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Folgerung
Das Erfüllbarkeitsproblem der Prädikatenlogik ist
unentscheidbar.
Beweis:
ist allgemeingültig gdw.
ist nicht erfüllbar (d.h. unerfüllbar).
Bemerkung zu mathematischen Theorien
Eine Theorie ist eine Menge von Formeln, die unter Folgerbarkeit abgeschlossen ist. (Sätze von )
Modelltheoretische Methode zur Definition:
Sei eine Struktur.
Th .
Th ist eine vollständige Theorie:
für jede Aussage gilt:
Th oder Th .
Beispiele:
Th : Presburger Arithmetik
Th : (volle) Arithmetik
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Axiomatische Methode zur Definition:
Axiomensystem
: entscheidbare Formelmenge
Cons es gibt Formeln
so dass aus folgt
Beispiel:
Cons : Theorie der Gruppen
Eine Theorie heißt (endlich) axiomatisierbar , wenn
es ein (endliches) Axiomensystem
gibt mit Cons .
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Beispiel:
Cons ist allgemeingültig
- Jede axiomatisierbare Theorie ist rekursiv
aufzählbar.
- Jede vollständige und axiomatisierbare Theorie ist
entscheidbar.
- Die axiomatisierbare Theorie Cons ist nicht
entscheidbar.
Also ist sie nicht vollständig.
Fragestellungen in der mathematischen Logik:
(1.) Sind gewisse (axiomatisierbare) Theorien
entscheidbar?
(2.) Sind gewisse modelltheoretisch definierte
Theorien axiomatisierbar, oder sogar
entscheidbar?
Beispiele:
Th ist axiomatisierbar und sogar entscheidbar, aber nicht vollständig.
Th ist nicht axiomatisierbar und damit nicht
entscheidbar.
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