Grundwissen 5

Grundwissen Mathematik
1
Zahlen
1.1
Zahlenmengen
Jahrgangsstufe 5
N = { 1, 2, 3, ...} Menge der natürlichen Zahlen
N0 = { 0, 1, 2, ...} Menge N mit Null
Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...} Menge der ganzen Zahlen
Je weiter rechts auf dem Zahlenstrahl eine Zahl steht,
desto größer ist sie.
7∈N
– 5 ∈ Z, aber – 5 ∉ N
4 > –2
–1 < 1
–23 < –22
Zahlen, die auf dem Zahlenstrahl gleich weit von der
Null entfernt sind, heißen Gegenzahlen.
3 und –3 sind Gegenzahlen
–1001 und 1001 sind Gegenzahlen
Der Betrag einer Zahl ist stets positiv oder Null.
3=3 und −3= 3
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau zwei
Teiler besitzen, nämlich 1 und sich selbst.
Jede natürliche Zahl lässt sich in ein Produkt von Primzahlen zerlegen (Primfaktorzerlegung).
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ...
1 ist keine Primzahl.
56 = 2 ⋅ 23
1.2
1960 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 = 23 ⋅ 5 ⋅ 7 2
Zahlensysteme
Unser Zahlensystem besteht aus den Ziffern 0 bis 9
(Zehnersystem) und ist ein Stellenwertsystem; die
Stelle einer Ziffer bestimmt ihren Wert in der Zahl.
Nützlich sind dabei die Zehnerpotenzen:
100 =1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; ...
1.3
0=0
2035 = 2 ⋅ 1000 + 0 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1
47 ⋅ 106 = 47 000 000
3 600 000 = 36 ⋅ 105
Größen
Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Die Grundeinheiten kann man durch untergeordnete Einheiten ersetzen.
Größe
Grundeinheit
andere Einheiten
Zeit
1 s (Sekunde)
1 min (Minute)
1 h (Stunde)
1 d (Tag)
1 € = 100 Ct
12 km = 12000 m
1800 s = ½ h
Masse
1 kg (Kilogramm)
1 g (Gramm)
1 mg (Milligramm)
1 t (Tonne)
Länge
1 m (Meter)
1 mm (Millimeter)
1 cm (Zentimeter)
1 dm (Dezimeter)
1 km (Kilometer)
Zusammenhänge zwischen Größen kann man in einer
Tabelle oder in einem Diagramm darstellen.
Tabelle
200
Größe in cm
Häufig benutzte Diagrammarten sind das Figurendiagramm, das Strichdiagramm und das Säulen- bzw.
Balkendiagramm.
Säulendiagramm
250
150
100
50
Tier
Größe in cm
Biber Hauskatze Löwe Reh
100
90
200
125
0
Biber
Hauskatze
Löwe
Reh
Tier
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Grundwissen Mathematik
1.4
Gliederung von Termen
Addition: In der Summe wird der 2. Summand zum
1. Summanden addiert.
Subtraktion: In der Differenz wird der Subtrahend
vom Minuenden subtrahiert.
Multiplikation: Im Produkt wird der 1. Faktor mit
dem 2. Faktor multipliziert.
Division: Im Quotienten wird der Dividend durch den
Divisor dividiert.
Durch Null darf nicht dividiert werden.
Die Potenz besteht aus der Basis und dem Exponenten.
Der letzte Rechenschritt bestimmt die Art des Terms
1.5
Jahrgangsstufe 5
Summe
24
+
6
= 30
1. Summand
2. Summand
Produkt
12
= 48
⋅ 4
1. Faktor 2. Faktor
Differenz
30
6
= 24
−
Minuend
Subtrahend
Quotient
48
: 4 = 12
Dividend Divisor
5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 ; Die Basis ist 5, der Exponent 3.
7 + (6 ⋅ 2) ist eine Summe, (7 + 6) ⋅ 2 ist ein Produkt
Rechnen mit ganzen Zahlen
Eine negative Zahl addiert man, indem man ihre Gegenzahl subtrahiert.
Eine negative Zahl subtrahiert man, indem man ihre
Gegenzahl addiert.
Man multipliziert oder dividiert zwei ganze Zahlen
zuerst ohne Beachtung des Vorzeichens und setzt
dann im Ergebnis das Vorzeichen. Gleiche Zeichen
ergeben „+“, ungleiche „–”.
3 + (+2) = 3 + 2 = 5
3 + (–2) = 3 – 2 = 1
3 – (+2) = 3 – 2 = 1
3 – (–2) = 3 + 2 = 5
3· 2=6
3 · (–2) = –6
–3 · 2 = –6
–3 · (–2) = 6
–3 + (+2) = –3 + 2 = –1
–3 + (–2) = –3 – 2 = –5
–3 – (+2) = –3 – 2 = –5
–3 – (–2) = –3 + 2 = –1
6:3=2
6 : (–3) = –2
–6 : 3 = –2
–6 : (–3) = 2
Beim schriftlichen Rechnen kann man nebeneinander oder untereinander rechnen.
Mit Überschlagsrechnungen kann man Ergebnisse
abschätzen und überprüfen. Steht nach der Stelle, auf
die gerundet werden soll, die Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4,
wird abgerundet, sonst aufgerundet.
