1 Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2010
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1 Fachbereich Mathematik und Informatik der Universität Marburg Dr. Helga Lohöfer Sommersemester 2010 Übungen zu Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten - Blatt 11 Abgabe: Dienstag, den 06.07.2010, 14:10 Uhr in der Vorlesung Skript und Aufgabenblätter: Im Internet unter www.mathematik.uni-marburg.de/~lohoefer/ Lektüreaufgabe: Skript Kap.6.1 bis 6.5.1 incl. Wichtige Begriffe: Mittlerer Wert ymitt einer abhängigen Variablen y = f(x) im Bereich a ≤ x ≤ b. Bestimmtes Integral und seine näherungsweise Berechnung mit der Trapezregel. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Näherungsweise („numerische“) Berechnung von Stammfunktionen. Näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals anhand einer Wertetabelle: 1. Wird eine inkompressible Flüssigkeit des Volumens Va in einer Pumpe durch Pumpendruck und Ausstoß bis auf das geringere Volumen Vb reduziert, so beträgt die geleistete Arbeit bekanntlich (siehe Sonderblatt) W=− V b ∫ pdV . Va In der linken Herzkammer herrschen in der systolischen Phase nacheinander folgende Volumen- und Druckwerte (1cm3 = 10−6m3, 1mbar = 100 N⋅m−2): V [cm3] p [mbar] 140 10 140 125 128 170 100 175 78 170 70 147 70 5 Erläuterungen: Aus dem Vorhof (permanent 10mbar Druck) wird bei entspanntem Herzmuskel Blut in die Hauptkammer gespült (= diastolische Phase) bis das Volumen dort 140cm3 beträgt bei einem Druck von 10mbar. Nun beginnt die systolische (aktive) Phase: Durch Herzmuskelkontraktion wird das Blut ausgepresst, bis nur noch 70cm3 verbleiben. Dann erschlafft der Muskel bis auf den Unterdruck von 5 mbar, der das erneute Einspülen von Blut aus der Vorkammer auslöst. a) Berechnen Sie näherungsweise die Arbeit W [N⋅m = J] der linken Herzkammer in der systolischen Phase. (2,5) b) Wenn man alle Druckwerte in der Tabelle mit dem Faktor 0,2 multipliziert, erhält man die Daten für die rechte Herzkammer. Wie groß ist daher die Arbeit der rechten Herzkammer in der systolischen Phase? (0,5) c) Eine systolische Phase dauert 0,3s. Wie groß ist die Gesamtleistung des Herzens - während einer systolischen Phase, - während einer Minute bei einer Pulsfrequenz von 80/min? (1) (Hinweis: Leistung = Arbeit pro Zeit) Mittlerer Wert einer abhängigen Variablen, Berechnung eines bestimmten Integrals mittels Stammfunktion: 2. Die Dosis K einer Strahlung berechnet sich nach der Formel K = mittlere Intensität mal Zeitdauer. a) Welche Berechnungsformel gilt für die Dosis K im Zeitraum a ≤ t ≤ b, wenn die Intensität variiert? b) Einem Patienten werde zur Blutuntersuchung eine Portion 59Fe injiziert mit anfänglicher Strahlungsintensität I0. 