Teilgebiete und Begriffe der Stochastik - 3

Teilgebiete und Begriffe der Stochastik 1 - 3
Stochastik setzt sich aus den Teilgebieten Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik2 zusammen.
C) Kombinatorik: Die Kombinatorik ermittelt, wie nach bestimmten Vorschriften „Elemente“(Zahlen, Kugeln, Die
Kombinatorik gibt also Regeln an, nach denen sich solche Anzahlen berechnen lassen.
Permutation P (permutieren = Elemente umlegen):
Permutation ist eine Anordnung von n Elementen.
- ohne Wiederholung (Zurücklegen) n = beliebige Anzahl
Beispiel:
Man hat drei verschiedene Formen:
Diese kann man verschieden anordnen(permutieren), so dass sich die Reihenfolge ändert.
Lösung:
- Bei drei Formen kann jede der drei Formen an 1. Position liegen, für die 2. Position verbleiben noch zwei
Formen und für die 3. Position eine Form.
Man erkennt, dass es für 3 Elementen 3⋅2·1 = 6 Permutationen (Anordnungen) gibt.
-
Bei vier Formen gibt es 4·3·2·1 = 24 Anordnungen (Permutationen).
Die Anzahl der Permutationen P von n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung beträgt.
n! gelesen: n Fakultät
4! gelesen: 4 Fakultät
4! = 4·3·2·1 = 24
P (n) = n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋯ ⋅1
Beispiel:
In einer Urne befinden sich eine grüne (g), eine rote (r) und eine blaue (b) Kugel. Diese drei Kugeln werden in
zufälliger Reihenfolge ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen und nebeneinander aufgelegt. Wie viele
verschiedene Anordnungen gibt es?
Beim 1. Zug gibt es 3 Möglichkeiten, beim 2. Zug nur noch je 2 Möglichkeiten und beim 3. Zug nur noch
1 Möglichkeit. Es gibt also 3 · 2 · 1 = 6 mögliche Anordnungen.
Variation (permutieren = Elemente umlegen):
Permutation ist eine Anordnung von n Elementen.
- mit Wiederholung (Zurücklegen) n = beliebige Anzahl
Beispiel:
Man hat drei verschiedene Formen:
Diese kann man umlegen (permutieren).
Lösung:
Viermal soll eine Position mit einer der drei Formen besetzt werden, also 4(k-mal) wird aus 3 Elementen
gewählt.
-
Bei drei Formen kann jede der drei Formen an 1. Position liegen, für die 2. Position stehen wieder drei Formen
zur Verfügung, für die 3. Position wieder drei Formen, ebenso drei Formen für die 4. Position.
Man erkennt, dass bei 3 Elementen 3·3⋅3·3 = 34 = 81 Permutationen möglich sind.
-
Bei fünf Formen gibt es 5·5·5·5 = 54 = 625 Anordnungen (Permutationen).
Die Zahl der Variationen von k Elementen aus n Elementen mit Wiederholungen ist:
5·5·5·5·5 = 54
V (n) = nk
Beispiel: Anzahl der der zweistelligen (k-stelligen) Buchstaben aus den Buchstaben (n) x, y und z.

k = 2 und n = 3
V (n) = nk
V (n) = 32 = 9
oder Anzahl = |{xx, xy, xz, yy, yx, yz, zz, zy, zx}| = 9
1
2
Stochastik: altgr.: stochos  Vermutung, Kunst des Mutmaßens
Nicht vollständig! Es gibt noch mehr kombinatorische Beispiele!