Physik für Bauingenieure Physik für Bauingenieure

Bauingenieurwesen
Bauingenie urwesen
Institut für Geotec hnik
und
Geohydraulik
Universität Kassel - D - 34109 Kassel
Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch
Universität Kassel
Kurt-Wolters-Str. 3
34125 Kassel
[email protected]
fon + 49-561 804-3198
fax + 49-561 804-3953
WS 2007/2008
Studienbegleitende Prüfung (Diplom-Prüfungsordnung von 2004)
Physik für Bauingenieure
22. September 2008, 10-12 Uhr
Prüfungsteilnehmer
Korrekturbemerkungen
----------------------------Name, Vorname
----------------------------Matrikelnummer
----------------------------Unterschrift
Punktebilanz und Note
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Summe
Max. Punkte
10
6
10
4
11
15
8
12
12
12
100
Punkte
Note
Aufgabe 1 / Statik/Kräfte
Statik/ Kräfte
Zum Tauziehen mit drei Mannschaften werden die einen Enden von drei Seilen
zusammengebunden. Sodann ziehen zwei Mannschaften mit Kräften F 1 = 300kp und
Winkel α 1 = 20 o gegen die x-Achse und F 2 =400kp
und α 2 = -50 o nach rechts in
die dargestellten Richtungen (nicht maßstabsgetreu).
Mit welcher Kraft F 3
und in welche Richtung α 3 muss Mannschaft 3 nach links
ziehen, um das Gleichgewicht halten zu können?
Tipp:
Schreiben Sie die Kräfte als Vektoren in Komponentendarstellung vor der
eigentlichen Rechnung
y
F1
F 3 =??
α 3 =??
α1
α2
x
F2
Aufgabe 2 / Statik/ Kräfte
Berechen Sie die Kräfte, die die beiden Arme
der Aufhängung eine Wandlampe mit einem Gewicht
von G =1.5kp, wie dargestellt, aushalten müssen.
α
Der Winkel des schrägen Armes mit der Vertikalen
beträgt α = 30 o
Aufgabe 3 /Statik/Kräfte
In manchen Städten werden Straßenlaternen noch zwischen zwei Häuser aufgehängt.
Berechnen Sie die Zugkräfte F 1 und F 2 , die in den beiden Ästen des Seils auftreten,
wenn eine Lampe mit G =25kp Gewicht dieses gerade mit α=15 o gegen die
Horizontale durchhängen lässt.
α
Aufgabe 4 /Statik/Momente
/Statik /Momente
Zur Vermeidung des Überdrehens von Radmuttern von PKW-Rädern wird vom
Hersteller ein maximales Drehmoment für die Radmutter vorgegeben, was je nach
Art des Gewindes und der Schraubendicke zwischen 50-150 Nm für die einzelnen
Pkw-Typen liegt.
Für den Radwechsel verfügen Sie über einen Kreuzschlüssel,
dessen 4 Arme jeweils 30 cm lang (von Zentrum gemessen) sind.
Für den Fall, dass Sie die Radmuttern mit einem mittleren Wert von 90Nm anziehen
wollen, berechnen Sie die beiden Kräfte, die Sie an den beiden Enden des
Kreuzschlüssels aufbringen müssen, falls Ihre menschliche Armkraft senkrecht zu
den Schlüssel-Armen wirkt.
Aufgabe 5/Newtonsche
5 /Newtonsche Dynamik
Eine Person steht auf einer Fußwaage in einem Fahrstuhl. Im Ruhezustand hat die
Person ein Gewicht von G o =65kp. Nachdem sich der Fahrstuhl in eine beschleunigte
Aufwärtsbewegung setzt, stellt die Person plötzlich ein Gewicht von G 1 =80kp
auf
der Waage fest.
1) Wie groß ist die Beschleunigung a des Fahrstuhls?
2) Der Fahrstuhl hat kein Fenster, und die Person weiß nicht, was mit ihr
geschieht.
