F Übung 1

Vorkurs Mathematik
Übungen zu Vektoren und Basiswechseln
1
Basiswechsel
1.1
Polarkoordinaten
Aufgabe 1.1 Schreiben Sie ~v in Polar-Koordinaten
a)
~v =
µ
2
2
¶
e)
~v =
√
2·
µ
b)
cos( 3π
4 )
sin( 3π
4 )
¶
f)
µ
2
−2
µ ¶
0
~v =
1
~v =
¶
c)
g)
µ
−1
−1
µ ¶
0
~v =
0
~v =
¶
d)
~v =
µ
Aufgabe 1.2 Zu den gegebenen Polarkoordinaten r, φ von ~v berechnen Sie ~v in kartesischer
Darstellung:
a)
r = 2,
φ=
π
2
b)
r = 2,
φ=
π
4
d)
r = 4,
φ=
π
2
e)
r = 4,
φ=
π
4
c)
r = 2,
φ = 4π +
π
2
Geometrie
Aufgabe 1.3 (Geometire) Skizzieren sie folgende Punktmengen in der Ebene:
µ ¶
p
x
∈ R2 : 0 ≤ arctan( xy ) ≤ π4 , 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2}
a) {
y
b) {(r, α) ∈ R2 : 0 ≤ α ≤ π4 , 1 ≤ r ≤ 2}
1.2
Kugelkoordinaten
3
Die Kugelkoordinaten eines Punktes
~v ∈
¤ R sind gegeben durch die Länge r(~v ) := ||~v || und
£
zwei Winkel ϕ ∈ [0, 2π] und θ ∈ − π2 , π2 .
• Der Winkel
µ
¶ϕ ist der “gewöhnliche” Winkel der Polarkoordinaten der ersten zwei Einv1
träge
. Der Winkel ϕ gibt also an, auf welchen Winkel ~x bezüglich der x-y-Ebene
v2
liegt.
• Der Winkel θ misst den Winkel zwischen ~v und der x-y-Ebene.
Man kann mit diesen Winkeln ~x schreiben als:
 


0
r · cos(ϕ)
~x = cos(θ) ·  r · sin(ϕ)  + sin(θ) ·  0 
r
0
1
−1
1
¶
r
v3
v2
θ
ϕ
v1
Abbildung 1: Kugelkoordinaten eines 3-dimensionalen Vektors.
¤
£
Aufgabe 1.4 Zeigen Sie, dass für r ∈ [0, ∞), φ ∈ [0, 2π] und θ ∈ − π2 , π2 stets gilt, dass der
Vektor

 

r · cos(ϕ)
0
cos(θ) ·  r · sin(ϕ)  + sin(θ)  0 
0
r
auf einer Kugel mit Radius r liegt.
Aufgabe 1.5 Skizzieren Sie alle Punkte mit
a) r = 1, θ = 0
b) r = 1, θ = π2
e)
c)
r = 1, φ = 0
r = 1, θ = − π2
d)
r = 1, θ =
Aufgabe 1.6 Berechnen Sie die Vektoren
√ mit den folgenden Kugel-Koordinaten:
a) r = 2, ϕ = π, θ = 0
b) r = 3, ϕ = π2 , θ = π4

 

1
1
Aufgabe 1.7 Berechnen Sie für ~v =  1  und w
~ =  1  jeweils r, ϕ und θ.
0
1
2
π
4