Das Zählprinzip kann man am Baumdiagramm veranschaulichen:
Jeder Pfad durch den Baum steht für eine Kombinationsmöglichkeit. Hat die erste Verzweigung m Äste
und die zweite n Äste, so gibt es m·n Kombinationsmöglichkeiten.
1.6
13 512 ≈ 14 000
13 499 ≈ 13 000
Für 3 T-Shirts und 2
Hosen gibt es 3 · 2 = 6
Möglichkeiten:
T 1H 1, T 1H 2, T 2H 1,
T2H2, T3H1 und T3H2.
Rechengesetze
Kommutativgesetze (für a, b aus Z):
a+b=b+a
a⋅b =b⋅a
13 + 728 = 728 + 13
23 · 56 = 56 · 23
Assoziativgesetze (für a, b, c aus Z):
(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c )
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
(37 + 195) + 5 = 37 + 195 + 5 = 37 + (195 + 5)
(3 ⋅ 8) ⋅125 = 3 ⋅ 8 ⋅125 = 3 ⋅ (8 ⋅125)
Das Distributivgesetz kann man zum Ausmultiplizieren
oder Ausklammern nutzen:
für a, b, c aus Z
( a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
98 ⋅ 4 = (100 − 2) ⋅ 4 = 100 ⋅ 4 − 2 ⋅ 4 = 400 − 8 = 392
(390 + 39) : 13 = 390 : 13 + 39 : 13 = 30 + 3 = 33
Werden keine Rechenvorteile genutzt, so gilt:
§ Klammern zuerst
§ Potenzen vor Punktrechnungen
§ Punkt vor Strich
§ Rechne von links nach rechts.
(90 − 34 ) ⋅ (3 ⋅ 4 − 3) = (90 − 81) ⋅ (12 − 3) = 9 ⋅ 9 = 81
(44 : 4 − 4) ⋅ 4 + 4 = (11 − 4) ⋅ 4 + 4 =
= 7 ⋅ 4 + 4 = 28 + 4 = 32
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Grundwissen Mathematik
2
Geometrie
2.1
Koordinatensystem
Jahrgangsstufe 5
II
Das Koordinatensystem besteht aus zwei zueinander
senkrechten Zahlenstrahlen mit gemeinsamem
Nullpunkt.
I
y
Q(–3|2)
1
Die x-Achse zeigt nach rechts, die y-Achse nach oben.
O
Ein Punkt P(x|y) ist durch seine Koordinaten x und y
festgelegt.
Die Ebene wird in vier Quadranten (I, II, III, IV)
unterteilt.
2.2
Geometrische Grundbegriffe
2.3
Winkel
1
x
P(1|–2)
III
IV
Dreht man eine Halbgerade g um ihren Anfangspunkt S
entgegen dem Uhrzeigersinn bis zur Halbgeraden h,
so entsteht ein Winkel.
Der Schnittpunkt der Schenkel heißt Scheitel.
Bezeichnungen: □(g, h) oder □ ASB
Nullwinkel
α = 0°
spitzer Winkel
0° < α < 90°
rechter Winkel
α = 90°
stumpfer Winkel
90° < α < 180°
gestreckter W.
α = 180°
überstumpfer W.
180°< α < 360°
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Grundwissen Mathematik
2.4
Jahrgangsstufe 5
Flächen
Der Umfang U einer Figur ist die Summe ihrer
Seitenlängen.
Rechteck
Der Flächeninhalt A gibt
eingeschlossenen Fläche an.
l
A = l ⋅b
die
Größe
der
b
U = 4⋅s
13 m 2 = 13 ⋅ 100 dm 2 = 1300 dm2
Die Umrechnungszahl zwischen zwei benachbarten
Flächeneinheiten ist immer 100.
2.5
s
s
A = s ⋅ s = s2
U = 2 ⋅ (l + b)
Die Flächeneinheiten sind:
1 mm2 < 1 cm2 < 1 dm2 < 1 m2 < 1 a < 1 ha < 1 km2
Quadrat
300 ha = (300 : 100) km 2 = 3 km 2
1a = 1 ⋅ 100 m 2 = 1 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 cm 2 = 1 ⋅ 106 cm 2
Der Oberflächeninhalt des Quaders
h
Die Summe der Flächeninhalte der Begrenzungsflächen
eines Körpers heißt der Oberflächeninhalt O des
Körpers.
Quader
b
l
OQ = 2 ⋅ (l ⋅ b + l ⋅ h + b ⋅ h)
2.6
s
Würfel
s
s
OW = 6 ⋅ s 2
Achsensymmetrische Figuren
Figuren, die man durch Falten aufeinanderlegen kann,
heißen achsensymmetrisch.
Die Faltgerade a heißt Symmetrieachse.
Zu jedem Punkt R auf einer Seite der Symmetrieachse
gehört ein Bildpunkt R′ auf der anderen Seite.
Punkte Q auf der Symmetrieachse heißen Fixpunkte.
Die Strecke [RR′] steht senkrecht auf
Symmetrieachse und wird von dieser halbiert.
der
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