entsprechend
darunter die Zahlen von I bis n, so daß unter jeden Buchstaben eine
Zahl kommt. Führen wir in der ersten Zeile eine Permutation aus und
lassen die Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge darunter stehen:
babaa .. .
I2345 .. .
so bilden die unter den a stehenden Zahlen eine Kombination von n Elementen zur pten Klasse. Jeder solchen Permutation wird dadurch eine
und nur eine Kombination zugeordnet und umgekehrt. Die Anzahl der
Permutationen ist bekannt, nämlich gleich p~!! = (;), und dies ist
auch die Anzahl der verschiedenen Kombinationen.
Dritter Beweis durch Induktion nach n. Für n =I ist der Satz
richtig, ebenso für p = I und jedes n, daher betrachten wir nur p > I.
Wir nehmen an, er sei für alle n < r und für jedes p bewiesen. Alle Kombinationen von r
I Elementen zur ptcn Klasse sollen jetzt in der Weise
gebildet werden, daß unter den r + I Elementen eines hervorgehoben
wird (es möge x genannt werden), und die Kombinationen in solche eingeteilt werden, die x enthalten, und in solche, die x nicht enthalten.
+
(p :_
Die Anzahl der ersteren ist
1 ), denn läßt man x weg, so bleiben alle
Kombinationen der restlichen r Elemente zur p - 1ten Klasse übrig,
deren Anzahl auf Grund der Induktionsannahme bekannt ist. Die Kombinationen ohne x sind einfach diejenigen von r Elementen zur pten
Klasse, deren Anzahl (;) ist. Insgesamt ist also nach Satz 3:
die gesuchte Anzahl der Kombinationen von r
Klasse.
~
<
+I
Elementen zur pten
6. Der binomische Satz.
Für ganzzahlige positive n und beliebige a und b ist
8
Kombinatorik.
wo diese Summe über alle Werte p und q zu erstrecken ist, für die
p + q = n ist.
Der Beweis wird entweder so geführt, daß man das Produkt
(a + x 1 ) (a + x 2) •• • (a + x")
ausmultipliziert, nach Potenzen von a ordnet und dann x 1 = x 2 = x3
= · · · = b setzt, oder durch Induktion nach n:
Multipliziert man die als richtig angenommene Gleichung
,
(a
beiderseits mit a
+ b,
+ b)' = J;(;) a•-P bP
JJ=O
so wird
,
(a + b)r+l =}; (;) a•-p+I bP +}; (;)ar-p bP+I
,
p=O
P=O
r
r-1
= ar+I +}; (;) ar-p+I bP +}; (;)ar-P bP+l + br+l .
p=O
P=l
In der zweiten Summe wird p durch p - I ersetzt und die Summation
von p = I bis p = r erstreckt:
=
ar+I
= a•+l
r
r
p=l
p=l
+ ..E(;) ar-p+l bP + J;(p..:. 1) ar-p+I bP + br+l
r
+ L.J
'\IIL'.(')
,p + (p-r I )l a•-P+l bP + br+I =
.J
P=l
r+I
)'(' +
pl)ar-p+l bP
~
I
p~O
was zu beweisen war.
Eine entsprechende Formel für eine Summe von drei Gliedern erhält
man, wenn b = c + d gesetzt wird:
(a
+ c + d)" =
=
=
"
L.J
p!nl~! a" (c
r+q=n
+ d)<r
Z
n!
11!
} ; --a"
-·-erd'
p!q!
r! s!
p+q=n
r+s=q
n'
Z --·-a"c'd'
p! r! s!
'
wo p, r, s alle Werte annehmen, für die p + r + s = n ist. Das Verfahren
läßt sich auf Summen von beliebig vielen Gliedern ausdehnen, und so
erhält man den polynomischen Satz:
(a1
,,
11!
+ a 2 + ... + a,)" = L.; Pt! p 2 ! ... p,! a~· a~· ... a~·,
PI• p2 , Pa• . .. , p,
PI + P2 + Pa + ··· +Pr = n
hier ist die Summe über alle
zu erstrecken, für die
ist.