Welche andere Ursache könnte so ein starker Gewichtsanstieg
haben? Und wie könnte man das bewerkstelligen?
3) Erklären Sie dann den Unterschied zwischen träger und schwerer Masse
Aufgabe 6 /Newtonsche Dynamik/ beschleunigte Bewegung
Ein Motorrad mit einer Masse von 250kg + 70kg für den Fahrer beschleunigt von 0
auf 100km/h in 6 Sekunden.
1) Welche Beschleunigungskraft F muss der Motor aufbringen?
2) Welchen Weg s hat das Motorrad nach Erreichen der 100 km/h beim Start von
Stillstand dann zurückgelegt?
3) Wie lange braucht das Motorrad zum Beschleunigen von 0 auf 100 km/h,
nachdem der Fahrer seine Freundin mit 50kg Masse auf dem Sozius mitnimmt?
4) Das Motorrad fährt mit 100km/h weiter. Plötzlich taucht hinter einem Hügel
ein Traktor auf der Strasse auf, der mit 30km/h fährt. Das Motorrad macht eine
Vollbremsung von 100 auf 30km/h. Wie lang ist der Bremsweg s ? (Annahme:
Gleitreibungszahl des Reifens auf der Strasse ist µ=0.8)
5) Nach Überholen des Traktors beschleunigt das Motorrad wieder von 30km/h
und erreicht nach 10 Sekunden 120 km/h.
Welche Strecke s wird dabei durchfahren?
Wie groß ist die Beschleunigung a ?
Aufgabe 7 /Wurf/freier Fall
Die Strasse wird schlechter und Schlaglöcher treten auf. Der Fahrer reduziert die
Geschwindigkeit des Motorrades von 120 auf 50 km/h.
1) Wie tief senkt sich dann der Vorderreifen des Motorrades am Ende eines
(runden) Schlagloches von 60 cm Durchmesser beim Überfahren desselben
mit der genannten Geschwindigkeit von 50 km/h ab?
2) Wie tief, wenn der Fahrer die ursprüngliche Geschwindigkeit von 120 km/h
beibehalten hätte? Schlussfolgerung?
Aufgabe 8 /Wurf /freier Fall/Energiesatz
Ein Basketball-Sportler wirft einen Medizinball von 3 kg Masse vom Boden auf
vertikal in die Luft. Er erreicht eine maximale Höhe von h =4 m.
1) Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit v o wurde der Ball abgeworfen?
2) Wie lange braucht der Ball bis er die maximale Höhe h erreicht hat.
3) Wann kommt er wieder am Boden an?
4) Was hat er dann für eine Geschwindigkeit?
5) In einem zweiten, gleichen Wurf köpft der Sportler mit einer Größe von 1,8m
den runterkommenden Ball. Wie viel Energie muss der arme Kopf aufnehmen?
Aufgabe 9 /Zentripetalkraft/Gravitation
1) Wie groß ist die Gravitationsbeschleunigung g , den eine Person am
Erdäquator erfährt.
2) Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung a Z , den die Person am Erdäquator
erfährt.
3) Was ist dann die effektive Anziehungskraft (Gewicht), den die Person mit
70kg Masse dann auf einer Waage erfährt.
4) Wie groß wäre das Gewicht der gleichen Person nach einer Landung auf dem
Mond dort?
Gegeben: Masse der Erde m E = 6*10 24 kg,
Gravitationskonstante γ= 6,7*10 -11 m 3 /kg s 2
Radius der Erde r E =6378 km
Masse des Mondes m M = 1/81 der Masse der Erde
Radius des Mondes r M = 0,27 des Erdradius
Aufgabe 10/Pendel/Energie
10 /Pendel/Energie
Ein Kind mit einem Gewicht von G =50 kp schaukelt auf einer Seilschaukel mit einer
Pendellänge von l= 1.5 m.
1) Wie groß ist die Periode T der Schaukel?
2) Wie groß ist die potentielle Energie E pot des Kindes im oberen Umkehrpunkt
der Schaukel, wenn die maximale Auslenkung der Schaukel gegenüber der
Vertikalen α=60 o beträgt.
