Serie 13 - D-MATH

MATH, PHYS, CHAB
Prof. Dr. E. Kowalski
Analysis I
HS 2013
Serie 13
1. Sei
f : R −→ R
(
exp(− x12 ), falls x 6= 0,
f (x) :=
0,
falls x = 0.
Zeigen Sie, dass f ∈ C ∞ (R) und f (k) (0) = 0 für alle k ∈ N0 .
Hinweis: Führen Sie einen Induktionsbeweis und zeigen Sie, dass f (k) (x) =
1
pk ( x1 )e− x2 für x 6= 0 und ein Polynom pk ist.
2. Seien f, g ∈ C n (R). Zeigen Sie, dass f g ∈ Cn (R) und
n X
n (k) (n−k)
(n)
(f g) =
f g
.
k
k=0
Hinweis: Führen Sie einen Induktionbeweis.
3. In dieser Aufgabe wollen wir die sogenannten Hermiteschen Polynome
definieren und untersuchen.
(a) Zeigen Sie, dass für n ∈ N0 die Funktion
ψn : R −→ R
ψn (x) := (−1)n
dn −x2
e
dxn
2
von der Form ψn (x) = Hn (x)e−x , x ∈ R ist, wobei Hn ein Polynom vom Grad n ist. Man nennt Hn das n-te Hermitesche Polynom.
Hinweis: Führen Sie einen Induktionsbeweis.
(b) Zeigen Sie, dass die Hermite Polynome die folgende Rekursionsgleichung für alle n ∈ N und x ∈ R erfüllen:
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x).
4. Approximieren Sie log( 23 ) durch eine rationale Zahl mit einer Fehlertole1
ranz von maximal 24
.
Hinweis: Entwickeln Sie die Funktion log(1 + x), x > 0 um die Stelle
x0 = 0 mittels der Taylor-Formel, um den Fehler abzuschätzen.
5. Berechnen Sie
sin(x2 )
,
x→0 sin(x)
lim
indem Sie den Limes in die Form
lim
x→0
f (x) − f (0)
g(x) − g(0)
für geeignete differenzierbare Funktionen f und g bringen.
1
6. In dieser Aufgabe wollen wir die Höldersche Ungleichung beweisen. Seien
xi > 0, yi > 0, i ∈ {1, . . . , n} reelle Zahlen und p, q ∈ R mit p1 + 1q = 1 und
p > 1. Zeigen Sie, dass dann
n
X
i=1
xi yi 6
X
n
i=1
xpi
p1 X
n
yiq
q1
i=1
gilt.
Hinweis: Verwenden Sie die Youngsche Ungleichung a1/p b1/q 6 p1 a + 1q b
für a, b, q > 0 und p > 1.
2
7. Multiple Choice Aufgaben:
1. Welche Funktion hat eine Taylorentwicklung um den Nullpunkt, welche
1
1 2
bis zu zweiter Ordnung gleich: 1 + 1!
x + 2!
x ist?
(a)
f (x) := x2 /2 + x + 1, x ∈ R.
(b)
g(x) := x3 /3 + x2 /2 + x + 1, x ∈ R.
(c)
h(x) := x3 + x2 /2 + x + 1, x ∈ R.
(d)
k(x) := x + 1, x ∈ R.
(e)
exp.
2. Welche Funktion hat eine Taylorentwicklung um den Nullpunkt, welche
bis zu Nullter Ordnung gleich: 1 ist?
(a)
cos.
(b)
sin.
(c)
exp.
(d)
log(1 + x).
3. Welche Funktion gleicht ihrer Taylorentwicklung 1 + x + x2 + x3 + · · ·
um den Nullpunkt?
(a)
f (x) =
1
1+x , |x|
< 1.
(b)
g(x) =
1
1−x , |x|
< 12 .
(c)
h(x) =
1
1−x , x
6= 1.
4. Welche der folgenden Funktionen ist konvex?
(a)
exp : R −→ R.
(b)
− log :]0, +∞[−→ R.
(c)
Die Heaviside-Funktion H mit H(0) = 1.
Abgabe: Diese Serie wird nicht abgegeben und nicht korrigiert. Eine Musterlösung erscheint dennoch. Die Multiple Choice Aufgaben werden wie gewohnt online bearbeitet und automatisch ausgewertet.
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