Differenzieren Aufgaben

Statistische und mathematische Fähigkeiten
Differenzieren
Aufgaben
Aufgabe C1
Bestimmen Sie die Extremwerte (Minimum oder Maximum)
a) f(x) = x2 + 5x + 6
b) f(x) = x3 – 3x
c)
f(x) = 2x3 + 3x2
d) f(x) = 3x4 + 8x3 +6x2
1
e) f(x) = 2
x +1
f) f(x) = x2 + 1
g) f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 6
1
h) f(x) = + x
x
i) f(x) = x5 – 1
Aufgabe C2
Bestimmen Sie von den folgenden Funktionen die Gleichung(en) der Tangente im
Wendepunkte an der Graphik.
a) f(x) = x3 – 3x
c)
f(x) = x4 - 6x2
b) f(x) = x4 + 4x + 1
d) f(x) = x4 + 2x3
e) f(x) = 2x6 – 3x 5
f)
f(x) =
x2 + 1
Aufgabe C3
Führen Sie für die folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch
a)
f(x) = x3 – 6x2 + 12x
b)
f(x) = ln(x2 - 1).
Aufgabe C4
Führen Sie die Kurvendiskussion für f(x) =
1
2
x( x - 2) 3 durch.
Aufgabe C5
Führen Sie die Kurvendiskussion (keine Wendepunkte) für f(x) = x2 · ex durch.
Aufgabe C6
Führen Sie die Kurvendiskussion (keine Wendepunkte) für: f (x ) = x x + 2 durch.
Aufgabe C7
In Abhängigkeit vom Preis p sei x = N (p ) = 80 - 20p die Nachfragemenge und K(x ) = 2x + c
mit einer Konstanten c ≥ 0 die Konstantenfunktion
Bestimmen Sie:
a) die Grenzkostenfunktion
b) die Umsatzfunktion
c) die Reingewinnfunktion
d) bei welchem Preis p wird der Reingewinn maximal ?
e) für welche Werte c ≥ 0 ist der maximale Reingewinn positiv ?
Aufgabe C8
Ein Unternehmen hat festgestellt, daß bei einem Preis p für eine Ware für den täglichen
1
Mengenabsatz x gilt x = 15 − 34 ⋅ p + für 101 ≤ p ≤ 20 .
p
Bei welchem Preis p ist der Umsatz maximal?
3.1
Aufgabe C9
Die Kostenfunktion in Abhängigkeit der Produktionsmenge x sei
(
K (x ) = 4 ⋅ 10 −4 x 3 − 10 −2 x 2 + 31 x
)
a) Bestimmen Sie näherungsweise die Kostenerhöhung, die eine Produktionserhöhung von
x 0 auf x 0 + 1 verursacht.
K(x )
b) Für welche x werden die Stückkosten
minimal?
x
c) Der Verkauf von x Produktionseinheiten ergibt einen Erlös von 3x
Für welches x ist der Reingewinn maximal?
Aufgabe C10
Sei K (x ) = 2 + x eine Kostenfunktion.
Bestimmen Sie die Elastizität der Stückkostenfunktion
K(x )
x
Aufgabe C11
Die Nachfrage in Abhängigkeit des Preises p sei f ( p ) =
ln ( p + 1 )
p
a) Bestimmen Sie die Elastizität der Nachfrage.
b) Um wieviel Prozent wächst ungefähr die Nachfrage, wenn der Preis von p 0 = 24 € um
1% erniedrigt wird?
Aufgabe C12
a) Bestimmen Sie für die Produktionsfunktion
1
2
4
f (x ) =
⋅ 10 − 4 ⋅ x 4 − ⋅ 10 − 3 ⋅ x 3 + ⋅ 10 −2 ⋅ x 2 die Extremwerte.
108
9
3
b) An welcher Stelle besitzt der durchschnittliche Ertrag ein Maximum?
Aufgabe C13
Der Bremsweg (in Meter) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde)
1 2
werde durch folgende Formel beschrieben: f (x ) =
x +x
10
a) Berechnen Sie die Elastizität ε f (x ) .
b) Berechnen Sie mit a) näherungsweise, um wieviel Prozent sich der Bremsweg
vergrößert, wenn die Geschwindigkeit von x 0 = 20 um 3% erhöht wird.
Aufgabe C14
− x
Eine Kostenfunktion in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x sei K(x ) = x ⋅  2 − e 100  €.