§ 7. Gerade und ungerade Permutationen.
9
§ 7. Gerade und ungerade Permutationen.
Setzt man für die Elemente einer Permutation eine bestimmte Reihenfolge als die "natürliche" oder "ursprüngliche" fest, so bezeichnet
man bei einer Permutation die Stellung zwei er Elemente als eine Inversion, wenn ein Element, das bei der natürlichen Reihenfolge vor
einem anderen steht, jetzt nach diesem seinen Platz hat. Z. B. 1 2 3 4 5
sei die natürliche Reihenfolge, 2 4 1 5 3 eine Permutation, dann bilden
2 und 1, 4 und 1, 3 und 4, 3 und 5 je eine Inversion; hier sind also vier
Inversionen vorhanden. Würde man 5 4 3 2 1 als natürliche Reihenfolge festsetzen, so hätten wir sechs Inversionen, nämlich 2 und 5, 4 und
5, 1 und 5, 2 und 4, 3 und 1, 3 und 2. Je nachdem diese Anzahl der
Inversionen gerade oder ungerade ist, sprechen wir von einer geraden
oder ungeraden Permutation.
Vertauscht man in einer Permutation zwei Elemente miteinander,
so sagt man, es sei eine Transposition ausgeführt worden. Jede Permutation kann durch eine gewisse Anzahl von Transpositionen aus der
natürlichen Reihenfolge hergestellt werden. Z. B.:
Aus
1 2 3 4 5 entsteht:
2 1 3 4 5 durch Vertauschung von 2 u. I,
2 4 3 l 5
4 u. l,
2 4 l 3 5
3 u. I,
2 4 l 5 3
5 u. 3.
Es waren vier Transpositionen erforderlich. Diese Anzahl steht nicht
eindeutig fest, denn man kann auch anders verfahren, so daß evtl. mehr
Transpositionen herauskommen, aber es gilt folgender
Satz 6: Jede gerade (bzw. ungerade) Permutation kann nur durch
eine gerade (bzw. ungerade) Anzahl von Transpositionen aus der natürlichen Reihenfolge gebildet werden.
Zunächst beweisen wir
Satz 7: Wird eine Transposition ausgeführt, so ändert sich die Anzahl der Inversionen um eine ungerade Zahl.
Ist
ab ... xy ... mn ...
eine Permutation, in der die beiden nebeneinander stehenden Elemente
x und y umgestellt werden:
ab ... yx ... mn ... ,
so wird, je nachdem x vor oder nach y eingeordnet ist, eine Inversion
gewonnen, oder es geht eine verloren. Ihre Anzahl ändert sich also um
+ 1 oder - l.
Stehen die beiden Elemente nicht nebeneinander, etwa:
ab ... xc 1 c2 ••• CrY .•• mn ... ,
Kombinatorik.
10
so wird die Transposition x, y in folgenden einzelnen Schritten durchgeführt:
•• • clx
c2 •• • CrY· ••
. . . c1 C2
X • •• Cr
y . ..
y
X • ••
• • • C1 Cl" •• Cr
Bis dahin sind r +I Transpositionen gemacht worden. Jetzt wird y
nach links gebracht:
... c1 c2 ••• y Cr X • ••
••• c 1 yc 2 ••• crx •••
••• yc 1 c 2 ••• CrX •••
Hierzu waren r Transpositionen erforderlich. Die Umstellung von x und
y ist durch 2r
I Transpositionen ausgeführt worden, die so beschaffen
waren, daß immer nur zwei nebeneinander stehende Elemente vertauscht wurden. Die Anzahl der Inversionen ist also 2r + I mal um eine
ungerade Zahl verändert worden. Wenn aber eine ungerade Anzahl von
ungeraden Zahlen addiert wird, so ist dte Summe ungerade.
Bei der natürlichen Reihenfolge ist die Anzahl der Inversionen = 0.
Führt man t Transpositionen aus, so hat sich die Zahl der Inversionen
tmal um eine ungerade Zahl geändert, ist t gerade, so ist die Anzahl
der Inversionen auch gerade und umgekehrt, womit auch Satz 6 bewiesen ist.
