Mathematische Methoden der klassischen Physik – Übungsblatt 12

Dr. G. Lechner
Dr. K. Schiele, Dipl.-Phys. S. Sturm, Dipl.-Phys. B. Zocher
Winter 2013/14
Mathematische Methoden der klassischen Physik – Übungsblatt 12
— Besprechung dieser Aufgaben am Freitag, 24.01. —
Aufgabe 38 (Integrale)
Berechnen Sie die folgenden Integrale, indem Sie geeignete Techniken anwenden — partielle
Integration, Substitution, Partialbruchzerlegung.
R√
a)
2x + 3 dx
R
b) cos(3x + 1) dx
R
c) x sin(2x) dx
R
d) (x2 + 2x) sinh x2 dx
R
e) logx x dx
R
R
dx
f) x2 +ax+b
mit 4b − a2 > 0. Tipp: Rückführung auf das bekannte Integral u2du
+1
R dx
g) x(1+x)
h)
R
√
x−√x
x+ x
dx
Aufgabe 39 (Energieerhaltung)
Wir betrachten ein Kraftfeld F (d.h. eine stetige Funktion F : → ), dass an jedem Punkt
x ∈ eine Kraft F (x) definiert, und ein Teilchen der Masse m > 0, dass sich (in Abhängigkeit
von der Zeit t) am Ort x(t) befindet, also die Geschwindigkeit ẋ(t) und die Beschleunigung
ẍ(t) hat. Nach den Gesetzen der klassichen Mechanik gilt die Newton’sche Gleichung
R R
R
F (x(t)) = mẍ(t) ,
und die Arbeit U (x), die erforderlich ist, um das Teilchen von 0 nach x gegen die Kraft F zu
verschieben, ist gegeben durch
Z x
U (x) = −
dx0 F (x0 ) .
0
Zeigen Sie, dass die Gesamtenergie des Teilchens, also kinetische plus potentielle Energie,
m
E(t) := ẋ(t)2 + U (x(t)) ,
2
erhalten ist, d.h. nicht von t abhängt.
Aufgabe 40 (Variation der Konstanten)
Bestimmen Sie eine Lösung der Differentialgleichung mit Anfangsbedingung
y 0 (x) = α · y(x) + ex ,
y(0) = 0 ,
wobei α > 0 ein vorgegebener fester Parameter ist. Betrachten Sie zuerst wie in der Vorlesung
die homogeneR Gleichung, d.h. y 0 (x) = a(x) · y(x) (hier mit a(x) = α), und zeigen Sie, dass
x
y(x) = c exp 0 dx0 a(x0 ) für beliebiges c ∈ eine Lösung ist. Gewinnen Sie dann eine Lösung
der inhomogenen Gleichung, indem Sie einen Ansatz von derselben Form wählen, in dem aber
die Konstante c durch eine zu bestimmende Funktion x 7→ c(x) ersetzt wird (“Variation der
Konstanten”). Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung erhalten Sie dann wie bei
der Schwingungsgleichung gemäß “allgemeine Lösung der homogenen Gleichung plus spezielle
Lösung der inhomogenen Gleichung”.
R