Jahrgangsstufe 9 - Johannes-Nepomuk

GRUNDWISSEN MATHEMATIK
9
Grundwissenskatalog
G8-Lehrplanstandard
Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums
Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing
JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM
Grundwissen Mathematik
1
9 G8
Die Menge der reellen Zahlen
Quadratwurzel
Die Quadratwurzel
ist die nicht-negative Lösung der
Gleichung x² = a, für a ≥ 0
a heißt Radikand
Quadratwurzeln können rational (
oder irrational (
),
), also nur als unendlich nicht-periodische
Dezimalzahl darstellbar, sein. Die Menge  der reellen Zahlen
umfasst alle rationalen und irrationalen Zahlen.
Rechnen mit Quadratwurzeln





Teilweise radizieren:

Unter die Wurzel ziehen:
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Grundwissen Mathematik

Nenner rational machen:
Potenzen mit rationalen Exponeneten
ist die nicht-negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt (a ≥ 0),
bzw. die Lösung der Gleichung:
heißt n-te Wurzel von a.
x3  8 hat die eine Lösung x  2   3 8 (nicht
3
8 )
x  625 hat zwei L. x1,2   625  5
4
4
Für positive Basis a definiert man:
1
92  2 9  9  3
1
1
1
1
7 3 7 6 7  7 2 7 3 7 6  7 2
 13  16
6
 76  7
2
8 3  (3 8 ) 2  2 2  4
1
5
8

1
5
23

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1
3
2

3
5
25
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9 G8
Grundwissen Mathematik
Binomische Formeln
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
(c2 + 7)2 = c4 + 14c2 + 49
(a – b)2
= a2 – 2ab + b2
(1 – a2x)2 = 1 – 2a2x + a4x2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
(2f – 3g)(2f + 3g) = 4f2 – 9g2
Quadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form ax 2  bx  c  0; a  0 nennt man
quadratische Gleichung. Für die Lösungen der quadratischen
Gleichung gilt:
x1,2 
 b  b 2  4ac
2a
z.B.: – 2x2 – x + 3 = 0; a = –2, b = –1, c = 3  L ={1; –1,5}
Der Ausdruck b 2  4ac wird als Diskriminante D bezeichnet.
Die quadratische Gleichung hat für D > 0 genau zwei Lösungen
für D = 0 genau eine Lösung
für D < 0 keine Lösung
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9 G8
Grundwissen Mathematik
Satz von Vieta: Sind x1 und x2 Lösungen einer quadratischen
Gleichung der Form x2 + px + q = 0, dann
gilt: x1 + x2 = - p und x1 ∙ x2 = q
x² - x – 6 = 0 → x1 = -2 und x2 = 3; damit gilt faktorisiert:
x² - x – 6 = (x + 2)∙(x - 3)
Biquadratische Gleichungen:
Gleichungen der Form ax 4  bx ²  c  0 heißen biquadratisch:
x4 + 2x2 – 3 = 0
Substitution ( x² = u) liefert: u2 + 2u – 3 = 0
u1 = 1, u2 = -3
Resubstitution x² = 1 und x² = -3 liefern:
x1 = 1, x2 = -1, x3,4 ohne Wert
Lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten
Ein LGS mit drei Gleichungen/Unbekannten kann man lösen,
indem
man
es
auf
ein
System
mit
zwei
Gleichungen/Unbekannten zurückführt.
I
II
III
3x + 2y + z = 6
x - y + 2z = 1
-2x + y - 3z = -3
→
y = x + 2z -1
in I: 5x + 5z = 8 in III: -x – z = -2
damit entsteht ein LGS mit zwei Gleichungen/Unbekannten,
welches mit den bekannten Verfahren gelöst werden kann, um
anschließend die dritte Unbekannte zu finden (hier L = {})
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Grundwissen Mathematik
2
Quadratische Funktionen
y = (x-2)2
Parabeln
y = x2
Der Graph der Funktion
2
y  ax  bx  c heißt Parabel.
Die Gleichung der Normalparabel lautet y  x 2 .
y = x2-1
Verschiebung/Streckung
Verschiebung der Normalparabel um k in x-Richtung:
y = (x – k)²; Scheitel S (k / 0); (x – 2)²  Verschiebung nach rechts!
Verschiebung der Normalparabel um q in y-Richtung:
y = x² + q; Scheitel S (0 / q);
x² - 1  Verschiebung nach unten!
Kombination: y = (x – k)² + q; S (k / q)
Streckung der Normalparabel: y = ax²
für |a| > 1 ist der Graph schmäler, für
0 < |a| < 1 breiter; für a < 0 nach unten
geöffnet.
Quadratische Ergänzung: 2x² + 4x – 6 = 2(x² + 2x – 3) =
2(x² + 2x +
2(x² + 2x + 1 - 1 – 3) = 2(x + 1)² - 8;
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-
– 3) =
S (-1 / -8)
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Grundwissen Mathematik
3
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Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Zufallsexperimente
Zufallsexperimente, bestehend aus mehreren (n) Teilexperimenten heißen zusammengesetzte Zufallsexperimente; Die
Ergebnisse werden als n-Tupel geschrieben, welche die Pfade in
einem Baumdiagramm darstellen.
Bsp.: Gegeben ist eine Urne mit 2 schwarzen und 3 weißen
Kugeln; man zieht zweimal hintereinander ohne
Zurücklegen.
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9 G8
Grundwissen Mathematik
Pfadregeln
1.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ergibt sich
aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des
zugehörigen Baumpfades.
P ({S,W}) =
2.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus
der Summe der zum Ereignis gehörenden
Pfadwahrscheinlichkeiten.
P („genau eine Kugel ist schwarz“) =
4
Das rechtwinklige Dreieck
Die Satzgruppe des Pythagoras
C
a
b
h
A
q
p
B
c
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Grundwissen Mathematik
Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras):
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das
Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe
der Flächeninhalte der Kathetenquadrate.
(Die Umkehrung des Satzes gilt auch!)
a 2  b2  c2
Höhensatz:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus
den beiden Hypotenusenabschnitten.
h2  p  q
Kathetensätze:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes
Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus
der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden
Hypotenusenabschnitt.
a 2  c  p bzw. b 2  c  q
Merkenswerte Anwendungen:
Diagonale im Quadrat:
Höhe im gleichseitigen Dreieck:
Raumdiagonale im Quader:
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Grundwissen Mathematik
Trigonometrie (0° < α < 90°)
Gegenkathete von 
Hypotenuse
Sinus:
sin  
Kosinus:
cos  
Tangens:
tan  
sin(90  )  cos 
cos(90  )  sin 
Ankathete von 
Hypotenuse
Gegenkathete von 
Ankathete von 
tan  
Schreibweise: sin 2  :  sin  

