Jahrgangsstufe 10 - Johannes-Nepomuk

GRUNDWISSEN MATHEMATIK
10
Grundwissenskatalog
G8-Lehrplanstandard
Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums
Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing
JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM
9 G8
Grundwissen Mathematik
1
Die Kreiszahl π
Kreisteile

Bogenlänge:
b
Sektorfläche:
ASek 
360
u 

360

180
r
AKreis 

360
r 2
 12 br
Bogenmaß
Das Bogenmaß x ist das zu  gehörende Verhältnis
Bogenlänge

, also die Zahl x 
.
Radius
180
Gradmaß 
0°
30°
45°
60°
90°
Bogenmaß x
0
1

6
1

4
1

3
1

2
Merke:
Kugel
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
180

x

V  43 r 3
, also
und

x

180° 360°

2
180
O  4r 2 π
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Grundwissen Mathematik
2
Trigonometrie
Einheitskreis
Die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel
 (180  ), (180  ), (360  )
sind betragsgleich.
tan

cos
-cos
1
-sin
-sin
-1
sin
sin
1
Für die Vorzeichen gilt:
Sinus Kosinus
-1
negative Winkel (im Uhrzeigersinn)
sin()   sin , cos()  cos , tan()   tan 




1
sin   1 2  1  si n (1 2 )
 45 und
2
2
 2  180  1  135
cos   0,3  1  107,5 und  2  360  1  252,5
sin 150° = sin (180° - 150°) = sin 30° = 0,5
cos α = sin (90° - α)
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Grundwissen Mathematik
Sinus- und Kosinussatz
Im Dreieck ist das Verhältnis zweier Seiten gleich dem
Verhältnis der Sinuswerte der Gegenwinkel.
a sin 

b sin 
b sin 

c sin 
a sin 

c sin 
In jedem Dreieck gilt:
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
b 2  a 2  c 2  2ac  cos 
(Der Satz des Pythagoras ist davon ein Sonderfall,   90 )
Funktionen
Sinusfunktion f(x) = sin x,
D = , punktsym. zum Ursprung;
Periodenlänge 2π; W = [-1;1]
Kosinusfunktion f(x) = cos x, D = , achsensym. zur y-Achse;
Periodenlänge 2π; W = [-1;1]
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Grundwissen Mathematik
y
1
O
-1
1
2
3
4
5
6 x
-1
Die allgemeine Sinusfunktion
f(x) = a ∙ sin [ b ∙ ( x + c ) ] + d mit Periodenlänge
a Streckung/Stauchung in y-Richtung (Amplitude)
für a < 0 Spiegelung an der x-Achse
b Streckung/Stauchung in x-Richtung
c Verschiebung in x-Richtung (c < 0 nach rechts)
d Verschiebung in y-Richtung
y
1
-1
O
1
2
3
4
5
6 x
-1
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Grundwissen Mathematik
3
Exponentielles Wachstum und Logarithmen
Exponentielles Wachstum
Ein Wachstum mit konstantem Zuwachs in gleichen Schritten
heißt lineares Wachstum (z.B. Zins); ein Wachstum mit
konstantem Wachstumsfaktor in gleichen Zeitspannen heißt
exponentielles Wachstum (z.B. Zinseszins, Bevölkerung,
Bakterien, auch radioaktiver Zerfall als negatives Wachstum)
Wachstumsgesetz:
y  b ax
x: Anzahl der Zeitintervalle, b: Startwert,
a: Wachstumsfaktor (a >1 Zunahme, 0 < a <1 Abnahme)
 Halbwertszeit ist die Zeit, in welcher der Startwert auf die
Hälfte gesunken ist.
 Zinseszins: Jährlicher Zinssatz von 4%  a  1,04
Kontostand nach z.B. 20 Jahren (bei 100€ Startwert):
y  b  a x  100 € 1,04 20  219,11 €
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Exponentialfunktionen
y  ax a  IR  , x  IR , W = IR+
y
a
1
2
a2
streng monoton steigend für a > 1
a 1
streng monoton fallend für 0< a <1
P (0/1) ist gemeinsamer Punkt aller
Graphen
x
1
Die Graphen von y  a und y   
a
x
x
 a
x
sind zueinander
symmetrisch bzgl. der y-Achse.
Logarithmus
Die Lösung der Exponentialgleichung a x  b , mit a  IR  \ 1
heißt Logarithmus von b zur Basis a:
x  log a b
( log a b ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss
um b zu erhalten. "a hoch wie viel ist b"?)
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Grundwissen Mathematik

