Institut für Algebra and Geometrie Prof. Dr. Enrico Leuzinger M. Sc. Moritz Gruber Hyperbolische Geometrie Sommer-Semester 2016 Übungsblatt 1 Aufgabe 1 19.04.2016 (Sinussatz und Kosinussatz) Für zwei Strahlen g(t) := tv + w und h(s) := su + w mit u, v, w ∈ R2 , s, t ∈ R≥0 ist der Winkel im Schnittpunkt w definiert als die eindeutig bestimmte Zahl η ∈ [0, π ] mit < v, u > cos(η ) = kvkkuk Es sei nun ∆ABC ein Dreieck in der euklidischen Ebene E2 mit Kanten der Länge a, b und c (jeweils gegenüber von A, B bzw. C) und sei α = ]CAB der Winkel bei A, sowie β und γ die Winkel bei B bzw. C. Zeigen Sie, dass dann gilt: 1) a sin α 2) c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) = Aufgabe 2 b sin β = c sin γ (Sinussatz) (Kosinussatz) (Involution) Es sei I : C −→ C definiert durch 1 z I( z ) : = ∞ 0 für z ∈ C \ {0} für z = 0 für z = ∞ Zeigen Sie, dass I stetig ist. Aufgabe 3 (Stereographische Projektion) Zeigen Sie, dass die erweiterte stereographische Projektion σ : S2 −→ C ein Homöomorphismus ist. Das heißt, σ ist bijektiv und σ und σ−1 sind stetig.