Komplexe Zahlen - iks.hs

Komplexe Zahlen
1.
Definitionen
Imaginäre Einheit: j:=
2.
–1
Darstellung
Jede komplexe Zahl kann in der Form z = a + bj geschrieben werden mit a, b ∈ R . Dann heißen a, b
Real- bzw. Imaginärteil von z. Diese Darstellung heißt arithmetische Form von z.
3.
Operationen
Sei z = a + bj . Dann versteht man unter
Konjugiert-komplex: die komplexe Zahl z* := a - bj.
Real- und Imaginärteil: die reellen Zahlen Re(z) := a und Im(z) := b
2
Betrag: Die nichtnegative reelle Zahl |z| :=
2
Re ( z ) + Im ( z ) .
Folgerungen: z** = z, Re(z) = (z + z*) / 2, Im(z) = (z* -z)j / 2, |z|2 = z*z
Die obige Darstellung mit Real- und Imaginärteil nennt man arithmetische Form.
4.
Rechenregeln
Addition und Multiplikation sind, genau wie bei den reellen Zahlen, kommutativ, assoziativ und distributiv.
Sie ergeben sich in der arithmetischen Form als
z 1 + z 2 = a 1 + a 2 + ( b 1 + b 2 )j ;
z 1 z 2 = a 1 a 2 – b 1 b 2 + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 )j ;
z 1 – z 2 = a 1 – a 2 + ( b 1 – b 2 )j ;
z1
a 1 a 2 + b 1 b 2 + ( a 2 b 1 – a 1 b 2 )j
---- = -------------------------------------------------------------------.
2
2
z2
a +b
2
5.
2
Euler’sche Formel
Inhalt: Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion einer imaginären Variablen und den
trigonometrischen Funktionen.
e
6.
jx
= cos ( x ) + j sin ( x )
Arithmetische Form und Exponentialform
Statt durch Real- und Imaginärteil kann man jede komplexe Zahl z = a + bj auch durch Betrag und
Winkel (r, ϕ) ausdrücken:
z = r (cos ϕ + j sin ϕ) = r ejϕ. Die Äquivalenz der Darstellungen folgt unmittelbar aus der Euler‘schen
Formel. Eine Darstellung gewinnt man aus der jeweils anderen gemäß
r =
2
a +b
2
a = r ⋅ cos ϕ
b
ϕ = arc tan --- (+π, falls a<0)
a
b = r ⋅ sin ϕ
In dieser Form sind Multiplikation/Division sowie Potenzieren/Radizieren wegen der Logarithmengesetze
einfacher als in der arithmetischen Form. Zu beachten ist, dass die Darstellung einer komplexen Zahl durch
Komplexe Zahlen
(1/2)
A. Kilian
Betrag und Winkel, im Gegensatz zur arithmetischen Form, nicht mehr eindeutig ist; der Winkel ist nur
Modulo 2π angebbar (geht man einmal im Kreis herum, zeigt der Zeiger auf dieselbe Stelle), und im Falle
r = 0 ist der Winkel völlig unbestimmt.
7.
Wurzeln
Als Konsequenz der Nichteindeutigkeit des Winkels besitzt die Gleichung
n
z = z0
(gegeben z0, gesucht z) n Lösungen. Diese sind, wenn z0 in der Exponentialform vorliegt, also
z0 = z0 e
zk =
8.
n
jϕ
z0 e
und ϕ ∈ [0, 2π)
ϕ 2kπ
j  --- + ----------
n
n 
, k = 0, ... , n-1
Zusammenhang zwischen den trigonometrischen und den Hyperbelfunktionen
Aus der Euler’schen Formel folgt unmittelbar
Komplexe Zahlen
cos ( jx ) = ch ( x )
ch ( jx ) = cos ( x )
sin ( jx ) = jsh ( x )
sh ( jx ) = j sin ( x )
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A. Kilian