Analysis, Fenske

Vordiplomprüfung über Analysis I, II und III
Prüfer: Prof. Fenske, Beisitzer: Dr. Lani-Wayda
29.8.2000, Note: 1.0 , Prüfungsdauer: 30 min
1. Konvergiert
n2
 2n ?
a n 1
(n  1) 2
1


  1  sogar absolute Konvergenz
n 
an
2n 2
2
Quotienten-Kriterium:
2. Was fällt Ihnen zu
 (1)
 n 1
log 
 ein?
 n 
n
1

Leibniz-Kriterium: Reihe ist alternierend und log1   ist eine monoton fallende Nullfolge, also ist
n


die Reihe konvergent.
Gibt es eine Umordnung  , so dass die Reihe gegen ein beliebiges s  R konvergiert?
Unbedingte Konvergenz  absolute Konvergenz:
 n 1
 n 1 
log(n  1)  log(n)  lim
log
log
log(n)  log(1)  


n 

 n 
 n  n 1
0
Also gilt keine absolute bzw. unbedingte Konvergenz und dann gibt es nach dem Riemannschen
Umordnungssatz so eine Umordnung  .
 (1)

n

3. Wie bestimmt man die Extrema von f ( x, y, z)  xy  yz unter den Nebenbedingungen
x 2  y 2  2 und yz  2 ?
Setze g 1 ( x, y, z)  x 2  y 2  2 und g 2 (x, y, z)  yz  2 , dann Ansatz mit Lagrange-Multiplikatoren:
grad f  1grad g 1   2 grad g 2
Warum darf man diesen Ansatz machen?
Mannigfaltigkeit, g  (g1 , g 2 ) , g ist C  -Funktion mit Rang 2.
4. Ist f ( x , y, z) 
sin x 3 y 3 z 3
1  x 2  y 2  z 2 3 




2
integrierbar?
Ist integrierbar, wenn Betrag integrierbar oder was noch größeres als Betrag (Lebesgue), also schätze
ab:
sin x 3 y 3 z 3
1  x 2  y 2  z 2 




3
und dann Fubini:
2

1
1  x 2  y 2  z 2 3 




3

1
 
3
2
2
2 
1  x  y  z 


2


2
, dann Transformationssatz (Kugelkoordinaten)
2

1
r2
r 2 sin dddr  4 
dr
3
3
r  0  0   0 (1  r )
r  0 (1  r )
  
Was sichert die Existenz dieses Integrals (warum darf man bis  integrieren)?
Monotonen Konvergenzsatz von Levi angeben (Integral musste nicht fertig ausgerechnet werden)
5. Wie löst man die Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten x  Ax ?
A  R nn , Lösung ist x ( t )   exp( At) , wenn man Anfangswert x(0)   hat.
Wie ist denn exp(A) definiert?
exp( A) 


n 0
An
n!
Warum konvergiert die Summe?

Betrachte

n 0
An
n!


n 0
A
n!
n
. Endlichdimensionale normierte Vektorräume sind vollständig.
6. Integrieren Sie
z
4
dz
über dem Einheitskreis.
sin z
dz
1 z
z
z

dz und
läßt sich in 0 holomorph durch 1 fortsetzen, also läßt sich
sin z  z 5 sin z
sin z
sin z
z
1
  a n z n , dann ist Residuum von 4
um 0 in Laurentreihe entwickeln f (z) 
das
sin z
z sin z
f ( 4 ) (0)
7
dz
a4 

 2i  a 4 nach dem
(hat Hr. Fenske schon mal ausgerechnet!), dann ist
4
4!
360
z
sin z

z
4

Residuensatz.
7. Sei f nicht konstant, holomorph und ganz, was gilt dann für f ?
f (C)  C . Beweis: Angenommen, dass nicht, dann: a  C  0 so dass f (z)  a   z . Dann ist
1
  beschränkt. Widerspruch zu Liouville: Beschränkte ganze Funktionen sind konstant.
f (z)  a
Bemerkung: Sehr angenehme Prüfungsatmosphäre, es ist nicht schlimm, wenn man nervös ist, und nicht gleich
auf alles sofort kommt!