Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard - JNG-Rohr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK
5
Grundwissenskatalog
G8-Lehrplanstandard
Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums
Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing
JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM
ROHR
5G8
Grundwissen Mathematik
1 Die natürlichen Zahlen
IN Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3,...}
IN 0 Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0, 1, 2, ...}
Darstellungsmöglichkeiten:
 Zahlenstrahl: der Abstand zweier benachbarter natürlicher
Zahlen ist gleich groß ( Einheit)
 Koordinatensystem: s. negative Zahlen
 Diagramme: Balken-, Säulen-, Kreisdiagramme
 Stellenwertsystem mit Hilfe von Ziffern:
2354 = 2∙1000+3∙100+5∙10+4∙1 (Dezimalsystem)
Zehnerpotenzen: 1.000.000 = 106
1.000=103
90.000=9∙104
Zahlenwörter für große Zahlen: Tausender → Millionen
→ Milliarden → Billionen → Billiarden → Trillionen.
10
Auto
5
Anzahl der
Schüler
0
123456
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Bus
Fahrrad
Fußgänger
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Zahlenmengen:
Menge der geraden Zahlen: {2,4,6,8,10,…}
Teilermenge T(18) = {1,2,3,6,9,18}
Vielfachenmenge V(7) = {7,14,21,28,35,…}
Menge der Primzahlen: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…}
( Zahlen mit genau zwei Teilern)
Menge der Quadratzahlen: {1,4,9,16,25,36,49,…}
6 T(18) „die Zahl 6 ist ein Element der Teilermenge von 18“
9V(7) „die Zahl 9 ist kein Element der Vielfachenmenge von 7“
2
Rechnen mit natürlichen Zahlen
Addition:
Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
Wert der Summe = 1. Summand + 2. Summand
Wert der Differenz = Minuend – Subtrahend
Wert des Produktes = 1. Faktor ∙ 2. Faktor
Wert des Quotienten = Dividend : Divisor
Kommutativgesetze:
a+b = b+a
a∙b = b∙a
Assoziativgesetze: (a + b) + c = a + (b + c)
(a∙b)∙c = a∙(b∙c)
Distributivgesetze:
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(a ± b)∙c = a∙c ± b∙c
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Weitere Rechenregeln:
Klammern zuerst (von innen nach außen bzw. runde vor eckigen)
Potenz vor Punkt vor Strich!
Potenzen: 3∙3∙3∙3 = 34 3 heißt Basis,
4 heißt Exponent.
Quadratzahlen sind Potenzen mit 2 als Exponent. z. B.: 3 2 = 9
Primfaktordarstellung:
Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen („Faktorisieren“).
Bsp.:600 =23∙3∙52
Teilbarkeitsregeln:
Quersummen: Eine Zahl ist durch 3 (9) teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 (9) teilbar ist.
Endstellen:
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie auf 0, 2, 4, 6, oder 8 endet.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
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3
Terme
Ein Term ist ein „Rechenausdruck“, der aus Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und gegebenenfalls aus Platzhaltern/Variablen
besteht.
Die zuletzt auszuführende Rechenart legt die Art des Terms fest.
Bsp.: 1) 54 + (62 – 38) ist eine Summe
2) Gliederungsbaum: 3² ∙4 – (2 + 5)
Differenz
Minuend
Produkt
1. Faktor 2. Faktor
Potenz
4
Subtrahend
Summe
1. Summand 2. Summand
2
5
Basis Exponent
3
2
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Zählprinzip:
Bsp.: 1) Herr Scherbl bietet Brezen (B), Semmeln (S) und Hörnchen (H) an, sowie Milch (M) und ACE-Saft (A).
Du hast also 3∙2 = 6 Möglichkeiten, dir eine Brotzeit aus einem
Gebäck und einem Getränk zusammenzustellen.
M
B
A
M
S
Baumdiagramm
A
M
H
A
2) Fakultät: Du willst das Mathe-, Musik-, Englisch- und Lateinbuch nebeneinander ins Regal stellen.
Dafür hast du 4! = 4∙3∙2∙1 = 24 verschiedene Möglichkeiten der
Anordnung.
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4
Ganze Zahlen
Erweiterung durch die negativen Zahlen zur Zahlengeraden. – a
heißt Gegenzahl von a; Zahl und Gegenzahl haben vom Nullpunkt
den gleichen Abstand. Die positiven und die negativen Zahlen
bilden mit der Zahl 0 die Menge ZZ der ganzen Zahlen
Koordinatensystem:
Es besteht aus einer x-Achse und einer y-Achse. Ein Punkt P(x|y)
ist durch seine Koordinaten festgelegt.
II. Quadrant
I. Quadrant
P(3|2)
X
III. Quadrant
X
R(-2|-3)
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IV. Quadrant
X Q(2|-3)
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Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
(+5) – (+8) = 5 – 8 = – (8 – 5 ) = – 3
(–5) + (–8) = – 5 – 8 = – (5 + 8) = – 13
(–5) – (–8) = – 5 + 8 =
8–5 = 3
Multiplikation und Division ganzer Zahlen
(– 2) ∙ (– 4) = +8
(+ 3) ∙ (– 5) = – 15
(– 6) : (– 2) = 3 „Minus mal Minus ist Plus“
(– 8) : (+ 2) = – 4 „Plus mal Minus ist Minus“
Für alle x ≠ 0 gilt: 0 : x = 0
x : 0 ist nicht definiert (Durch 0 kann man nicht dividieren!!!)
Betrag einer Zahl:
Der Abstand einer Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden heißt
Betrag von a: |a|; |-7|= 7; |+2|= 2
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5 Körper
Körper sind räumliche Gebilde. (3 Dimensionen)
Sie lassen sich anhand von Schrägbildern oder Netzen darstellen.
Würfel
6 gleiche quadratische Seiten
Quader
Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich.
Prisma
Gleiche eckige Grund- und Deckfläche.
Pyramide
Eckige Grundfläche und Spitze
Zylinder
Gleiche kreisförmige Grund- und
Deckfläche
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Kegel
Kreisförmige Grundfläche und Spitze
Kugel
Alle Punkte der Oberfläche sind vom Mittelpunkt
gleich weit entfernt.
6 Geometrische Grundbegriffe
Strecke [AB] ist die Menge aller Punkte
zwischen A und B einschließlich A und B.