3) Wie groß ist die Durchgangsgeschwindigkeit v 0 der Schaukel im untersten
Punkt?
4) Wie groß dann die kinetische Energie E kin des Kindes?
5) Wie groß ist die Gesamtenergie E tot des Kindes auf der Schaukel im oberen
Umkehrpunkt, im untersten Punkt, beim Durchgangswinkel α=40 o ?
Lösungen
Aufgabe 1: (10 Punkte)
Beschreibung eines Vektors in Komponenten-Darstellung:
F = Fx i + Fy j =
i,j = Einheitsvektoren in x- und y-Richtungen
mit
F x = !F
F ! * cos α
F y = !F
F ! * cos β = !F
F ! * cos (90-α)
F 1 = F 1x i + F 1y j
= !F 1 ! * cos α 1 + !F 1 ! cos (90-α 1 )
F 2 = F 2x i + F 2y j
= !F 2 ! * cos α 2 + !F 2 ! cos (-90-α 2 )
Mit Werten folgt für die beiden Vektoren F 1 und F 2 :
F 1 = F 1x i + F 1y j
= 300 * cos 20 i + 300 * cos 70 j
= 281.9 i
+ 102.6 j
und
F 2 = F 2x i + F 2y j
= 400 * cos (-50) i - 400* cos (-40)jj
= 257.1 i - 306.4 j
Bestimmung der Resultierenden: F R
FR = F1 + F2 =
281.9 i
+ 102.6 j
=
539.0 i
- 203.8 j
+ 257.1 i - 306.4 j
Für das statische Gleichgewicht muss gelten
FR + F3 = 0 F3 = - FR
F 3 = - 539.0 i
+ 203.8 j
=>
Für den Betrag von F 3 gilt dann
! F 3 ! = (F 3x 2 + F 3y 2 )
1/2
= (- 539.0
2
+ 203.8 2 )
= 576.81 kp
und den Winkel: α 3
α 3 = atan (F 3y /F 3x ) = atan (203.8 / - 539.0)
= 20.7 o
½
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Zerlegung der Gewichtskraft G in die
beiden Komponenten F Z und F D , wobei F Z eine
Zugkraft und F D eine Druckkraft ist.
FD
Aus der Abbildung ergibt sich
G
F Z = G / cos α
α
FZ
= 1.5*9.81 / cos (30)
= 16.99 N =1.73 kp
F D = G * tan α
= 1.5*9.81 * tan (30)
= 8.49 N= 0.87kp
Aufgabe 3: (10 Punkte)
Kräftegleichgewicht:
F1 + F2 + G = 0
F1
in x-Richtung
F2
G
-F 1x + F 2x = 0
=>
F 1x = F 2x
in y-Richtung
F 1y + F 2y - G= 0
(wegen F 1y = F 2y ) =>
2*F 1y = G
=>
F 1y = G/2
Es gilt
und F 2y = G/2
F 1y = !F 1 ! * sin α !F 1 ! = F 1y /sin α = G/2 / sin α = 15/2/ sin 15
= 48.29kp
Und das Gleiche für !F 2 !
Aufgabe 4: (4 Punkte)
Moment M = F * d * sin α = 90Nm
F = 2*F e ,
d = 0.30 m, α = 90 o
=> 2*F e * 0.30 = 90Nm
=>
F e = 150N
Fe
Fe
Aufgabe 5: (11 Punkte)
1) Anwendung des 2. Newton’sches Gesetzes:
a) Fahrstuhl in Ruhe:
G = m *g
=> g = G/m
b) Fahrstuhl in Bewegung
F a + G = m *(a +g)
= ma + mg
mit
F a = 15kp = 15*9.81 = 147.15N
und
G = 65kp = 65*9.81 = 637.65N
=>
a = F a / m = 147.15/ 65
= 2.26 m/s 2 = 1/4 g
2) Wenn der Körper sich in einem Gravitationsfeld mit größerer Masse als die der
Erde befindet, wird sein Gewicht auch größer sein. Z.B. auf der Oberfläche des
Saturns (s. Wikipedia) beträgt die Schwerebeschleunigung
g Sat
= 10,44 m/s 2 , ist
also fast 10% höher als auf der Erde. Auf dem Jupiter hat man g Jup = 24,8 m/s 2 .
