e - Funktion ( )

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e - Funktion
- Differential- und Integralrechnung
LÖSUNGEN
Gegeben war:
y = fa(x) = ( ax + 1) × e2 - ax
(a Î ¡)
1. Markante Punkte berechnen wir wie üblich durch Nullsetzen der
Ausgangsfunktion bzw. Ableitungen. Zu beachten ist, dass durch die
Vorgabe von a = 1 (das muss man am Ausdruck f1 erkennen) die
Sache einigermaßen vereinfacht wird:
f1(x) = ( x + 1) × e2 - x
f1¢(x) = e2 - x + ( -1) ( x + 1) × e2 - x = -x × e2 - x
f1¢¢(x) = ( -1) × e2 - x + ( -x ) × ( -1) × e2 - x = ( x - 1) × e2 - x
Nullstelle
0 = ( x + 1) × e2 - x
®
x 0 = -1
Extrempunkt und Nachweis
0 = -x × e2 - x ® xE = 0 ®
f1¢¢(0) = -e2 < 0 ( ® Max.)
(
E 0;e2
)
Wendepunkt
0 = ( x - 1) × e2 - x
® xW = 1 ®
W (1;2e )
2. Das Verhalten von f1 im Unendlichen wird typischerweise durch den
Term e2-x bestimmt. Die Werte dieses Terms sind (von links nach
rechts gelesen) zunächst unendlich positiv und fallen dann steil in
Richtung y=0 ab. Wir schreiben daher:
x ® -¥
Þ
f1 ( x ) ® +¥
x ® +¥
Þ
f1 ( x ) ® 0 + 0
An der Schreibweise +0 erkennen die Profis, dass die Funktionswerte
im Unendlichen positiv sind.
© A.Hörning (2007)
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3. Bei der Zeichnung ist der vorgegebene Zeichenbereich -1,2
genau zu beachten! Außerdem wird erwartet, dass man die
Funktionswerte an den Rändern des Intervalls berechnet.
f1(- 56 ) = ( - 65 + 1) × e
2 + 65
x
5
f1(5) = (5 + 1) × e2 -5 = 6e-3 » 0,30
= - 15 e3,2 » -4,9
Wer einen Computer (J) benutzt, sollte folgendes Bild erhalten:
4. Der Nachweis einer Stammfunktion erfolgt einfach durch ableiten. Es
gilt nämlich: F¢ ( x ) = f ( x ) !
In unserem Fall rechnet man also:
F1(x) = ( -x - 2) × e2 - x
F1¢(x) = ( -1) × e2 - x + ( -x - 2) × e2 - x × ( -1)
= ( -1 + x + 2) × e2 - x = ( x + 1) × e2 - x = f1 ( x )
5. Die Fläche oberhalb der x-Achse ist in der obigen Grafik schon
schraffiert dargestellt. Zur Berechnung benutzt man natürlich die
vorgegebene Stammfunktion. Bitte achtet auf die korrekte
Schreibweise!
3
A=
+3
2-x
2-x
ò ( x + 1) × e × dx = éë( -x - 2) × e ùû-1
-1
A = ( -3 - 2) × e2 -3 - ( - ( -1) - 2) × e
2 - ( -1)
=-
5
+ e3 » 18,25 FE
e
In die Flächenformel wird zunächst f1(x) eingesetzt; erst im zweiten
Schritt erscheint die Stammfunktion zwischen den eckigen Klammern.
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6. Zur Bestimmung einer Tangentengleichung benötigt man neben der
Gleichung der Ausgangsfunktion (und ihrer Ableitung) auch den
Berührungspunkt. Wir können hier auf einige Berechnungen von oben
zurückgreifen. Es hat sich bewährt, in zwei Schritten vorzugehen:
I. Berechnung des Anstieges m
Da Ausgangsfunktion und Tangente im Berührungspunkt denselben
Anstieg haben, setzt man den x-Wert dieses Punktes einfach in die
erste Ableitung f (x) ein, um m zu erhalten:
m = f1¢(-1) = - ( -1) × e
2 - ( -1)
= e3
Wer es schafft, sollte e3 bitte nicht durch einen gerundeten
Dezimalbruch ersetzen!
II. Berechnung von n
Nun bauen wir die Koordinaten des Berührungspunktes (die zum
Glück nicht erst berechnet werden müssen) zusammen mit dem mWert in die allgemeine Gleichung y = t(x) = m·x + n ein.
PBRÜH ( -1;0 ) ; m = e3
0 = e3 × ( -1) + n
Þ
Þ
y = mx + n
n = e3
t ( x ) = e3 × x + e3
Bitte nicht vergessen, die
vollständige Tangentengleichung auch wirklich
hinzuschreiben!
Der schwarze Strich in der letzten Abbildung stellt die eben
berechnete Tangente dar:
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