Geometrie

GRUNDWISSEN MATHEMATIK
Geometrie
Grundwissenskatalog
G8-Lehrplanstandard
Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums
Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing
JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM
ROHR
5G8
Grundwissen Mathematik
Körper
Körper sind räumliche Gebilde. (3 Dimensionen)
Sie lassen sich anhand von Schrägbildern oder Netzen darstellen.
Würfel
6 gleiche quadratische Seiten
Quader
Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich.
Prisma
Gleiche eckige Grund- und Deckfläche.
Pyramide
Eckige Grundfläche und Spitze
Zylinder
Gleiche kreisförmige Grund- und
Deckfläche
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Grundwissen Mathematik
Kegel
Kreisförmige Grundfläche und Spitze
Kugel
Alle Punkte der Oberfläche sind vom Mittelpunkt
gleich weit entfernt.
Geometrische Grundbegriffe
Strecke [AB] ist die Menge aller Punkte
zwischen A und B einschließlich A und B.

A

B
Länge der Strecke AB ist die Entfernung von A nach B.
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der
senkrechten Verbindungsstrecke von P zu g: d(P;g)

A
Halbgerade [AB
Gerade AB
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
A

B

B
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Grundwissen Mathematik
5G8
zueinander senkrecht: ⊥
Zeichnen der Lotgerade durch S zu CD:
zueinander parallel: ||
Zeichnen der Parallelen durch P zu [AB]:
Rechts: Zeichnen der Parallelen zu g durch einen weit entfernten
Punkt A (Parallelverschiebung)
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5G8
Grundwissen Mathematik
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende
Seiten parallel sind; es entsteht, wenn sich zwei Parallelenpaare
kreuzen.
Parallelogramm
Rechteck
(Parallelogramm mit vier rechten Winkeln)
Quadrat
(Rechteck mit vier gleich langen Seiten)
Raute
(Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten)
Kreis: Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt die gleiche Entfernung (Radius r) k(M;r)
Mx
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Grundwissen Mathematik
Winkel
Dreht man die Halbgerade g (Schenkel) um den Anfangspunkt S
(Scheitel) gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung) bis zur Halbgeraden h (Schenkel), so entsteht der Winkel zwischen g und h.
h
B
S
Bezeichnungen:
A
g
(g, h) oder
ASB
oder mit gr. Buchstaben: α, β, γ, δ, ε, φ
Winkelarten:
Gradzahl
Bezeichnung
0° <  < 90°
spitzer Winkel
 = 90°
rechter Winkel
90° <  < 180°
stumpfer Winkel
 = 180°
gestreckter Winkel
180° <  < 360°
 = 360°
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überstumpfer Winkel
Vollwinkel
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Achsensymmetrie
Zueinander symmetrische Punkte bilden eine Strecke, die von der
Symmetrieachse senkrecht halbiert wird.
C
C‘
.
A
B
A‘
B‘
Symmetrieachse
Figuren, die man durch Falten (entlang der Symmetrieachse) aufeinander legen kann heißen achsensymmetrisch.
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Rechnen mit Größen
Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.
Längen: Umrechnungszahl ist 10. (Ausnahme 1km = 1000m)
mm → cm → dm → m → km
Massen: Umrechnungszahl ist immer 1000.
mg → g → kg → t
Zeit:
s → min → h Umrechnungszahl ist 60.
Größen können auch in gemischten Einheiten (2kg30g) oder in
Kommazahlen (3,15m oder auch 3:20,5h) angegeben werden.
Rechenregeln:
Es können nur Größen derselben Einheit addiert bzw. subtrahiert
werden.
12cm + 3,2m = 12cm + 320cm = 332cm = 3,32m
Der Quotient zweier gleichartiger Größen ergibt eine (An-)zahl.
15kg : 3kg = 5
Eine Größe wird mit/durch eine/r Zahl multipliziert/dividiert, indem man die Maßzahl mit/durch die/der Zahl multipliziert/dividiert und die Einheit beibehält.
3h20min ∙ 4 =200min ∙ 4 = 800min = 13h20min
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Maßstab
1:1000 bedeutet, dass Längen auf der Karte in Wirklichkeit
1000mal größer sind oder, dass Längen in Wirklichkeit
auf einer Karte 1000mal kleiner zu sehen sind.
Flächeneinheiten
Flächen: Umrechnungszahl ist immer 100.
mm2  cm2  dm2  m2  a  ha  km2
123 456 m2
= 12 ha 34 a 56 m2
1m2 2cm2 34 mm2
= 10002,34 cm2
Rechteck:
U = 2∙( l + b )
A=l∙b
Quadrat:
UQ = 4a
AQ = a²
Oberflächeninhalte
Quader:
O = 2∙( l∙b + l∙h + b∙h )
)
Würfel:
O = 6s2
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(bei Kantenlänge s)
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Flächen- und Rauminhalt
c
.
Parallelogramm:
.
ha
d
b
hb
AP  a  ha  b  hb ;
.
.
a
Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe.
C
Dreieck
AD  21  a  ha 
.
b
  b  hb 
1
2
hb
 21  c  hc ;
ha
A
.
.
a
hc
c
B
Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe haben denselben Flächeninhalt
Trapez
.
A T  21  (a  c)  h 