+
§ 8. Aufgaben.
Die drei ersten Aufgaben sind Beziehungen zwischen Binomialkoeffizienten, die durch Induktion zu beweisen sind.
+ C' i 1) + ... + (a ~ n) = (a +: +1),
2. (n
1) + (n
2) + ... + (:) = (=! ~) ,
I.
3·
(~)
+: -
22n-1
fn <
(2 11)
n
+: 22n
~ }3 n + 1 ·
4. Jede ganze rationale Funktion
f(x) = a0 xn + a 1
läßt sich auf die Form bringen:
xn-l +···+an
f(x) = Ao
wo
+Al G) + A2 (;)+···+An(:),
Ak=f(k)-
(~)
f(k -I)
+(~)f(k
-2}- .. ·±/(0).
Anleitung: Es genügt, den Satz für ganzzahlige x > 0 zu beweisen.
Für x = 0 ist die Identität leicht zu erkennen. Wir nehmen an, die Formel sei bis zu einer Zahl x als richtig erkannt, und zeigen ihre Gültigkeit
§ 9. Definition der Determinante nach
für x
+ I.
11
LEIBNIZ.
Wir setzen
f(x + 1) = f(x) + g(x),
dann ist g(x) auch ganz und rational vom Grade n - 1 und kann in
der Form
n-1
g(x)
= ,2 Bk(:)
k=O
geschrieben werden. Dann ist:
B0 = g(O) = /(1) -/(0)
B1
=
g(1) - g(O)
=
=
A1
/(2) -/(1) -/(1)
+ /(0)
=
A2
5. Ist p eine Primzahl und a eine beliebige ganze Zahl, so ist a'P - a
durch p teilbar.
Anleitung: Man nehme a positiv und schließe von a auf a +I. Es
ist zu beachten, daß
(~) für I <
k
< p immer durch p teilbar ist.
Aufgabe 6 und 7 sind aus MANGOLDT-K!'WPP, Einführung in die
höhere Mathematik, entnommen.
6. Man bezeichne die Anzahl aller Inversionen, die alle Permutationen von n Elementen zusammengenommen aufweisen, mit Jn, so
daß ] 1 = 0, ] 2 =1, ] 3 = 9 ist. Man zeige, daß sich diese Anzahlen
rekursiv mittels der Formel
fn+l = (n + 1) fn + ~n[(n + 1)!]
und unmittelbar durch die Formel
In=
(n- 2)! C(n~-1lr
bestimmen lassen. Hiernach ist ] 4 = 72, ] 5 = 600 usw.
7. Ein Stadtteil von der Form eines Rechtecks ist auf seinen 4 Seiten
von Straßen begrenzt und außerdem von ot Straßen durchzogen, welche
dem einen, und ß Straßen, welche dem anderen Paar von Gegenseiten
des begrenzenden Rechtecks parallel laufen. Auf wieviel verschiedenen
Wegen kann man, ohne Umwege zu machen, von einer der vier äußersten
Ecken des Stadtteils zu der diagonal gegenüberliegenden Ecke gelangen 1
(ot + ß + 2)!
Antwort: Auf (ot + 1)! (ß + 1)! Wegen.
8. Es ist zu zeigen, daß die Anzahl der geraden Permutationen von
n Elementen gleich der Anzahl der ungeraden ist.
Drittes Kapitel.
Determinanten.
§ 9. Definition der Determinante nach
LEIBNIZ.
Bei der Auflösung eines Systems von n linearen Gleichungen mit
nUnbekannten treten gewisse Funktionen der Koeffizienten auf, die
auch sonst mehrfach vorkommen. Mit Hilfe dieser Funktionen, die
12
Determinanten.
Determinanten genannt werden, lassen sich die Ergebnisse vieler Sätze
oder die Lösungen von Aufgaben elegant und übersichtlich formulieren,
so daß die Theorie der Determinanten ein unentbehrliches Hilfsmittel
aller Gebiete der Mathematik geworden ist. Die Determinante zu definieren, ihre Eigenschaften kennenzulernen, ist das Ziel dieses Kapitels.