3) Es gibt praktisch! keinen Unterschied (nicht messbar) zwischen träger und
schwerer Masse. Aus dem vorherigen Experiment ergibt sich, dass man nicht
unterscheiden kann, ob sich eine Masse in einem Gravitationsfeld befindet oder in
einen beschleunigten Bezugssystem (Fahrstuhl). Es bedurfte erst Albert Einstein,
also 250 Jahre nach Newton, um das klar zu stellen.
Aufgabe 6: (15 Punkte)
Allgemeine Formeln für die beschleunigte Bewegung:
v = v 0 + a *t
und
s = s 0 + v 0 *t + ½ a*t 2
Umrechnungsfaktor von km/h in m/s :
1)
1/3.6
v 0 = 0, v = 100km/h /3.6 (km/h)/(m/s) = 27.8 m/s
=>
a = v/t = 27.8/6
= 4.63 m/s 2
und
F= m*a = 320 * 4.63
= 1481.5 N
2) s = ½ a *t 2 = ½ * 4.63 * 6 2
= 83.34 m
3) m tot = 320 + 50 = 370 kg
a = F/m tot = 1481.5 / 370
= 4.00 m/s 2
und wie oben
t = v / a = 27.8/4.00
= 6.95 s
4) Annahme: maximale Verzögerung a max bedingt durch Gleitreibungszahl µ des
Reifens auf der Strasse (µ=0.8), wobei gilt
a max =
µ *g = 0.8* 9.81 = 7.85m/s 2
Für die Zeit t der Verzögerung von v 1 = 27.8 m/s auf v 2 =30 km/h = 8.33 m/s gilt
v 2 = v 1 - a max *t
=> t = (v 1 - v 2 ) / a max
= (27.8-8.33)/7.85 = 2.48 s
und für den Bremsweg s
s = v 1 *t- ½ a max * t 2 = v 1 * (v 1 - v 2 ) / a max - ½ a max * [(v 1 - v 2 ) / a max ] 2
=>
2 a max* s = 2*v 1 * (v 1 - v 2 ) -
[(v 1 - v 2 )] 2 = 2*v 1 2 -2v 1* v 2 -
(v 1 2 - 2v 1* v 2 +v 2 2 )
= v 12 - v22
=>
s = (v 1 2 - v 2 2 ) / 2*a max
= (27.8 2 - 8.33 2 ) / 2*7.85
= 44.87m
5) v = v 0 + a *t ,
v =120km/h = 33.3 m/s ; v 0 =50 km/h=13.89 m/s
=>
a = (v-v 0 ) / t = (33.3 – 13.89) / 10
= 1.94 m/s 2
Für s gilt: s = v 0 *t + ½ a*t 2
=>
s = 13.89*10 + ½ *1.94*10 2
= 235.9 m
Aufgabe 7: (8 Punkte)
Überlagerung von horizontaler, gleichförmiger Bewegung:
x = v 0x *t,
und
y = ½ g* t 2
vertikaler,
beschleunigter Bewegung:
Zeit t zum Durchfahren des Schlagloches: t = x / v 0x
und Absenkung y während dieser Zeit :
y= ½ g* (x/v 0x ) 2
Mit Werten:
x=0.6m; v 0x = 50km/h = 13.89 m/s
y= ½ *9.81*(0.6/13.89) 2
= 0.00907m ~ 1cm
Behält der Fahrer die 120km/h bei, ist seine Geschwindigkeit 120/50 =2.4 mal so
groß, so dass die Absenkung (wegen des Quadrats) nur ein 1/ (2.4**2) =1/5.76 des
obigen Wertes beträgt.
