Geometrie
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GRUNDWISSEN MATHEMATIK Geometrie Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM ROHR 5G8 Grundwissen Mathematik Körper Körper sind räumliche Gebilde. (3 Dimensionen) Sie lassen sich anhand von Schrägbildern oder Netzen darstellen. Würfel 6 gleiche quadratische Seiten Quader Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich. Prisma Gleiche eckige Grund- und Deckfläche. Pyramide Eckige Grundfläche und Spitze Zylinder Gleiche kreisförmige Grund- und Deckfläche Seite 2 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Kegel Kreisförmige Grundfläche und Spitze Kugel Alle Punkte der Oberfläche sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt. Geometrische Grundbegriffe Strecke [AB] ist die Menge aller Punkte zwischen A und B einschließlich A und B. A B Länge der Strecke AB ist die Entfernung von A nach B. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke von P zu g: d(P;g) A Halbgerade [AB Gerade AB Seite 3 von 30 A B B JNG Rohr Grundwissen Mathematik 5G8 zueinander senkrecht: ⊥ Zeichnen der Lotgerade durch S zu CD: zueinander parallel: || Zeichnen der Parallelen durch P zu [AB]: Rechts: Zeichnen der Parallelen zu g durch einen weit entfernten Punkt A (Parallelverschiebung) Seite 4 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind; es entsteht, wenn sich zwei Parallelenpaare kreuzen. Parallelogramm Rechteck (Parallelogramm mit vier rechten Winkeln) Quadrat (Rechteck mit vier gleich langen Seiten) Raute (Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten) Kreis: Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt die gleiche Entfernung (Radius r) k(M;r) Mx Seite 5 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Winkel Dreht man die Halbgerade g (Schenkel) um den Anfangspunkt S (Scheitel) gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung) bis zur Halbgeraden h (Schenkel), so entsteht der Winkel zwischen g und h. h B S Bezeichnungen: A g (g, h) oder ASB oder mit gr. Buchstaben: α, β, γ, δ, ε, φ Winkelarten: Gradzahl Bezeichnung 0° < < 90° spitzer Winkel = 90° rechter Winkel 90° < < 180° stumpfer Winkel = 180° gestreckter Winkel 180° < < 360° = 360° Seite 6 von 30 überstumpfer Winkel Vollwinkel JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Achsensymmetrie Zueinander symmetrische Punkte bilden eine Strecke, die von der Symmetrieachse senkrecht halbiert wird. C C‘ . A B A‘ B‘ Symmetrieachse Figuren, die man durch Falten (entlang der Symmetrieachse) aufeinander legen kann heißen achsensymmetrisch. Seite 7 von 30 JNG Rohr Grundwissen Mathematik 5G8 Rechnen mit Größen Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Längen: Umrechnungszahl ist 10. (Ausnahme 1km = 1000m) mm → cm → dm → m → km Massen: Umrechnungszahl ist immer 1000. mg → g → kg → t Zeit: s → min → h Umrechnungszahl ist 60. Größen können auch in gemischten Einheiten (2kg30g) oder in Kommazahlen (3,15m oder auch 3:20,5h) angegeben werden. Rechenregeln: Es können nur Größen derselben Einheit addiert bzw. subtrahiert werden. 12cm + 3,2m = 12cm + 320cm = 332cm = 3,32m Der Quotient zweier gleichartiger Größen ergibt eine (An-)zahl. 15kg : 3kg = 5 Eine Größe wird mit/durch eine/r Zahl multipliziert/dividiert, indem man die Maßzahl mit/durch die/der Zahl multipliziert/dividiert und die Einheit beibehält. 3h20min ∙ 4 =200min ∙ 4 = 800min = 13h20min Seite 8 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Maßstab 1:1000 bedeutet, dass Längen auf der Karte in Wirklichkeit 1000mal größer sind oder, dass Längen in Wirklichkeit auf einer Karte 1000mal kleiner zu sehen sind. Flächeneinheiten Flächen: Umrechnungszahl ist immer 100. mm2 cm2 dm2 m2 a ha km2 123 456 m2 = 12 ha 34 a 56 m2 1m2 2cm2 34 mm2 = 10002,34 cm2 Rechteck: U = 2∙( l + b ) A=l∙b Quadrat: UQ = 4a AQ = a² Oberflächeninhalte Quader: O = 2∙( l∙b + l∙h + b∙h ) ) Würfel: O = 6s2 Seite 9 von 30 (bei Kantenlänge s) JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Flächen- und Rauminhalt c . Parallelogramm: . ha d b hb AP a ha b hb ; . . a Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe. C Dreieck AD 21 a ha . b b hb 1 2 hb 21 c hc ; ha A . . a hc c B Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe haben denselben Flächeninhalt Trapez . A T 21 (a c) h . c d m m h; b h . a Seite 10 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Volumeneinheiten: mm3 cm3 dm3 m3 Umrechnungszahl 1000 bzw. Komma verschiebt sich um 3 Stellen 1 ℓ = 1 dm3 Bsp: 123 456 cm3 = 123,456 dm3 = 123 dm3 456 cm3 1m3 2dm3 34 cm3 = 1 002 034 cm3 =1,002034 m3 Volumen des Quaders h VQ = l b h = G h b l l = Länge, b = Breite, h = Höhe, G = l b Grundfläche Volumen des Würfels Vw = s3 s s = Seitenlänge Seite 11 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Symmetrische Figuren Achsensymmetrie Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung: Bei gegebener Achse a wird jedem Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P’ auf folgende Weise zugeordnet: C a C’ A Falls P a, liegt P’ so, dass [PP’] von der Achse a senkrecht halbiert wird. Falls P a ist, gilt P = P’ (Fixpunkt) B=B’ A’ Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch. Punktsymmetrie Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung: Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P’ so zugeordnet: Für P ≠ Z liegt P’ so, dass P’ PZ und PZ = P'Z (→ so auch Konstruktion) Für P = Z ist P’ = Z (Fixpunkt). Seite 12 von 30 C Z B’ A B A’ C’ JNG Rohr Grundwissen Mathematik 5G8 Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Punktspiegelung (180°-Drehung um ein Symmetriezentrum) wieder auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch. Besondere Vierecke Parallelogramm Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten parallel sind, heißt Parallelogramm. Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig: Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Sonderfälle: Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten (zweifach diagonalsymmetrisch). Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich großen Winkeln (zweifach mittensymmetrisch). Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten und 4 gleich großen Winkeln (jeweils zweifach diagonal- und mittensymmetrisch). Trapez Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind, heißt Trapez. Seite 13 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Ein einfach mittensymmetrisches Trapez heißt auch gleichschenkliges Trapez. Drachenviereck Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken hat (einfach diagonalsymmetrisch). Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geraden kreuzung. Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie ergeben zusammen stets 1800. Gegenüberliegende Winkel heißen Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß. Doppelkreuzung: Die Winkelpaare 1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1 und 2 heißen Stufenwinkel (F-Winkel). 1 g h 1 2 2 1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1 und 2 heißen Wechselwinkel (ZWinkel). 1 und 2, sowie 1 und 2 heißen Nachbarwinkel Seite 14 von 30 2 1 1 2 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind; dann ergänzen sich auch Nachbarwinkel zu 180° Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken: Die Summe der Innenwinkel ergibt im Dreieck 180°, in jedem Viereck 360°. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n - 2) ∙ 180° Besondere Dreiecke Das gleichschenklige Dreieck Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite heißt Basis. Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig: Das Dreieck ist gleichschenklig. Das Dreieck ist achsensymmetrisch. Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel. Basis Das gleichseitige Dreieck Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel betragen jeweils 600. Seite 15 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Das rechtwinklige Dreieck Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn C auf dem Halbkreis über [AB] liegt. (Thaleskreis) Die Schenkel des rechten Winkels sind die Katheten, die Gegenseite des rechten Winkels ist die Hypotenuse (längste Seite). Besondere Linien im Dreieck Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten (kann innerhalb, außerhalb des Dreiecks oder auf einer Seite liegen). C In jedem Dreieck schneiden sich die WinWinkelhalbierenden in genau einem Punkt, dem A C B Inkreismittelpunkt. B A Seite 16 von 30 JNG Rohr Grundwissen Mathematik 5G8 Im Dreieck schneiden sich die Höhen in genau einem Punkt. Im Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden im sogenannten Schwerpunkt. Kongruenz Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen deckungsgleich oder kongruent. Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz: F G. In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel gleich groß und einander entsprechende Seiten gleich lang. Seite 17 von 30 JNG Rohr Grundwissen Mathematik 5G8 Kongruenzsätze für Dreiecke SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten übereinstimmen. SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen. WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und SWW: zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen. SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln: In jedem Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüber. Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen Dreiecksseiten. Konstruktionen Symmetriepunkt 1. Kreise um A und B (beliebig auf a) mit Radien AP und BP 2. P‘ ist „zweiter“ Schnittpunkt der beiden Kreise Seite 18 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Mittelsenkrechte (Symmetrieachse bzw. damit Symmetriezentrum zu A,B) 1. Kreis um A und B mit gleichem Radius r 2. Gerade durch die Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte von [AB] B A Winkelhalbierende 1. Kreis um S mit beliebigem Radius r schneidet die beiden Schenkel des Winkels in G und H 2. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die Winkelhalbierende w H G S Lot errichten (Pg) 1. Kreis um P schneidet die Gerade g in A und B. 2. Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist das gesuchte Lot Lot fällen (Pg) P A g B 1. Spiegle P an der Achse g. 2. Gerade PP’ ist das gesuchte Lot. Seite 19 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Strahlensatz Sich schneidende Geraden werden von Parallelen geschnitten: B1 V-Figur g1 A1 Z A2 B2 g2 ZA1 : A1B1 ZA2 : A2 B2 über die Schenkel : über die Parallelen : ZA1 : ZB1 A1 A : B1 B2 2 « Baum zu Stab, wie Baumschatten zu Stabschatten » g1 X-Figur B2 A1 A2 Z B1 g2 Je zwei Abschnitte auf g1 verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf g2. Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie ihre Abstände zum Geradenschnittpunkt Z. Seite 20 von 30 JNG Rohr Grundwissen Mathematik 5G8 Ähnlichkeit Ähnliche Figuren Zwei Figuren F1 und F2 heißen ähnlich (F1 ~ F2), wenn sie formgleich sind, d.h. die eine ein maßstabsund winkeltreues Abbild der anderen ist (Maßstab Ähnlichkeitsfaktor). Ähnliche Dreiecke Eigenschaften: Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind entsprechende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß. Ähnlichkeitssätze (analog zu den Kongruenzsätzen): Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen mit zwei Winkeln des andern übereinstimmen. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen. Zueinander kongruente Figuren sind auch ähnlich, mit Ähnlichkeitsfaktor gleich 1. Seite 21 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Das rechtwinklige Dreieck Die Satzgruppe des Pythagoras C A a h b q p B c Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras): In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate. (Die Umkehrung des Satzes gilt auch!) a 2 b2 c2 Höhensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. h2 p q Seite 22 von 30 JNG Rohr Grundwissen Mathematik 5G8 Kathetensätze: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt. a 2 c p bzw. b 2 c q Merkenswerte Anwendungen: Diagonale im Quadrat: Höhe im gleichseitigen Dreieck: Raumdiagonale im Quader: Trigonometrie (0° < α < 90°) Gegenkathete von Hypotenuse Sinus: sin Kosinus: cos Seite 23 von 30 Ankathete von Hypotenuse JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik tan Tangens: sin(90 ) cos Gegenkathete von Ankathete von tan cos(90 ) sin sin cos sin 2 cos2 1 Schreibweise: sin 2 : sin 2 0° sin 0 cos 1 30° 1 2 1 3 2 45° 1 2 2 1 2 2 60° 1 3 2 1 2 90° 1 0 nicht tan Seite 24 von 30 0 1 3 3 1 3 definiert JNG Rohr Grundwissen Mathematik 5G8 Raumgeometrie Cavalierisches Prinzip Stehen zwei Körper gleicher Höhe und gleichen Grundflächeninhalts auf einer Ebene E und werden sie von jeder Parallelebene in inhaltsgleichen Flächen geschnitten, haben sie das gleiche Volumen. Pyramide Spitze S Seitenkante Seitenfläche (Dreieck) Grundfläche G (Vieleck hier Sechseck) Höhe h: Lot von der Spitze auf die Grundebene. Mantelfläche: Summe aller Seitenflächen 1 V Gh Volumen: 3 Tetraeder: dreiseitige Pyramide mit gleich langen Kanten. Seite 25 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Neigungswinkel β einer Geraden gegenüber einer Ebene (hier Seitenkante s und Grundflächen-ebene) Neigungswinkel α einer Ebene gegenüber einer Ebene (hier Seitenflächen- und Grundflächen-ebene) Prisma Zylinder Volumen V Gh Oberfläche: O M 2G Volumen V G h r 2 h Mantelfläche: M u Kreis h 2r h Oberfläche: O M 2G 2rh 2r 2 Seite 26 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Kegel Volumen: 2r s V 13 G h 13 r 2 h Die Mantelfläche ist ein Kreissektor mit dem Radius s (Mantellinie) und der Bogenlänge 2r Mantelfläche M rs . Oberfläche: O M G rs r 2 Netze Pyramidennetz Seite 27 von 30 Prismanetz JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Die Kreiszahl π Kreisteile Bogenlänge: b Sektorfläche: ASek 360 u 360 180 r AKreis 360 r 2 12 br Bogenmaß Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge , also die Zahl x . Radius 180 Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° Bogenmaß x 0 1 6 1 4 1 3 1 2 Merke: Kugel Seite 28 von 30 180 x V 43 r 3 , also und x 180° 360° 2 180 O 4r 2 π JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Trigonometrie Einheitskreis tan cos -cos Die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel (180 ), (180 ), (360 ) sind betragsgleich. 1 -sin -sin -1 sin sin 1 Für die Vorzeichen gilt: Sinus Kosinus -1 negative Winkel (im Uhrzeigersinn) sin() sin , cos() cos , tan() tan 1 sin 1 2 1 si n (1 2 ) 45 2 2 2 180 1 135 cos 0,3 1 107,5 und 2 360 1 252,5 sin 150° = sin (180° - 150°) = sin 30° = 0,5 und cos α = sin (90° - α) Seite 29 von 30 JNG Rohr 5G8 Grundwissen Mathematik Sinus- und Kosinussatz Im Dreieck ist das Verhältnis zweier Seiten gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der Gegenwinkel. a sin b sin a sin c sin In jedem Dreieck gilt : b sin c sin c 2 a 2 b 2 2ab cos a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos (Der Satz des Pythagoras ist davon ein Sonderfall, 90 ) Seite 30 von 30 JNG Rohr
