Übung

Übungsblatt 5: Komplexe Zahlen - Taylorentwicklung
1. Gebe die erste drei Terme von der Taylorentwicklung der folgenden Funktionen um den Punkt a:
1
, a = 0,
x+2
f (x) = ln(x), a = 1,
√
f (x) = 1 + x, a = 0,
f (x) = sin x, a = π/2.
f (x) =
Nütze das Ergebnis um
√
1.1 und ln 0.9 anzunähern.
2. Mache eine Taylorentwicklung von sin x bis dritte Ordnung um die Gleichung x2 = sin x näherungsweise zu
lösen.
3. Die Fibonacci Folge ist definiert durch f0 = 1, f1 = 1, und fn = fn−1 + fn−2 . Wir Definieren die Funktion F
∞
X
durch F (x) =
fn xn .
n=0
• Verstehst du warum
∞
X
n=2
fn xn =
∞
X
n=2
fn−1 xn +
∞
X
fn−2 xn ?
n=2
• Schreibe die linke und rechte Seite der Gleichung als Funktion von x und F (x), und finde damit einen
Ausdruck für F (x).
• Wie sieht die Taylorentwicklung dieser Funktion aus? Finde damit einen expliziten Ausdruck für fn , die
n-te Fibonacci Zahl.