0°
sin
0
cos
1
tan
0
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30°
1
2
1
3
2
1
3
3
sin 
cos 
sin 2   cos2   1
45°
1
2
2
1
2
2
60°
1
3
2
1
2
2
1
3
90°
1
0
nicht
definiert
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Grundwissen Mathematik
5
Raumgeometrie
Cavalierisches Prinzip
Stehen zwei Körper gleicher Höhe und gleichen
Grundflächeninhalts auf einer Ebene E und werden sie von jeder
Parallelebene in inhaltsgleichen Flächen geschnitten, haben sie
das gleiche Volumen.
Spitze S
Seitenkante
Seitenfläche
(Dreieck)
Grundfläche G
(Vieleck hier
Sechseck)
Pyramide
Höhe h:
Lot von der Spitze auf die Grundebene.
Mantelfläche: Summe aller Seitenflächen
1
Gh
3
Volumen:
V
Tetraeder:
dreiseitige Pyramide mit gleich langen Kanten.
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Grundwissen Mathematik
Neigungswinkel β einer Geraden
gegenüber
einer
Ebene
(hier
Seitenkante s und Grundflächen-ebene)
Neigungswinkel
α
einer
Ebene
gegenüber
einer
Ebene
(hier
Seitenflächen- und Grundflächen-ebene)
Prisma
Zylinder
Volumen
V  Gh
Oberfläche:
O  M  2G
Volumen
V  G  h  r 2   h
Mantelfläche:
M  u Kreis  h  2r  h
Oberfläche:
O  M  2G  2rh  2r 2
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Grundwissen Mathematik
Kegel
Volumen:
2r
s
V  13 G  h  13 r 2  h
Die Mantelfläche ist ein Kreissektor
mit dem Radius s (Mantellinie) und
der Bogenlänge 2r
Mantelfläche M  rs .
Oberfläche:
O  M  G  rs  r 2
Netze
Pyramidennetz
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Prismanetz
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