59Fe hat im menschlichen Körper eine Halbwertzeit von 27 Tagen. Wie lautet die Berechnungsformel für die Intensität I als Funktion der Zeit t (in Tagen) (Konstante in der Formel mit 5 Nachkommastellen)? c) Sei Kn die Dosis, die dem Körper in den ersten n Tagen zugeführt wird. Dann gilt für die verabreichte Gesamtdosis K die Formel K = lim K n . (1) (1) n→∞ Berechnen Sie K. Numerische Berechnung einer wichtigen Stammfunktion, für die es keine Berechnungsformel gibt: 3. Durch einen Dammbruch ergieße sich ein Wasserschwall von einem Fischteich auf ein Nachbargrundstück. Die Stärke S des Wasserschwalls (gemessen in 1000m3/min) betrage zum Zeitpunkt t [min]: 2 1 t − µ ⋅ exp − 0,5 ⋅ S= , σ 2π σ wobei µ = 8 und σ = 0,3 . (3) 2 a) Ist V das Volumen der bis zum Zeitpunkt t insgesamt übergelaufenen Wassermenge (in 1000m3), so gilt für kleine Zeitspannen ∆t ∆V ≈ S⋅∆t. Welche der folgenden Aussagen ist richtig, welche falsch: (1) V ist die Ableitung von S nach der Zeit t. (2) V ist eine Stammfunktion von S als Funktion der Zeit t. (0,5) b) Berechnen Sie für t = 0 sowie für den Zeitraum 6,65 ≤ t ≤ 9,35 mit Schrittweite ∆t = 0,15 eine Wertetabelle für S und danach für V (jeweils 4 Nachkommastellen) (V = 0 für t = 0). (3) Hinweis: Der Graph von S hat bei t = µ = 8 eine senkrechte Symmetrieachse (warum?). c) Tragen Sie die Graphen von S und V als Funktionen von t in ein gemeinsames Koordinatensytem ein (1 Kästchen entspricht 0,1 auf beiden Achsen). (1) d) Welchen Wert haben die Integrale µ +σ ∫ µ −σ µ + 2σ Sdt , ∫ µ − 2σ µ + 3σ Sdt und ∫ Sdt µ − 3σ und welche Wassermenge wird durch sie jeweils gemessen? Wie viel Prozent der insgesamt übergelaufenen Wassermenge ist das jeweils? (1,5) Klausurtermine: 1. Klausur: Mo, 02.08.2010, 10:15 − 12:00 Uhr, Hörsaalgebäude Chemie, Lahnberge, Hans-Meerwein-Str., HS A 2. Klausur: Mo, 30.08.2010, 15:15 − 17:00 Uhr, Großer Hörsaal Pharm. Chemie 3. Klausur: Mo, 11.10.2010, 15:15 − 17:00 Uhr, Großer Hörsaal Pharm. Chemie Weitere Aufgaben zum Üben (keine Korrektur, nicht abgeben!) Mittlerer Wert einer abhängigen Variablen und näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals anhand einer Wertetabelle: 1. Der Tachometer eines Fahrzeugs zeigte nach dem Start folgende Geschwindigkeiten an: t [s] 0 3 7 16 20 27 40 43 0 15 25 40 55 80 90 98 v [km⋅h–1] a) Berechnen Sie näherungsweise die mittlere Geschwindigkeit [km⋅h–1] des Fahrzeug in der Zeitspanne 16s≤t ≤ 40s. b) Berechnen Sie die im Zeitraum 3s ≤ t ≤ 16s zurückgelegte Strecke. Mittlerer Wert einer abhängigen Variablen, Berechnung eines bestimmten Integrals mittels Stammfunktion: 2. Ist A → Produkte eine chemische Reaktion 1. Ordnung mit der Geschwindigkeitskonstante k[s−1], so bezeichnet man als mittlere Lebensdauer eines Moleküls von A die Größe n [A] τ = lim ∫ dt n →∞ [A] 0 0 a) Wie lautet die allgemeine Berechnungsformel für [A] als Funktion von t? b) Berechnen Sie mittels dieser Formel die mittlere Lebensdauer eines Moleküls von A. Numerische Berechnung einer Stammfunktion: 3. In einem chemischen Prozeß A → Produkte reduziere sich die momentane Reaktionsgeschwindigkeit d[A]/dt = −v im Verlauf der Reaktion wie folgt: 0 10 20 30 40 t [s] −1 −1 d[A]/dt [mol⋅l ⋅s ] −0,050 −0,0222 −0,0125 −0,0080 −0,0056 Berechnen Sie die Werte von [A], wenn [A]0 = 1,000 mol⋅l−1 . Zusatz: Anschließend können Sie durch graphischen Test mittels der Wertepaare (t,[A]) und/oder auch mittels der Wertepaare ([A],v) die Ordnung der Reaktion bestimmen. Stammfunktionen der wichtigsten Funktionenklassen: 4. Wie lauten die Stammfunktionen zu Proportionalität, linearer Funktion, Polynom, allgemeiner Exponentialfunktion, allgemeiner Potenzfunktion?