Gehen wir von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aus:
a1 x
a2 x
+b y =
+b y =
1
c1
2
c2 ,
so wird, wenn die erste Gleichung mit b2 , die zweite mit - b1 , bzw. mit
- a 2 und a 1 multipliziert wird und beide addiert werden:
x (a 1 b2 - b1 a 2) = c1 b2 - b1 c2
y (alb2- bla2) = alc2- cla2.
Ist a 1 b2 - b1 a 2 9= 0, so kann man dividieren, und das Gleichungssystem
ist gelöst. Den Ausdruck a 1 b2 - a 2 b1 schreiben wir in der Form
I aa2
1
b1
b2
I=
alb2- bla2
und nennen ihn eine zweireihige Determinante. Die Lösung des Gleichungssystems hat jetzt die Gestalt
Die zweireihige Determinante ist also eine ganze rationale Funktion
von vier Größen, die in zwei Zeilen (das sind die horizontalen Reihen)
und zwei Spalten (das sind die vertikalen Reihen) angeordnet sind. Wenn
wir kurz von Reihen sprechen, können damit Zeilen oder Spalten gemeint sein.
Die Auflösung eines Systems von drei Gleichungen mit drei
Unbekannten führt uns zur Erklärung der dreireihigen Determinante.
a1 x
a2 x
a3 x
+b y +c z =
+ b2 y + c2 z =
+ b3 y + c3 z =
1
1
d1
d2
d3
I
-
I
b2 c3 - c2 b3
(b 1 c3 - c1 b3 )
b1 c2
-
c1 b2
Die Gleichungen werden mit den danebenstehenden Ausdrücken multipliziert und addiert:
x (a 1 b2c3
-
a 1 b3 c2
= d1 b2 c3
-
d1 b3 c2
+ a 2b3 c1 + d2 b3 c1 -
a 2 b1 c3
d2 b1 c3
+ a 3 b1 c2 + d3 b1 c2 -
a 3 b2 c1)
d3 b2 c1 .
Die Glieder mit y und z verschwinden, und x wird Quotient zweier
Summen, deren Eigenschaften uns beschäftigen werden.
Weiter wollen wir hier nicht auf die Lösung des Gleichungssystems
eingehen.
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§ 9. Definition der Determinante nach LEIBNIZ.
Der Koeffizient von x ist eine dreireihige Determinante und wird so
geschrieben:
al bl cl
a 2 b2 c2
=
a 1 b2 ca- a1 bac 2
-L
a 2 bac 1
-
a 2 b1 ca
+ aab
c
1 2 -
aab 2 c1 .
aa ba Ca
Werden hier a 1 , a 2 , aa durch d1 , d2 , da ersetzt, so entsteht die rechte
Seite der letzten Gleichung.
Betrachten wir die Determinante näher: sie ist eine ganze rationale
Funktion von 3 2 = 9 Größen, die in 3 Zeilen und 3 Spalten angeordnet
sind. Der Index bezeichnet die Zeile und der Buchstabe die Spalte. Die
Summe hat 3 positive und 3 negative Glieder, und jedes Glied ist Produkt aus 3 Faktoren und so beschaffen, daß weder zweimal derselbe
Buchstabe noch zweimal derselbe Index vorkommt, oder: in jedem einzelnen Gliede können niemals zwei Faktoren stehen, die derselben Zeile
oder derselben Spalte angehören. Die Summanden haben alle die Form:
± aa.bflcr, wo (X, ß, y eine Permutation der Ziffern 1, 2, 3 ist. Die einzelnen
Faktoren der Glieder sind ferner so geschrieben, daß der an erster Stelle
stehende Faktor aa. der ersten, der zweite bp der zweiten Spalte usw.
