Zweite Kenntnisüberprüfung mit Lösungen

O. Wittich, A. Maurischat
S. Bleß
Aachen, 21. September 2017
Zweite Kenntnisüberprüfung mit Lösungen
im Vorkurs Mathematik 2017, RWTH Aachen University
Lösen Sie die folgenden Aufgaben:
3, 5, 13
A 1: Bestimmen Sie alle Primfaktoren von 195.
A 2: Berechnen Sie
1
2
+
9 10
:
7
4
8
in vollständig gekürzter Form.
45
A 3: Seien a, b ∈ R mit a 6= 0, ±b. Vereinfachen Sie
a( a + b)2 − 4a2 b
so weit wie möglich.
a3 − ab2
A 4: Seien r, s ∈ Q und x, y ∈ R, x, y > 0. Vereinfachen Sie
x2r−1 xr−s
: 3s .
y
y 1− s
A 5: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung x3 + 5x2 − 6x = 0.
a−b
a+b
x r + s −1
y1−4s
x1 = −6, x2 = 0, x3 = 1
A 6: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung | x + 1| = 2x − 1.
x=2
A 7: Berechnen Sie ( x3 + x2 − 3x − 2) : ( x2 − x − 1).
x+2
A 8: Seien A und B Aussagen. Ergänzen Sie die Wahrheitstafel:
A B ¬ A B ∨ (¬ A) ( B ∨ (¬ A)) ∧ B
F F W
W
F
F W W
W
W
W F
F
F
F
W W F
W
W
A 9: Sei f : R → R differenzierbar und x0 ∈ R. Sei A = “ f hat in x0 ein lokales Extremum.” sowie
B = “Es gilt f 0 ( x0 ) = 0.”. Welche der folgenden Aussagen sind immer (für jedes solche f ) wahr?
A =⇒ B
B =⇒ A
A ⇐⇒ B
ja,
nein,
nein
nein,
nein
A 10: Kreuzen Sie alle wahren Aussagen über die Funktion f : N → N, n 7→ n + 1 an.
f ist injektiv
f ist surjektiv
f ist bijektiv
ja,
A 11: Seien A = {1, 2}, B = {2, 3} und C = {3, 4}. Bestimmen Sie P(( A ∪ B) \ C ). {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
Bitte wenden!
A 12: Geben Sie
p den maximalen Definitionsbereich D ⊆ R einer durch die Abbildungsvorschrift
f ( x ) = ( x − 2)( x + 4) definierten Funktion f an.
(−∞, −4] ∪ [2, ∞)
A 13: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f : D \ {−4, 2} → R, x 7→
p
( x − 2)( x + 4) (wobei
x+1
f 0 (x) = p
( x − 2)( x + 4)
D der maximale Definitionsbereich aus der letzten Aufgabe sei).
(
A 14: Kreuzen Sie alle wahren Aussagen über die Funktion f : R → R, x 7→
f ist stetig
f ist streng monoton steigend
x2 −2x +1
x −1
, x 6= 1
0
,x = 1
f ist streng monoton fallend
ja,
A 15: Bestimmen Sie sin
π
2
an.
ja,
nein
1
.
A 16: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung 5 logx 9 = 10.
A 17: Bestimmen Sie die Ableitung von f : R \ {−1} → R, x 7→
x=3
ex + 1
.
1+x
f 0 (x) =
xe x − 1
(1 + x )2
A 18: Bestimmen Sie f 0 (1) für f : R → R, x 7→ ln( x2 + 1).
1
A 19: Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : R → R, x 7→ x cos( x ). F ( x ) = x sin( x ) + cos( x )
A 20: Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : R → R, x 7→
A 21: Geben Sie die Matrix A = ( aij ) ∈
R2 × 3
ex
.
1 + ex
F ( x ) = ln(1 + e x )
i
mit Einträgen aij :=
∑
j · k explizit an.
k =1
A 22: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des nebenstehenden
Gleichungssystems.
1 2 3
3 6 9
x − 2y
=8
x + y + 10z = 9
x
+ 5z = 7
x = 2 und y = −3 sowie z = 1
A 23: Für welche reellen Zahlen a hat das nebenstehende lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?
x + ay = 1
ax + y = a2
für alle a mit a 6= 1 und a 6= −1