. c
d
m
m  h;
b
h
.
a
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Volumeneinheiten:
mm3  cm3  dm3  m3
Umrechnungszahl 1000
bzw. Komma verschiebt sich um
3 Stellen
1 ℓ = 1 dm3
Bsp: 123 456 cm3 = 123,456 dm3
= 123 dm3 456 cm3
1m3 2dm3 34 cm3 = 1 002 034 cm3 =1,002034 m3
Volumen des Quaders
h
VQ = l  b  h = G  h
b
l
l = Länge, b = Breite, h = Höhe, G = l  b Grundfläche
Volumen des Würfels
Vw = s3
s
s = Seitenlänge
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Symmetrische Figuren
Achsensymmetrie
Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung:
Bei gegebener Achse a wird jedem Punkt P
der Ebene ein Bildpunkt P’ auf folgende
Weise zugeordnet:
C
a
C’
A
 Falls P  a, liegt P’ so, dass [PP’] von
der Achse a senkrecht halbiert wird.
 Falls P  a ist, gilt P = P’ (Fixpunkt)
B=B’
A’
Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden
sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch.
Punktsymmetrie
Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung:
Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem
Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P’ so
zugeordnet:
 Für P ≠ Z liegt P’ so, dass P’  PZ
und PZ = P'Z (→ so auch Konstruktion)
 Für P = Z ist P’ = Z (Fixpunkt).
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C
Z B’
A
B
A’
C’
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Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer
Punktspiegelung (180°-Drehung um ein Symmetriezentrum) wieder auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch.
Besondere Vierecke
Parallelogramm
Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten
parallel sind, heißt Parallelogramm.
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
 Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
 Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.
Sonderfälle:
Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten
(zweifach diagonalsymmetrisch).
Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich großen Winkeln
(zweifach mittensymmetrisch).
Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten
und 4 gleich großen Winkeln
(jeweils zweifach diagonal- und mittensymmetrisch).
Trapez
Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel
sind, heißt Trapez.
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Ein einfach mittensymmetrisches Trapez heißt auch
gleichschenkliges Trapez.
Drachenviereck
Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es
eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken
hat (einfach diagonalsymmetrisch).
Sätze über Winkel
Geradenkreuzung:

Zwei Geraden, die sich in einem Punkt
schneiden, nennt man eine Geraden

kreuzung. Nebeneinander liegende

Winkel heißen Nebenwinkel, sie ergeben zusammen stets 1800. Gegenüberliegende Winkel heißen
Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.
Doppelkreuzung:
Die Winkelpaare 1 und 2, 1 und  2,
1 und 2 sowie 1 und 2 heißen Stufenwinkel (F-Winkel).
1
g
h
1
2
2
1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1
und  2 heißen Wechselwinkel (ZWinkel).
1 und 2, sowie 1 und 2 heißen Nachbarwinkel
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2
1
1
2
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Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn
die Geraden g und h parallel sind; dann ergänzen sich auch Nachbarwinkel zu 180°
Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken:
Die Summe der Innenwinkel ergibt im Dreieck 180°, in jedem
Viereck 360°. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n - 2) ∙ 180°
Besondere Dreiecke
Das gleichschenklige Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten
(Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite
heißt Basis.
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
 Das Dreieck ist gleichschenklig.
 Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
 Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel.
Basis
Das gleichseitige Dreieck
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten
heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel betragen jeweils 600.
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Das rechtwinklige Dreieck
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C
einen rechten Winkel, wenn C auf dem
Halbkreis über [AB] liegt. (Thaleskreis)
Die Schenkel des rechten Winkels sind die
Katheten, die Gegenseite des rechten Winkels ist die Hypotenuse (längste Seite).
Besondere Linien im Dreieck
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein
Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten
(kann innerhalb, außerhalb des Dreiecks
oder auf einer Seite liegen).
C
In jedem Dreieck schneiden sich die WinWinkelhalbierenden in genau einem
Punkt, dem
A
C
B
Inkreismittelpunkt.
B
A
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Im Dreieck schneiden sich die Höhen in genau einem Punkt.
Im Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden im sogenannten Schwerpunkt.
Kongruenz
Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen deckungsgleich oder kongruent.
Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz:
F  G.
In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel
gleich groß und einander entsprechende Seiten gleich lang.
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Kongruenzsätze für Dreiecke
SSS:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten übereinstimmen.
SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem
Zwischenwinkel übereinstimmen.
WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und
SWW: zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
SsW:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.
Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln:
In jedem Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüber. Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen Dreiecksseiten.
Konstruktionen
Symmetriepunkt
1. Kreise um A und B (beliebig auf a) mit
Radien AP und BP
2. P‘ ist „zweiter“ Schnittpunkt der beiden Kreise
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Mittelsenkrechte
(Symmetrieachse bzw. damit Symmetriezentrum zu A,B)
1. Kreis um A und B mit gleichem Radius
r
2. Gerade durch die Schnittpunkte ist die
Mittelsenkrechte von [AB]
B
A
Winkelhalbierende
1. Kreis um S mit beliebigem Radius r
schneidet die beiden Schenkel des Winkels
in G und H
2. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die Winkelhalbierende
w
H

G
S
Lot errichten (Pg)
1. Kreis um P schneidet die Gerade g in A und B.
2. Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist das
gesuchte Lot
Lot fällen (Pg)
P
A
g
B
1. Spiegle P an der Achse g.
2. Gerade PP’ ist das gesuchte Lot.
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Strahlensatz
Sich schneidende Geraden werden von Parallelen geschnitten:
B1
V-Figur
g1
A1
Z
A2
B2
g2
ZA1 : A1B1  ZA2 : A2 B2
über die Schenkel :
über die Parallelen : ZA1 : ZB1  A1 A : B1 B2
2
« Baum zu Stab, wie Baumschatten zu Stabschatten »
g1
X-Figur
B2
A1
A2
Z
B1
g2
 Je zwei Abschnitte auf g1 verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf g2.
 Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie ihre
Abstände zum Geradenschnittpunkt Z.
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Ähnlichkeit
Ähnliche Figuren
Zwei Figuren F1 und
F2 heißen ähnlich
(F1 ~ F2), wenn sie formgleich sind, d.h. die eine ein maßstabsund winkeltreues Abbild der anderen ist (Maßstab  Ähnlichkeitsfaktor).
Ähnliche Dreiecke
Eigenschaften: Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind entsprechende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß.
Ähnlichkeitssätze (analog zu den Kongruenzsätzen):

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen
mit zwei Winkeln des andern übereinstimmen.

