7. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Theoretische Informatik, TU Ilmenau
7. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“
Besprechung am 9. Juli 2013
Aufgabe 1
Wir erzeugen durch einen stochastischen Prozess ein Tournament G = (N, E) folgendermaßen:
Für jedes Paar (m, n) ∈ N × N mit m 6= n werfen wir eine faire Münze. Zeigt diese Kopf, dann
gibt es in G eine Kante von m nach n, d.h. (m, n) ∈ E und (n, m) 6∈ E, andernfalls gibt es
eine Kante von n nach m, d.h. (n, m) ∈ E und (m, n) 6∈ E. Da G ein Tournament ist, gibt es
außerdem keine Schleifen, d.h. (n, n) 6∈ E für alle n ∈ N.
Zeigen Sie: Je zwei auf diese Art erzeugte Tournaments sind mit Wahrscheinlichkeit 1 isomorph.
Hinweis: Benutzen Sie die Back-and-Forth-Technik und lassen Sie stochastische Argumente in
diese einfließen.
Aufgabe 2
Es seien LO die Klasse aller linearen Ordnungen und τLO die Signatur für lineare Ordnungen.
(a) Zeigen Sie: Für jeden FO[τLO ]-Satz ϕ gilt
`(ϕ | LO) ∈ {0, 1} .
Hinweis: Die Klasse LO ist nicht parametrisch. Sie benötigen für den Beweis Resultate/Techniken aus dem Kapitel über Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele.
(b) Beweisen Sie: Die Menge
{ ϕ ∈ FO[τLO ] | ϕ ist Satz mit A |= ϕ für alle A ∈ LO }
aller Tautologien für lineare Ordnungen ist entscheidbar.
Bemerkung: Die Menge aller τLO -Strukturen hingegen ist unentscheidbar.
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Aufgabe 3
Es sei τ eine beliebige konstantenfreie Signatur.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge
{ ϕ ∈ FO[τ ] | ϕ ist Satz mit TRand |= ϕ }
semi-entscheidbar ist.
(b) Beweisen Sie, dass die Menge aus Teilaufgabe (a) sogar entscheidbar ist.
(c) Schlussfolgern Sie, dass die Menge
{ ϕ ∈ FO[τ ] | ϕ ist Satz mit `(ϕ) = 1 }
aller „fast Tautologien im Endlichen“ entscheidbar ist.
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