7. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“

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Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Theoretische Informatik, TU Ilmenau
7. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“
Besprechung am 9. Juli 2013
Aufgabe 1
Wir erzeugen durch einen stochastischen Prozess ein Tournament G = (N, E) folgendermaßen:
Für jedes Paar (m, n) ∈ N × N mit m 6= n werfen wir eine faire Münze. Zeigt diese Kopf, dann
gibt es in G eine Kante von m nach n, d.h. (m, n) ∈ E und (n, m) 6∈ E, andernfalls gibt es
eine Kante von n nach m, d.h. (n, m) ∈ E und (m, n) 6∈ E. Da G ein Tournament ist, gibt es
außerdem keine Schleifen, d.h. (n, n) 6∈ E für alle n ∈ N.
Zeigen Sie: Je zwei auf diese Art erzeugte Tournaments sind mit Wahrscheinlichkeit 1 isomorph.
Hinweis: Benutzen Sie die Back-and-Forth-Technik und lassen Sie stochastische Argumente in
diese einfließen.
Aufgabe 2
Es seien LO die Klasse aller linearen Ordnungen und τLO die Signatur für lineare Ordnungen.
(a) Zeigen Sie: Für jeden FO[τLO ]-Satz ϕ gilt
`(ϕ | LO) ∈ {0, 1} .
Hinweis: Die Klasse LO ist nicht parametrisch. Sie benötigen für den Beweis Resultate/Techniken aus dem Kapitel über Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele.
(b) Beweisen Sie: Die Menge
{ ϕ ∈ FO[τLO ] | ϕ ist Satz mit A |= ϕ für alle A ∈ LO }
aller Tautologien für lineare Ordnungen ist entscheidbar.
Bemerkung: Die Menge aller τLO -Strukturen hingegen ist unentscheidbar.
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Aufgabe 3
Es sei τ eine beliebige konstantenfreie Signatur.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge
{ ϕ ∈ FO[τ ] | ϕ ist Satz mit TRand |= ϕ }
semi-entscheidbar ist.
(b) Beweisen Sie, dass die Menge aus Teilaufgabe (a) sogar entscheidbar ist.
(c) Schlussfolgern Sie, dass die Menge
{ ϕ ∈ FO[τ ] | ϕ ist Satz mit `(ϕ) = 1 }
aller „fast Tautologien im Endlichen“ entscheidbar ist.
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