Dr. Peter Furlan WS 2016/17 Dr. Jörg Horst Lösungshinweise zum 3

Dr. Peter Furlan
Dr. Jörg Horst
WS 2016/17
Lösungshinweise zum 3. Übungsblatt zur Höheren Mathematik I
(P/MP/ET/IT/AI)
Aufgabe 1
2
X
1
1
1 ! √
√ =1+ √ >1+ > 2 X
2
2
k
k=1
I.S: n → n + 1.
a) I.A.: n = 2.
• I.V.: Für ein n ∈ N, n ≥ 2, gelte
• Z.z.:
n
X
√
1
√ > n.
k
k=1
n+1
X
√
1
√ > n + 1.
k
k=1
• Bew.: Es gilt mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung
n+1
X
1
√
k
k=1
=
(I.V.)
>
=
b) I.A.: n = 1.
1
X
k=1
n
X
1
1
√ +√
n+1
k
k=1
√
1
n+ √
n+1
p
√
n(n + 1) + 1
n+1
√
>√
= n+1 X
n+1
n+1
1
1 !
1
1
= =1− = . X
k(k + 1)
2
2
2
I.S: n → n + 1.
• I.V.: Für ein n ∈ N gelte
n
X
k=1
• Z.z.:
n+1
X
k=1
1
1
=1−
.
k(k + 1)
n+1
1
1
1
=1−
=1−
.
k(k + 1)
n+1+1
n+2
• Bew.: Es gilt mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung
n+1
X
k=1
1
k(k + 1)
=
n
X
k=1
(I.V.)
=
=
1
1
+
k(k + 1) (n + 1)(n + 2)
1
1
+
n + 1 (n + 1)(n + 2)
n+2−1
1
1−
=1−
. X
(n + 1)(n + 2)
n+2
1−
Aufgabe 2
a) Eine Gerade in den komplexen Zahlen kann duch z = w1 +tw2 mit w1 , w2 ∈ C,
t ∈ C beschrieben werden.
Man sieht direkt, dass die Operationen, die zu M1 bis M5 führen, Geraden in
Geraden überführen.
Bei M6 ist das Ergebnis das Quadrat des Betrags der Punkte des Dreiecks.
Aus der Skizze wird klar, dass z1 den kleinsten und z3 den größten Betrag hat,
und dass alle anderen Werte dazwischen liegen.
Berechnung der Bilder der
Eckpunkte:
M1 : 4 − i, 4, 5
M2 : i, −1 + 2i
M3 : −1 + i, −2, −3 + i
M4 : 1, 1 − i, 2 − i
M5 : −1, −1 − i, −2 − i
M6 : 1, 2, 5
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
z = 1 + αi
Berechnung von sieben Bildpunkten:
1
=1
1
1∓i
1
=
b) 1 ± i
2
1 ∓ 2i
1
=
1 ± 2i
5
1
1 ∓ 3i
=
1 ± 3i
10
1+i
1 − 2i
5
1−i
2
1
1 2(1 − αi) − (1 + α) 1 − α2 − 2αi − =
=
1 + αi 2
2(1 + α2 )
2(1 + α2 )
√
√
1 − 2α2 + α4 + 4α2
α4 + 2α2 + 1
2(α2 + 1
1
=
=
=
= .
2
2
2
2(1 + α )
2(1 + α )
2(1 + α )
2
1
1
Die Bildpunkte liegen also auf einem Kreis um mit Radius .
2
2