Integration von Exponentialfunktionen (Word

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Integration von Exponentialfunktionen des Typs
f ( x)  e axb
Schrittfolge zum Aufsuchen der Stammfunktion:
1. Differenzieren der Funktion
2. Bilden des Reziproken aus dem neuentstandenen Faktor
3. Suchen der Stammfunktion
Beispiel: f ( x)  e 3 x  2
1. f ( x)  3e 3 x  2
1
2. ( e 3 x  2 )   e 3 x  2
3
1
3. F ( x)  e 3 x 2  C ist Stammfunktion für f(x)
3
Kurz: Ist f ( x)  e axb die Ausgangsfunktion, so ist F ( x) 
1 axb
e
 C die Stammfunktion.
a
Übungen
1. Ermitteln Sie die Stammfunktion!
3
 x2
2
a) f ( x)  e x
b) f ( x)  e x  a
c) f ( x)  e 2 x
d) f ( x)  e
e) f ( x)  e axb
f) f ( x)  e 2 x 1
g) f ( x)  2 x
h) f ( x)  3 2 x
i) f ( x)  2  10 3 x 1
2. Bestimmen Sie den Flächeninhalt unter der Funktion f über dem Intervall I. Die
Lösungen sind (hoffentlich richtig ;-)) in Klammern als FE.
a) f ( x)  e 3 x , I=[-1;0]
1
c) f ( x)  e 2 x  2 , I=[1;2]
2
e) f ( x)  4  e 2 x 1 , I=[0;2]
(0,3167)
b) f ( x)  2  e x 1 , I=[-1;1]
(1,729)
(1,597)
d) f ( x)  2  e1 x , I=[1;6]
(1,986)
(5,337)
f) f ( x)  e 2 x  e  x , I=[-1;1] (1,276)
3. Bestimmen Sie den Flächeninhalt unter der Funktion f über dem Intervall I. Die
Lösungen sind (hoffentlich richtig ;-)) in Klammern als FE.
a) f ( x)  e 0,5 x , I=[-1;1]
(2,08)
1
c) f ( x)  e 13 x , I=[0;1]
(0,43)
2
e) f ( x)  1,5  e 0,5 x , I=[0;2](1,896)
b) f ( x)  1,5  e 2 x 1 , I=[-4;-1] (0,037)
d) f ( x)  e 2 x  e 2 x , I=[-2;2] (54,58)
f) f ( x)  3  e 0, 2 x 1 , I=[3;4] (16,449)
4. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die von den Graphen der Funktionen f und g
sowie der y-Achse begrenzt wird (Skizze).
a) f ( x)  0,5  e x g ( x)  0,8  e 2 x1 (0,072)
b) f ( x)  0,5  e
0,5 x
g ( x)  e
1
 x 1
4
(2,6)