Logik für Informatiker (WS 08/09)

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 08/09)
Übungsblatt 11 (Abgabe bis 19.01.2009, 12:00 Uhr)
Erinnerung: Zur Klausurteilnahme ist unbedingt eine Anmeldung in STUDIS
sowie eine separate Anmeldung zur Erstklausur in LectureReg erforderlich.
Der Zeitraum für beide Anmeldungen ist von Montag 05.01.09 (00.01 Uhr) bis
Donnerstag 15.01.09 (23.59 Uhr).
Für die Zweitklausur wird dann ebenfalls eine Anmeldung in LectureReg erforderlich sein –
dieser Zeitraum wird noch bekannt gegeben.
Aufgabe 1
(6 Punkte)
Leiten Sie im Gentzen-Kalkül (s. frühere Übungsblätter) folgende Aussage her.
⊢G (A → B) → (¬B → ¬A)
Aufgabe 2
(7 Punkte)
Leiten Sie im Hoare-Kalkül folgende Hoare-Tripel her, indem Sie jeweils eine Herleitung in
Form einer Liste (nummerierte Zeilen mit detailierten Begründungen) angeben.
1. { x > 5 } x = 5; { ¬ x > 5 }
2. { x = y / z ∧ 0 < z } y = y − z; { x = y / z + 1 }
3. { true } x = 2x + 2y; { ∃ y x = y + y }
Aufgabe 3
(8 Punkte)
Seien n, m ∈ N. Beweisen Sie die partielle Korrektheit des folgenden Hoare-Tripels:
{n ≤ 4 ∧ n ≥ 3} if (n == 3) then m = 9; else m = 16; {m = n2 }
Aufgabe 4
(5 Bonuspunkte)
In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf die Aussagenlogik. M0 heißt Axiomensystem von
M , wenn M0 und M dieselben Modelle haben; ist M0 zudem endlich, heißt M endlich axiomatisierbar.
Sei M0 = {A1 , A2 , . . .} Axiomensystem für ein M , wobei für alle i gilt |= Ai+1 → Ai und
6|= Ai → Ai+1 .
Zeigen Sie, dass M nicht endlich axiomatisierbar ist. Führen Sie einen indirekten Beweis.
(Einfache Aussagen können Sie direkt verwenden, ohne einen Induktionsbeweis zu führen;
verwenden Sie Korrektheit und Vollständigkeit, d.h. Aussagen der Form M |= A, M ⊢ A sind
wichtig.
In Ihrem Beweis sollten Sie drei Mengen von Formeln betrachten; von einer wissen Sie kaum
etwas, die sollte weiter keine große Rolle spielen.)