Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
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(C, +, ·): Körper der komplexen Zahlen mit C ⇠
= R2 , R ⇢ C
2
Unterkörper, und 9z 2 C mit z + 1 = 0. genannt ±i.
z, w 2 C, z = x + iy , w = u + iv , (x, y ), (u, v ) 2 R2 :
z + w = (x + u) + i(y + v ), z · w = (xu yv ) + i(xv + yu).
Komplexe Konjugation
p
Betrag |z| = zz.
: C ! C, z = x + iy 7! z = x
iy .
Polarkoordinatendarstellung: z = r (cos ' + i sin '), r = |z|,
' = Arg(z), Hauptwert des Arguments, falls ' 2 ( ⇡, ⇡].
n
2⇡k
n-te Einheitswurzeln ⇣k = cos 2⇡k
n + i sin n , (⇣k ) = 1,
0  k < n.
Elementare komplexe Funktionen
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Eigenschaften von (konvergenten) Folgen und Reihen sind
analog zur reellen Analysis.
P
Polynome p(z) = n⌫=0 a⌫ z ⌫ , a⌫ 2 C.
P
P1 ( 1)n 2n+1
zn
exp(z) = 1
,
n=0 n! , sin(z) =
z=0 (2n+1)! z
P1 ( 1)n 2n
cos(z) = z=0 (2n)! z .
exp(iz) = cos(z) + i sin(z).
exp ist nicht injektiv, periodisch mit Perioden 2⇡ik, k 2 Z.
sin, cos haben genau dieselben Nullstellen wie in R.
Es existiert eine Umkehrfunktion Log : C⇥ ! C zu exp z, der
Hauptzweig des Logarithmus, eindeutig bestimmt durch
⇡ < Im Log z  ⇡ und exp(Log z) = z.
Log(z) = log |z| + iArg(z).
Log ist nicht stetig entlang der negativen reellen Achse.