01.07.2009

Induktionsbeispiele
Rotierende Leiterschleife:
• Bei konstanter
Winkelgeschw. ω:
φ
A
Φm = AB cos φ
= AB cos(ωt + φ0)
B
ω
• Induktionsspannung:
dΦm
dt
= −AB [−ω sin(ωt + φ0)]
= ABω sin(ωt + φ0 )
Uind = −
Uind
(Wechselspannung)
• Prinzip des Generators.
Spule mit Induktionsschleife:
• Magnetischer Fluss
in Spule mit
N Windungen:
L
2R
N Windungen,
Strom I(t)
A
Φm = AB
= πR2 · µ0
N
· I(t)
L
• Spannung in
Induktionsschleife
(eine Windung):
Uind
Uind
dΦm
µ0πR2 N dI(t)
=−
=−
·
dt
L
dt
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder
24. Juni 2009
Selbstinduktion, Einschaltvorgang
Selbstinduktion:
• Beim Einschalten des Stroms in einer Spule
(Länge ℓ, N Windungen) induziert die
Flussänderung in der Spule eine Spannung Uind
in der Spule selbst.
• In N Windungen ist Uind N mal so groß wie in einer
einzelnen Induktionsschleife:
Uind
dΦm
µ0AN 2 dI(t)
= −N
=−
·
dt
ℓ
dt
• Eine induzierte Spannung tritt bei Stromänderungen
in allen stromführenden Anordnungen auf, mit
Uind = −L ·
dI(t)
dt
Vs
= Henry = H
A
µ0 AN 2
• Selbstinduktivität einer Spule: L =
.
ℓ
L = Induktivität;
[L] =
Einschaltvorgang:
S
• Stromkreis mit L, R und U0 :
U0 = RI − Uind
U0
dI
= RI + L
dt
• DG für I(t) mit Lösung
U0 −(R/L)t
I(t) =
1−e
R
I
I 0=Uo/R
L
R
0.63I0
• Zeitkonstante des
Stromanstiegs: τ = L/R
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder
t
τ
24. Juni 2009
Die Lenzsche Regel
Vorzeichen von Induktionsspannungen:
Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz hat eine
generelle Konsequenz für alle Induktionseffekte:
Die durch Induktion bewirkten
Spannungen, Ströme und Felder
wirken stets dem die Induktion
verursachenden Vorgang entgegen.
Beispiel:
Bind
F
Iind
v
• Permanentmagnet bewegt sich auf Spule zu.
• Durch die Änderung des magnetischen Flusses
wird in der Spule eine Spannung Uind induziert,
durch die ein Strom Iind erzeugt wird.
~ ind .
• Der Strom erzeugt ein Magnetfeld B
~ ind wirkt der Flusszunahme
Lenzsche Regel: B
in der Spule entgegen, ist also dem Feld des
Permanentmagneten entgegengerichtet.
• Es resultiert eine abstoßende Kraft zwischen Spule
und Magnet.
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder
01. Juli 2009
Ausschaltvorgang
Abkoppeln der Spannungsversorgung
von einem Stromkreis mit Induktivität:
• Vor Öffnen des Schalters S
(lange nach Einschalten):
S
I1 = U0 /R1
IL = U0 /RL = I0
U0 R1
I
L,RL
• Nach Öffnen des Schalters S:
0 = RI − Uind = RI + L
dI
dt
(mit R = R1 + RL ).
• DG für I(t) mit Lösung
I
I 0=Uo/RL
I(t) = I0 · e−(R/L)t
• Die Induktion bewirkt einen
Strom, der das Magnetfeld
in der Induktivität
aufrechtzuerhalten versucht.
• Induktionsspannung an L:
Uind = −L
t
R1 + RL −(R/L)t
dI
= U0
e
.
dt
RL
Falls R1 ≫ RL ist, wird Uind ≫ U0
• Praktische Konsequenzen:
– Bei Ausschaltvorgängen entstehen u.U. hohe
Spannungsspitzen, die elektrische/elektronische
Geräte beschädigen können.
– Diese Spannungsspitzen werden z.B. zum Zünden
der Gasentladung in Leuchtstoffröhren
verwendet.
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder
01. Juli 2009
Energieinhalt des Magnetfeldes
Energie des Magnetfeldes:
• Der Strom I(t) nach dem Ausschalten erzeugt im
Widerstand R = R1 + RL Joulesche Wärme, die
gleich der im Magnetfeld gespeicherten Energie ist:
Wm = R
Z∞
I 2 (t) dt = RI02
0
L −(2R/L)t
−
e
2R
∞
0
=
1 2
I0 L
2
• Für eine Spule (Querschnitt A, Länge ℓ) ist die
magnetische Energiedichte
wm
2
1 2
1
Wm
2A 1
2N
= I0 µ0N
= µ0 I0 2
=
V
2 | {z ℓ} |{z}
Aℓ
2
ℓ
=L
=1/V
Mit B0 = µ0 I0 N/ℓ wird
wm =
1 2
B0
2µ0
Zusammenfassung
elektromagnetischer Energien:
1 2
1
2
Wm = LI
Wel = CQ
2
2
 
1

2 + 1 B2

ohne Materie
ǫ
E

2 0
µ0
welm =


1


mit Materie
 [ED + BH ]
2
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder
01. Juli 2009
Generator und Elektromotor
Funktionsprinzip
Rotierende Leiterschleife bzw. Spule im äußeren
Magnetfeld:
Generator:
Elektromotor:
Mechanischer Antrieb
↓
Rotation
↓
Induzierte Spannung
↓
Elektrische Leistung
Angelegte Spannung
↓
Strom in Spule
↓
Drehmoment auf Spule
↓
Mechanische Leistung
Kontinuierliche Drehung des Motors erfordert
Umpolen des Stroms oder des Magnetfeldes.
S
ω
Wechselstrommotor:
Dreht sich mit
Frequenz der
angelegten
Wechselspannung.
B
N
U= U0sin(ω t)
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder
01. Juli 2009
Gleichspannungsmotor und
Gleichspannungsgenerator
Funktionsprinzip:
• Umpolen der
zur
Stromrichtung in Kontakte
Drehspule
Isolator
der Drehspule
(Rotator) durch
segmentierte
Schleifkontakte
an der Drehwelle
(Kommutator).
Kohlestifte
• Funktioniert
unabhängig
U
von Drehfrequenz.
+ −
• Elektromotor: Betrieb mit Gleichspannung.
• Generator: Liefert Spannung mit festem Vorzeichen.
Technische Verbesserungen:
• Verwendung von N Spulen,
2
1
B
deren Drehwinkel um
π/N gegeneinander
3
versetzt sind:
– Erfordert meherere
Spulen
Kommutatoren oder
mehr Segmente an
Drehachse
einem Kommutator.
U
– Generator: Glattere
Beispiel: N=2
Ausgangsspannung.
1+2
– Elektromotor:
runderer Lauf.
• Rotator mit Eisenkern
1
2
t
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder
01. Juli 2009