A

B
Länge der Strecke AB ist die Entfernung von A nach B.
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der
senkrechten Verbindungsstrecke von P zu g: d(P;g)

A
Halbgerade [AB
Gerade AB
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
A

B

B
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zueinander senkrecht: ⊥
Zeichnen der Lotgerade durch S zu CD:
zueinander parallel: ||
Zeichnen der Parallelen durch P zu [AB]:
Rechts: Zeichnen der Parallelen zu g durch einen weit entfernten
Punkt A (Parallelverschiebung)
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Grundwissen Mathematik
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende
Seiten parallel sind; es entsteht, wenn sich zwei Parallelenpaare
kreuzen.
Parallelogramm
Rechteck
(Parallelogramm mit vier rechten Winkeln)
Quadrat
(Rechteck mit vier gleich langen Seiten)
Raute
(Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten)
Kreis: Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt die gleiche Entfernung (Radius r) k(M;r)
Mx
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Winkel
Dreht man die Halbgerade g (Schenkel) um den Anfangspunkt S
(Scheitel) gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung) bis zur Halbgeraden h (Schenkel), so entsteht der Winkel zwischen g und h.
h
B
S
Bezeichnungen:
A
g
(g, h) oder
ASB
oder mit gr. Buchstaben: α, β, γ, δ, ε, φ
Winkelarten:
Gradzahl
Bezeichnung
0° <  < 90°
spitzer Winkel
 = 90°
rechter Winkel
90° <  < 180°
stumpfer Winkel
 = 180°
gestreckter Winkel
180° <  < 360°
 = 360°
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überstumpfer Winkel
Vollwinkel
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Achsensymmetrie
Zueinander symmetrische Punkte bilden eine Strecke, die von der
Symmetrieachse senkrecht halbiert wird.
C
C‘
.
A
B
A‘
B‘
Symmetrieachse
Figuren, die man durch Falten (entlang der Symmetrieachse) aufeinander legen kann heißen achsensymmetrisch.
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7 Rechnen mit Größen
Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.
Längen: Umrechnungszahl ist 10. (Ausnahme 1km = 1000m)
mm → cm → dm → m → km
Massen: Umrechnungszahl ist immer 1000.
mg → g → kg → t
Zeit:
s → min → h Umrechnungszahl ist 60.
Größen können auch in gemischten Einheiten (2kg30g) oder in
Kommazahlen (3,15m oder auch 3:20,5h) angegeben werden.
Rechenregeln:
Es können nur Größen derselben Einheit addiert bzw. subtrahiert
werden.
12cm + 3,2m = 12cm + 320cm = 332cm = 3,32m
Der Quotient zweier gleichartiger Größen ergibt eine (An-)zahl.
15kg : 3kg = 5
Eine Größe wird mit/durch eine/r Zahl multipliziert/dividiert, indem man die Maßzahl mit/durch die/der Zahl multipliziert/dividiert und die Einheit beibehält.
3h20min ∙ 4 =200min ∙ 4 = 800min = 13h20min
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Maßstab
1:1000 bedeutet, dass Längen auf der Karte in Wirklichkeit
1000mal größer sind oder, dass Längen in Wirklichkeit
auf einer Karte 1000mal kleiner zu sehen sind.
Flächeneinheiten
Flächen: Umrechnungszahl ist immer 100.
mm2  cm2  dm2  m2  a  ha  km2
123 456 m2
= 12 ha 34 a 56 m2
1m2 2cm2 34 mm2
= 10002,34 cm2
Rechteck:
U = 2∙( l + b )
A=l∙b
Quadrat:
UQ = 4a
AQ = a²
Oberflächeninhalte
Quader:
O = 2∙( l∙b + l∙h + b∙h )
)
Würfel:
O = 6s2
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(bei Kantenlänge s)
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