10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10

Sinussatz:
γTT
b
sin α
a
=
b
sin β
T a
T
T
T
α
βT
c
(Die Seitenlängen verhalten sich wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel)
Kosinussatz:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
( verallgemeinerter Pythagoras“)
”
Problem bei Winkelberechnungen mit dem Sinussatz:
Die Gleichung sin α = s mit 0 < s < 1 hat im Intervall [0; 180◦ ] zwei Lösungen (man
denke an den Graphen der sin-Funktion!), nämlich die vom Taschenrechner angezeigte ϕ1
y6
und ϕ2 = 180◦ − ϕ1 .
1
s
ϕ1
−1
π
2
2π x
ϕ2
Durch Zusatzüberlegungen (z. B. muss der größeren Seite der größere Winkel gegenüberliegen) findet man die richtige Lösung, es kann aber auch sein, dass beide Lösungen möglich
sind.
Beispiel:
Man berechne den Winkel δ in der nebenstehenden Skizze.
Gegeben: a = 5, b = 4, c = 3, d = 4.
@
@b
d""δ@
""
@
γ@
ε
"
c
a
Vorüberlegung: Zur Berechnung von δ muss man das untere Teildreieck betrachten und
benötigt hier eine weitere Größe; hierfür bietet sich der Winkel γ an, da dieser auch im
ganzen Dreieck vorkommt und dort schon drei Seitenlängen bekannt sind. Von Sinussatz
und Kosinussatz kommt hierfür nur der Kosinussatz in Frage, da er derjenige ist, in dem drei
Seitenlängen vorkommen.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ ⇒ cos γ =
a2 +b2 −c2
2ab
=
25+16−9
2·5·4
= 0,8 ⇒ γ ≈ 36,9◦
Im unteren Teildreieck verwenden wir den Sinussatz (auch der Kosinussatz wäre möglich;
dabei wäre dann eine quadratische Gleichung zu lösen).
sin δ
a
sin γ · a
= ⇒ sin δ =
= 0,75 ⇒ δ1 ≈ 48,6◦ oder δ2 ≈ 131,4◦
sin γ
d
d
Im ersteren Fall wäre (Winkelsumme im unteren Teildreieck) ε ≈ 94,5◦ der größte Winkel in
diesem Dreieck; da dort a die größte Seite ist, muss jedoch der a gegenüberliegende Winkel
δ der größte sein, also ist δ ≈ 131,4◦ .
Allgemeines Dreieck
Je nach gegebenen Größen wählt man einen der folgenden
Sätze:
Rechtwinklige Dreiecke → grund106.pdf
Gleichseitiges Dreieck → grund99.pdf
Gleichschenklige Dreiecke: Zerlegung durch die Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke
10
08
www.strobl-f.de/grund108.pdf
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Dreiecksberechnungen