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer
Seiten übereinstimmen.
Zueinander kongruente Figuren sind auch ähnlich, mit Ähnlichkeitsfaktor gleich 1.
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Das rechtwinklige Dreieck
Die Satzgruppe des Pythagoras
C
A
a
h
b
q
p
B
c
Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras):
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das
Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe
der Flächeninhalte der Kathetenquadrate.
(Die Umkehrung des Satzes gilt auch!)
a 2  b2  c2
Höhensatz:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus
den beiden Hypotenusenabschnitten.
h2  p  q
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Kathetensätze:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes
Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus
der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden
Hypotenusenabschnitt.
a 2  c  p bzw. b 2  c  q
Merkenswerte Anwendungen:
Diagonale im Quadrat:
Höhe im gleichseitigen Dreieck:
Raumdiagonale im Quader:
Trigonometrie (0° < α < 90°)
Gegenkathete von 
Hypotenuse
Sinus:
sin  
Kosinus:
cos  
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Ankathete von 
Hypotenuse
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tan  
Tangens:
sin(90  )  cos 
Gegenkathete von 
Ankathete von 
tan  
cos(90  )  sin 
sin 
cos 
sin 2   cos2   1
Schreibweise: sin 2  :  sin  2

0°
sin
0
cos
1
30°
1
2
1
3
2
45°
1
2
2
1
2
2
60°
1
3
2
1
2
90°
1
0
nicht
tan
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0
1
3
3
1
3
definiert
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Raumgeometrie
Cavalierisches Prinzip
Stehen zwei Körper gleicher Höhe und gleichen Grundflächeninhalts auf einer Ebene E und werden sie von jeder Parallelebene in
inhaltsgleichen Flächen geschnitten, haben sie das gleiche Volumen.
Pyramide
Spitze S
Seitenkante
Seitenfläche
(Dreieck)
Grundfläche G
(Vieleck hier
Sechseck)
Höhe h:
Lot von der Spitze auf die Grundebene.
Mantelfläche: Summe aller Seitenflächen
1
V  Gh
Volumen:
3
Tetraeder:
dreiseitige Pyramide mit gleich langen Kanten.
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Neigungswinkel β einer Geraden gegenüber einer Ebene (hier Seitenkante s und
Grundflächen-ebene)
Neigungswinkel α einer Ebene gegenüber einer Ebene (hier Seitenflächen- und
Grundflächen-ebene)
Prisma
Zylinder
Volumen
V  Gh
Oberfläche:
O  M  2G
Volumen
V  G  h  r 2   h
Mantelfläche:
M  u Kreis  h  2r  h
Oberfläche:
O  M  2G  2rh  2r 2
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Kegel
Volumen:
2r
s
V  13 G  h  13 r 2  h
Die Mantelfläche ist ein Kreissektor
mit dem Radius s (Mantellinie) und
der Bogenlänge 2r
Mantelfläche M  rs .
Oberfläche:
O  M  G  rs  r 2
Netze
Pyramidennetz
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Prismanetz
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Die Kreiszahl π
Kreisteile

Bogenlänge:
b
Sektorfläche:
ASek 
360
u 

360

180
r
AKreis 

360
r 2
 12 br
Bogenmaß
Das Bogenmaß x ist das zu  gehörende Verhältnis
Bogenlänge

, also die Zahl x 
.
Radius
180
Gradmaß 
0°
30°
45°
60°
90°
Bogenmaß x
0
1

6
1

4
1

3
1

2
Merke:
Kugel
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
180

x

V  43 r 3
, also
und

x

180° 360°

2
180
O  4r 2 π
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Trigonometrie
Einheitskreis
tan

cos
-cos
Die Sinus- und Kosinuswerte der
Winkel
 (180  ), (180  ), (360  )
sind betragsgleich.
1
-sin
-sin
-1
sin
sin
1
Für die Vorzeichen gilt:
Sinus Kosinus
-1
negative Winkel (im Uhrzeigersinn)
sin()   sin , cos()  cos , tan()   tan 

1
sin   1 2  1  si n (1 2 )
 45
2
2
 2  180  1  135

cos   0,3  1  107,5 und  2  360  1  252,5
sin 150° = sin (180° - 150°) = sin 30° = 0,5

und
 cos α = sin (90° - α)
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Sinus- und Kosinussatz
Im Dreieck ist das Verhältnis zweier Seiten gleich dem Verhältnis
der Sinuswerte der Gegenwinkel.
a sin 

b sin 
a sin 

c sin 
In jedem Dreieck gilt :
b sin 

c sin 
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
b 2  a 2  c 2  2ac  cos 
(Der Satz des Pythagoras ist davon ein Sonderfall,   90 )
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