Aufgabe 8: (12 Punkte)
Gleichungen für den Wurf nach oben:
v = v0 – g*t;
y = v0*t – ½ g*t 2
1) Für maximale Höhe h ist v=0 t = v 0 /g
Eingesetzt in 2. Formel ergibt
y = v 0 * v 0 /g – ½ g* (v 0 /g) 2 = v 0 2 /2g = h
=>
v 0 = (2g*h) 1/2 = (2*9.81*4) 1/2
= 8,86 m/s
Alternative (einfachere) Lösung mit Energiesatz: Kinetische Energie wird in
potentielle Energie umgewandelt:
E kin = ½ m*v 0 2 = mgh =E pot
=>
v 0 = (2g*h) 1/2 (wie oben)
2)
Maximale Zeit t, wenn Geschwindigkeit v=0
=>
t = v 0 /g = 8.86/9.81
=0.9 s
3) Fallzeit = Steigzeit
=>
t tot = 2*t
= 1.8 s
4) Die Geschwindigkeit am Boden ist wieder gleich der Abwurfgeschwindigkeit, d.h.
v 0 = 8,86 m/s
5) Es werden h diff = (4-1.8) = 2.2m Fallhöhe, d.h. potentielle Energie E pot = m*g*h diff
in kinetische Energie E kin umgewandelt.
=>
E pot = E kin = mgh diff = 3*9.91*2.2
= 64.75Nm
Aufgabe 9: (12 Punkte)
1) Newtonsches Gravitationsgesetz:
g = γ * m E /r 2 = 6.7*10 -11 * 6*10 24 / 6378000 2
= 9.88 m/s 2
2) Formel für die Zentripetalbeschleunigung: a z = v 2 /r = w 2 * r = (2π/T) 2 *r,
mit v= Bahngeschwindigkeit, w=Winkelgeschwindigkeit, T=Periode, r = Radius.
=>
a z = (2π/T) 2 *r =(2π/86400) 2 *6378*10 3
= 0.034 m/s 2
3) Die effektive Schwerebeschleunigung g eff ist die Differenz von dem gravitativen
g in 1) (zum Zentrum der Erde gerichtet), minus der nach außen gerichteten
Zentripetalbeschleunigung a z 2), d.h
g eff = g - a z = 9.88 – 0.034
= 9.846 m/s 2
Damit ergibt sich für das Gewicht G
G= g*m = 9.846 * 70
=689.2 N
4) Newtonsches Gravitationsgesetz auf dem Mond angewendet:
G = γ * m M *m/r M 2 = 6.7*10 -11 * (6*10 24 /81) *70 / (6378000 *0.27)* 2
= 117.14 N
was 1/6 des Gewichtes auf der Erde beträgt (denken Sie an die Kängurusprünge von
L. Armstrong bei der ersten Mondlandung, 1969)
Aufgabe 10: (12 Punkte)
1) Formel für die Periode der Schaukel (ein Pendel):
h
T= 2π* (l/g) 1/2 = 2π* (1.5/9.81) 1/2
= 2.46 s
2) Vertikaler Abstand d des Pendels von Aufhängung
α
d
d = l * cos (α)
l
=>
Vertikale Höhe h des Pendels gegenüber untersten Punkt
h = l-d = l * (1- cos (α)) = 1.5*(1-cos(60))
h
= 0.75m
Die potentielle Energie E pot ist dann
E pot = mgh = 50*9.81*0.75
= 367.8 Nm
Dies ist die Gesamtenergie E tot , die in der Schaukel zur Verfügung steht.
3) Im untersten Punkt ist diese Energie in kinetische Energie E kin umgewandelt
=>
E kin = ½ mv o 2 = E pot = mgh
=>
v o = (2gh) 1/2 = (2*9.81*0.75)
½
= 3.84 m/s
4)
E kin = E pot = 367.8 Nm
5) Die Gesamtenergie E tot = E kin + E pot bleibt erhalten, ist also in all diesen drei
Punkten gleich, nämlich
E tot = 367.8 Nm