Aufgaben zur Integralrechnung 1. Bestimmen Sie eine

Aufgaben zur Integralrechnung
1. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F der Funktion f .
(a) f (x) = 1
(b) f (x) = x
(c) f (x) = x2
(d) f (x) = x3
(e) f (x) = x4
(f) f (x) = x5
2. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F der Funktion f .
1 2
x
3
p
(b) f (x) = 2x
(a) f (x) =
(c) f (x) =
3x3
(d) f (x) = 5x4
1
(e) f (x) =
x
4
1 4
x
(f) f (x) =
10
3. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F der Funktion f .
(a) f (x) = 0
(b) f (x) = 4x + 2
(c) f (x) = 4x3 + 3x
(d) f (x) = 5x4 + 3x2
(e) f (x) = 3x4 + 1
(f) f (x) = x3 + x2 + x
4. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F der Funktion f .
(a) f (x) = x2
2
(b) f (x) = 3x2 + 2x 1
1
1
(c) f (x) = x2 + x3 12
2
3
(d) f (x) = 2 3x x3
(e) f (x) = 2x3 + 3x2
(f) f (x) = 2x
12x
2
5. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F der Funktion f .
(a) f (x) = x (x
(b) f (x) = (x
(c) f (x) = (2x
2)
3) (x + 3)
1)
2
(d) f (x) = x (x + 1)
2
Schülerarchiv, Analysis, 4-B
1
(e) f (x) = 2x (x
(f) f (x) = 4 (x
3) (x + 3)
1)
3
6. Bestimmen Sie zur Stammfunktion F die Funktion f .
(a) F (x) = 4x
(b) F (x) = 2x3 + 5x2
(c) F (x) = x3
7. Zeigen Sie, dass Fa (x) = 2
(x + a) (a
x) eine Stammfunktion der Funktion fa (x) = 2x ist.
8. Bestimmen Sie eine Funktion g mit gegebener zweiter Ableitung g 00 .
(a) g 00 (x) = 2x + 1
(b) g 00 (x) = (x
2) (x + 1) = x2
x
2
9. Bestimmen Sie den Funktionsterm f (x) mit den gegebenen Eigenschaften.
(a) f 0 (x) = x
1 ; f (1) = 2
1
3x ; f ( ) = 0
2
(b) f 0 (x) = x2
x
+ 6 ; f (1) = 4
2
3
3
3
3
(d) f 0 (x) = x + ; f ( ) =
4
4
4
4
2
0
(e) f (x) = (x 1) ; f (0) = 1
(c) f 0 (x) =
(f) f 0 (x) = 2x x2 + 1 ; f (0) = 1
10. Bestimmen Sie einen Funktionsterm f (x) der Funkton f dessen Graph durch den Punkt P (0; 1)
verläuft und an jeder Stelle x0 des De…nitionsbereiches die gegebe Steigung besitzt.
(a) f 0 (x0 ) = 6x0
(b) f 0 (x0 ) =
(c) f 0 (x0 ) =
1
1
x0
4
11. Gegeben ist die Funktion f : x 7 ! x2
1 ; Df = R
(a) Zeichnen Sie Gf und bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F1 von f , dessen Graph GF1 die
x-Achse an der Stelle x = 2 schneidet.
(b) Für welche Stammfunktion F von f liegt der Wendepunkt von GF auf der Geraden mit der
Gleichung y = 2?
12. Zeigen Sie, dass die gegebenen Funktionen F und G Stammfunktionen derselben Funktion sind und
bestimmen Sie die Konstante, um die sich F undG unterscheiden.
(a) F (x) = (2x
(b) F (x) = (3
13. Es gilt: g 00 (x) =
2
3) = 4x2
12x + 9 ; G(x) = 4x2
2x) (2x + 3) ; G(x) = 1
4x
3x + 4 ; P (2; 2) 2 Gg
Gp hat im Punkt P die Steigung 2. g(x) =?
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2
12x + 3
14. f (x) = x2
x;x2R
(a) Welche Stammfunktion F1 von f nimmt an der Stelle x = 2 den Funktionswert 1 an? Welche
Steigung hat F1 an der Stelle x = 2?
(b) Für welche Stammfunktion F von f liegt der Wendepunkt von GF auf der Geraden mit der
Gleichung y = 2?
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3