angehört. Trifft man diese Festsetzung, so ist jedem Glied eine Permutation zugeordnet, und da 3! = 6 Glieder vorhanden sind, treten alle
Permutationen auf. Wir bemerken ferner, daß den geraden Permutationen, das sind: 1 2 3, 2 3 1, 3 1 2, die positiven, und den ungeraden,
das sind: 1 3 2, 2 1 3, 3 2 1, die negativen Glieder entsprechen. Danach
läßt sich die Determinante in folgender Form schreiben:
D
=
.1; (-
1f aa. bp cr,
wo die Indices (1., ß, y alle Permutationen der Ziffern 1, 2, 3 durchlaufen,
und ] jedesmal die Anzahl der Inversionen einer solchen Permutation
ist. Die Reihenfolge der Zeilen ist hierbei die natürliche Anordnung
der zu permutierenden Indices.
Diese von LEIBNIZ herrührende Definition läßt sich auf n-reihige
Determinanten übertragen:
al bl
Cl ••.
a2 b2
c2 ...
=.1;(-l)Jaa.br~cr···
an bn cn
Wie vorher durchlaufen (1., ß, y. . . alle Permutationen der Ziffern
1, 2, ... , n und ] ist die Anzahl der Inversionen. Unter den n! Gliedern
sind ebensoviele positive wie negative vorhanden (§ 8 Aufgabe 8). Auch
die Erklärung einer zweireihigen Determinante, wie sie oben gegeben
wurde, ist hierin enthalten.
Determinanten.
Unabhängig von dieser Definition der Determinante als Summe von
n! Gliedern wird im folgenden Abschnitt eine Definition nach WEIERSTRASS gegeben. Der Leser muß sich daher zunächst auf den Standpunkt
stellen, als sei "Determinante nach WEIERSTRASS" etwas anderes als
"Determinante nach LEIBNIZ", weil beide verschieden erklärt sind. Daß
beide identisch sind, ergibt erst der Beweis des folgenden Satzes 8.
§ 10. Definition der Determinante nach
WEIERSTRASS.
Im folgenden Abschnitt wird der Begriff "homogene lineare Funktion" gebraucht, daher soll zunächst einiges darüber gesagt werden.
I (x, y, z)
=
3 x2
+ 2 x y + 5 y2 + 3 z2
heißt homogen in x, y, z, weil die einzelnen Glieder die Eigenschaft
haben, daß die Summe der Exponenten der Veränderlichen immer
gleich ist; und weil sie gleich 2 ist, ist die vorliegende Funktion homogen und vom zweiten Grade. Man kann das auch so ausdrücken:
I (x1 , x 2 , • •• , xn) ist homogen vom Grade m in x 1 , x 2 , ••• , xn, wenn
l(tx 1 , tx 2 ,
•• • ,
txn)
=
tml(x 1 , x 2 ,
•• • , Xn).
D. h.: werden die Veränderlichen durch tx 1 , tx 2 , •• • , txn ersetzt, so kann
der Faktor tm herausgenommen werden.
Spricht man von homogenen Funktionen, so sind die Veränderlichen
zu nennen; denn in dem obigen Beispiel ist I homogen in x, y, z, dagegen
ist I, als Funktion von x und y betrachtet, nicht homogen.
Funktionen ersten Grades heißen auch linear.
l=ax+by+cz
ist also homogen und linear in x, y, z, sofern a, b, c von diesen Veränderlichen unabhängig sind. Werden x, y, z mittels linearer homogener
Funktionen durch neue Veränderliche u, v, w ersetzt, so sagt man, es
wird eine lineare Substitution ausgeführt, etwa:
x=3u+4v-6w;
dann wird
I
I= (3 a
y
=
u- v
+ 3 w;
z=2u+v-w;
wieder eine homogene lineare Funktion von u, v, w:
+ b + 2 c) u + (4a- b + c) v + (- 6a + 3b
- c) w.
Wir ändern jetzt die Bezeichnung für die Elemente einer Determinante und schreiben:
au a12 .•• ain
D
=
a2I
a22 • • • a2n
Jedes Element hat zwei Indices, z. B. a 34 , lies "a drei, vier" bezeichnet das Element, das in der dritten Zeile und vierten Spalte steht, der