log 2 8  3 , denn 2 3  8

log 10 100000  5 , denn 105  100000

log5
1
5
 1 , denn 5 1  15
Rechenregeln für Logarithmen
log a (u  v)  log a u  log a v
log a (u : v)  log a u  log a v
(a, u, v  IR  , a  1, r  IR)
log a u z  z  log a u
Sonderfälle:
log a 1  0
log a a x  x
Zehnerlogarithmus-Schreibweise: lg x : log10 x
(Auf dem TR ist die Zehnerlogarithmus-Taste mit log beschriftet!)
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Exponentialgleichungen
Anwendung des Logarithmus (hier lg) um die Variable aus dem
Exponenten zu „ziehen“:
| lg („logarithmieren“)
(
)
…
Logarithmusfunktionen
, mit D = IR+ ist die Umkehrfunktion zu y  a x
y  log 2 x
y  2x
y  log3 x
y  log 2 x
y  log 1 x
2
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4
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Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Bedingte Wahrscheinlichkeit
( )
(
)
( )
heißt für P(A)  0 die bedingte Wahrschein-
lichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass das Ereignis
A eingetreten ist.
Beispiel: Bei einer Befragung von 80 Personen geben 65 an
Englisch und 55 Französisch zu sprechen. Von
denen die Englisch sprechen, sprechen 45 auch
Französisch.
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Grundwissen Mathematik
) (
)
(
)
(
)
( )
(
)
)
( )
( )
„mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die
kein Englisch sprechen, jemand Französisch“
( )
)
„mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die
Kein Englisch sprechen, jemand auch kein Französisch“
) (
)
)
( )
(
(
)
( )
( )
)
( )
„mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die
Französisch sprechen, jemand auch Englisch“
Vierfeldertafel
Passend zum Beispiel:
E
F
1
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5
Ausbau der Funktionenlehre
Potenzfunktionen
Jede Funktion f(x) = xn mit D =  und n  heißt Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten.
n gerade: W =  ; Gf achsensymmetrisch zur y-Achse und gemeinsamen
Punkten (-1/1), (0/0), (1/1)
y=x2
n ungerade: W = ; Gf punktsymmety=x5
risch zum Ursprung und gemeinsamen
Punkten (-1/-1), (0/0), (1/1)
Ganzrationale Funktionen
„Polynom“
Eine Funktion der Form
f(x) = a n x n  a n 1x n 1  ......  a 2 x 2  a1x  a 0 mit a 0 ......a n
heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades.
5 x 4  3x 2  x  0 ,
d.h. a n  ...  a5  0, a 4  5 , a3  0 , a 2  3 , a1  1 , a 0  0
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Grundwissen Mathematik
Nullstellenbestimmung:

Ist x0 eine Nullstelle von f (Grad n), so ist f(x) teilbar durch
(x – x0) mit f(x) = (x – x0) ∙ g(x), (Grad (g) = n-1)

Eine ganzrat. Funktion n-ten Grades hat maximal n
Nullstellen (mehrfache Nullstellen werden mehrfach gezählt)

Nullstellen
gerader
Ordnung
liefern
einen
Vorzeichenwechsel im Graphen (Schnittpunkt); Nullstellen
ungerader Ordnung liefern einen Berührpunkt

Um Nullstellen zu berechnen, gibt es auch die Möglichkeit
der Polynomdivision; nach dem „Raten“ einer Nullstelle
erfolgt eine Division durch den zugehörigen Linearfaktor:
6x : 3x  
3
6x 3  16x 2  7x  10 : 3x  2   2x 2  4x  5
(6x 3  4x 2 )
(3x  2)  2x 2
12x 2  7x
12x2 : 3x  
 12x  8x 
2
 15x  10
(15x  10)
usw.
0
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Symmetrie
Punktsymmetrie zum Ursprung  f(-x) = -f(x)
Achsensymmetrie zur y-Achse  f(-x) = f(x)
y
y
f(x)
f(x)
f(-x)
x
x
f(-x)
Verändern von Funktionsgraphen (s. Sinusfunktion)
f(x) + a
Verschiebung
in y-Richtung
f(x + b)
a ∙ f(x)
Verschiebung
in x-Richtung
Streckung
in y-Richtung
f(a ∙ x)
Streckung
in x-Richtung
Grenzwert
Unterscheiden sich die Funktionswerte von f(x) für x→±∞
beliebig wenig von der Zahl a, so konvergiert f(x) gegen den
Grenzwert a; sonst divergiert f(x)
( )
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