Komplexe Zahlen – i²

UE Theoretische Physik f. d. Lehramt - L2
Roman Tunkl, Thomas Fleck
Komplexe Zahlen – i²
Für den gesamten vorliegenden Text gilt:
* kennzeichnet eine Multiplikation ; * bedeutet komplex konjugiert
Die komplexen Zahlen dienen der Lösung von Wurzeln negativer Zahlen. Dies funktioniert mithilfe
der grundlegenden Definition i² = -1
z.B.: √-4 = √(4*i²) = 2i
Komplexe Zahlen werden i.d.R. mit dem Buchstaben z bezeichnet und dargestellt als z = x + iy
wobei x & y als Element aus R. All jene komplexen Zahlen definieren die Menge der komplexen
Zahlen C. Das x bezeichnet man den Realteil, das y als den Imaginärteil. Zahlen, deren Realteil
gleich 0 ist, bezeichnet man als imaginäre Zahlen; jene deren Imaginärteil gleich 0 ist identifizieren
wir mit den reellen Zahlen. Die Zahlenmenge R ist damit nur mehr eine Teilmenge von C.
Für komplexe Zahlen gelten die gleichen Grundrechenarten, wie für reelle Zahlen:
Addition/Subtraktion: (3+4i) + (1-i) = (3+1) + (4i-i) = 4+3i (komponentenweise Add./Sub.)
Multiplikation: (3+4i) * (1-i) = (3) + (-4i²) + (-3i) + (4i) = 3+4+i = 7+i
Division: Bruch so erweitern, dass Nenner reell wird: z/3+4i  *(3-4i) ergibt 9-16i²  25
Weitere wichtige Definitionen:
z* heißt komplex konjugierte Zahl zu z, geändertes Vorzeichen im Imaginärteil; Summe aus z und z*
ergibt immer eine reelle Zahl, die Differenz aus z und z* immer eine imaginäre
|z| ist der (Absolut)Betrag von z, definiert als √(x²+y²)
Graphische Darstellung
Von komplexen Zahlen: 
Der Imaginärteil von z wird
auf der imaginären Achse
aufgetragen (y), der Realteil
auf der reellen Achse (x).
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Die komplexen Zahlen können dann dargestellt werden als Punkt in der Zahlenebene, oder als Pfeil,
gekennzeichnet durch den Betrag r und den mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel φ.
Aus gegebener Normalform z = x + iy gelangt man mit Hilfe der Formeln
r = √(x²+y²)
tan φ = y/x
zur sogenannten
trigonometrischen Darstellung
z = r (cos φ + i*sin φ)
Bei gegebener trigonometr. Darstellung
gelangt man zur Normalform mit Hilfe von
x = r * cos φ
und
y = r * sin φ
Die geometrische Interpretation von Additionen/Subtraktionen in „Pfeilform“ funktioniert wie bei
Vektoren durch das Aneinanderhängen der Pfeile. Multiplikation und Division folgen der Regel
z1 * z2 = r1 * r2 * (cos(φ1+φ2) + i*sin(φ1+φ2))
Beträge multiplizieren, Winkel addieren
z1 / z2 = r1 / r2 * (cos(φ1-φ2) + i*sin(φ1-φ2))
Beträge dividieren, Winkel subtrahieren
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Weitere wichtige Sachverhalte und Anwendungen:
Potenzieren
Formel von de Moivre
zn = rn * (cos(nφ) + i * sin(nφ)
Radizieren
Zur Berechnung der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl
mit k = 0,1,…,n-1
Logarithmus
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w, welche die Gleichung
ew = z erfüllt, Logarithmus von z.
Es gilt:
log(z) = log|z| + i * arg(z)
wichtige Rechenregel: log(z z´) = log(z) + log(z´)
Trigonometrie und Euler
&
Zusammenhang:
Translation und Drehstreckung
Translation:
f(z) := z + c
Drehstreckung:
f(z) := a * z mit c und a = |a| * eiα … komplexe Zahlen