Ubungsblatt 4 (05.06.2009)

Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 2
Universität Erlangen–Nürnberg
SS 2009
Übungsblatt 4 (05.06.2009)
Vorlesungen: Mo, Mi, Fr (jede 2. Woche), 08:15 - 09:55 HG
www.optik.uni-erlangen.de/jvz/ → Teaching
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Übungen: Fr 08:15 - 09:45, 14tägig
HG, HF, SR 00.732, SR 01.332
SR 01. 683, SR 01.779
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Aufgabe 1: Spannungsteiler
Bei der unten angegebenen Schaltung wird die Spannung Uab zwischen den Punkten A und B betrachtet.
I
R1
U
A
R2
B
a) Drücken Sie die Spannung Uab in Abhängigkeit von U , R1 und R2 aus.
b) Falls die Spannungsquelle 12 V liefert und R1 = 100 Ω ist, wie groß muss R2 sein, damit die Spannung Uab = 9 V beträgt?
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2) Wheatstonesche Brücke:
Die unten gezeigte Schaltung ist die sogenannte Wheatstonesche Brücke, wie sie früher zur Widerstandsmessung verwendet wurde. Dazu sind die drei Widerstände R1 , R2 , R3 variabel einstellbar, um einen vierten
unbekannten Widerstand R4 zu bestimmen.
(a) Was kann man über UDC sagen wenn IDC = 0 ist? Was bedeutet dies für die Spannungen UAD und UAC
bzw. UDB und UCB ?
(b) Welche Beziehung muss insofern zwischen den Widerständen R1 , R2 , R3 und R4 bestehen, so dass der
Strom IDC verschwindet?
3) Geladener Zylinder:
Ein sehr langer und dünner Hohlzylinder mit Radius R trägt eine konstante Flächenladungsdichte ρ. Bestimmt
werden soll das elektrische Feld E als Funktion vom Abstand r zur Zylinderachse
(a) In welche Richtung werden die elektrischen Feldlinien aus Symmetriegründen zeigen? Berechnen sie mit
Hilfe des Satz von Gauß das Feld innerhalb (r < R) und außerhalb (r > R) des Zylinders.
(b) Was passiert für den Fall eines homogen geladenen Vollzylinders?
(c) Skizzieren sie ihre Ergebnisse in einem E(r) Diagramm.
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4) Feldlinien:
Skizzieren sie die Feldlinien und Äquipotentialflächen für die folgenden Anordnungen:
(a) Zwei entgegengesetzt geladene Punktladungen im Abstand r.
(b) Zwei positiv geladene Punktladungen im Abstand r.
(c) Eine positive Punktladung im Abstand r zu einer ideal leitenden Platte.
5) Elektrisches Feld eines Dipols:
Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei entgegengesetzt gleichen Punktladungen q1 = q und q2 = −q im
~ Der Vektor d~ zeigt hierbei von der negativen Ladung q2 zur positiven Ladung q1 . Wir wollen nun
Abstand |d|.
~ an einem beliebigen Ort R
~ bestimmen, um durch Gradientenbildas Potential des elektrischen Dipols φD (R)
dung sein elektrisches Feld zu berechnen. Wenn wir den Nullpunkt des kartesischen Koordinatensystems in die
~ zur Ladung q1 bzw. q2 gegeben
Mitte zwischen die beiden Punktladungen legen, ist der Abstand vom Punkt R
~
~
~
~
durch ~r1 = R − d/2 bzw. ~r2 = R + d/2.
~ am Ort R.
~ Überlagern sie dafür die bekann(a) Finden sie einen Ausdruck für das Potential des Dipols φD (R)
ten Potentiale der beiden Punktladungen.
(b) Da wir den Dipol aus genügend großer Entfernung betrachten (R >> d) kann der Ausdruck mit Hilfe
einer Taylorentwicklung genähert werden. Unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung d2 erhält man
aus der Taylorentwicklung folgenden Zusammenhang:
!
~ · d~
1R
1
1
1∓
(1)
≈
~
~ ± d/2|
R
2 R2
|R
Bemerkung: Die Taylorentwicklung ist eine der wichtigsten Näherungen in der Physik. Sie lautet
f (x) =
X f (n) (0)
n=0
n!
xn (für x ≈ 0).
Hierbei bezeichnet f (n) (x) die n-te Ableitung der Funktion f (x).
Versuchen sie durch Taylorentwicklung bis zur Ordnung n = 1 die Gleichung (1) nachzuvollziehen. Setzen sie dann die Gleichung (1) in das Ergebnis von a) ein.
~ durch das Dipolmoment p~ = q · d~ aus. Vergleichen sie den Abfall des Potentials
(c) Drücken sie φD (R)
des Dipols in Abhängigkeit von R mit dem eines Monopols.
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~ in Polarkoordinaten aus.
(d) Drücken sie jetzt φD (R)
~ durch den Ausdruck p R cos (θ) ersetzen, wobei θ der
(Hinweis: Sie brauchen dafür nur den Ausdruck p~ · R
~ ist.)
Winkel zwischen dem Dipolmoment p~ und dem Ortsvektor R
~ = −∇φD in Polarkoordinaten (R, θ, ϕ).
(e) Bestimmen sie nun das elektrische Feld durch Gradientenbildung E
Der Gradient in Polarkoordinaten lautet:
∂
∂
∂
,
,
grad =
∂R R∂θ r sin (θ)∂ϕ
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