a) Der Verkaufspreis für eine Einheit sei 2 €.
b) Bei welcher Produktionsmenge x ist der Gewinn maximal?
c) Wie hoch ist dieser maximale Gewinn?
Aufgabe C15
a) Berechnen Sie die Elastizität der Angebotsfunktion f (p ) = p ⋅ e p +1
b) Berechnen Sie hiermit, um wieviel Prozent sich das Angebot näherungsweise ändert,
wenn sich p von p 0 = 1 um 1% erhöht.
2
3.2
Aufgabe C16
Die Nachfrage f (x ) nach einem Produkt hänge vom durchschnittlichen Pro-Kopf-Einkommen
x ab: f (x ) = 7 ⋅ e 1000
a) Bestimmen Sie die Einkommenselastizität der Nachfrage nach diesem Produkt.
b) Berechnen Sie näherungsweise mit Hilfe der Elastizität ε f (x ) aus der Aufgabe a), um
wieviel Prozent die Nachfrage fällt, wenn sich das durchschnittliche Einkommen von
x 0 = 1800 um 1% erhöht.
−
x
Aufgabe C17
Für den Preis (je Einheit) in Abhängigkeit der nachgefragten Menge x eines Produktes gelte
p = f (x ) = 2 e − 2 x
2
a) Berechnen Sie die Elastizität von p bezüglich x.
b) Berechnen Sie für welchen Wert x der Umsatz maximal ist.
Aufgabe C18
Für die Produktionsmenge x sei E(x) = 3x – 6 die Ertragsfunktion und K(x) = x2 + 4 die
Kostenfunktion.
E( x )
Bei welcher Produktionsmenge x ist die Wirtschaftlichkeit
am grössten?
K( x )
Aufgabe C19
Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
a) f(x) = x5
c) f(x) = -3
e) f(x) = -5x4
1
d) f(x) = 2x3
d) f(x) = axn (n ≠ -1)
f) f(x) = 5
x
Aufgabe C20
Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
a) f(x) = 6x - 5
c) f(x) = x + 12 x2
e) f(x) =
b) f(x) = 2x2 – 16x
d) f(x) =
1
3
+ 3
4
x
x
f)
f(x) =
1
4
x3 + 3x
1
+ x3
3
x
Aufgabe C21
Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
2
a) f(x) = 2x5 – 6x + 3
c) f(x) = 2 + 2 x 2
e) f(x) = 3 x − 2x x
x
1
d) f(x) = 5x6 + 3x4 - 12 x2
d) f(x) = − 23 x 2
f) f(x) =
+ x
3 x
Aufgabe C22
Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
2
x 2 − 2x + 1
a) f(x) =
c) f(x) =
e) f(x) = e-x
x
x
2
1
d) f(x) =
d) f(x) = 2ex
f) f(x) = 2x
3x
e
3.3
Aufgabe C23
Geben Sie für folgende Funktionen jeweils eine Stammfunktion
2
4 1
1
a) f (x ) = 2 + 3 +
c) f (x ) = x +
x
x
x
x
b)
 1

f (x ) =  x 5 + 1




2
d)
(
f (x ) = e 3 x ⋅ 1 + e − 3 x
)
Aufgabe C24
Berechnen Sie im Falle folgende Integrale:
4
a)
∫
4
b)
4
1
dx
x
1
∫
1
1
3
x5
c)
∫
2
x 3 + 5x 2 + 3x + 4
dx
x5
1
dx
d)
∫
0
3
1
dx
x
Aufgabe C25
Im Preisintervall [1 ; 10] lautet die Nachfragefunktion f (p) =
1000
.
p
a) Bestimmen Sie den Gesamtumsatz eines Monopolisten, falls dieser den Preis stetig von
10 auf eine Einheit senkt.
b) Bestimmen Sie den Umsatz, falls der Preis von p = 10 jeweils um eine Einheit
sukzessive bis auf p = 1 gesenkt wird.
Aufgabe C26
Im Bereich p ≥ 1 seien die Angebotsfunktion A(p ) =
1 2 1
9
p − p + und die Nachfragefunktion
4
2
4
N(p ) = 8 − 0,08p 2 gegeben.
a) Bestimmen Sie den Marktpreis
b) Berechnen Sie die Konsumentenrente für p ≤ p 0 = 10
c) Berechnen Sie die Produzentenrente für p ≥ p u = 1
Aufgabe C27
Im Preisintervall [1 ; 10e] seien A (p ) = 1 + p und N(p ) = 10 +
10
die Angebots- und
p
Nachfragefunktion.
a) Bestimmen Sie den Marktpreis
b) Berechnen Sie die Konsumentenrente für Preise zwischen dem Marktgleichgewicht und
der Preisobergrenze 10e
c) Berechnen Sie die Produzentenrente für Preise zwischen der Preisuntergrenze pu = 1
und dem Marktpreis.
3.4
Aufgabe C28
Im Preisintervall [1 ; 9] seien A(p ) = 12 p + 34 und N(p ) = 6 − 2p die Angebots bzw.
Nachfragefunktionen.
a) Bestimmen Sie die Funktion der Elastizität der Nachfragefunktion und errechnen Sie für
welchen Wert von p die Elastizität näherungsweise gleich -0,25% ist.
b) Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis.
c) Berechnen Sie die Produzentenrente.
d) Bestimmen Sie den Gesamtumsatz eines Monopolisten, falls der Preis von p = 9 jeweils
um zwei Einheiten sukzessive auf p = 1 gesenkt wird.
Geben Sie die Lösung auf eine Nachkommastelle genau!
e) Errechnen Sie für welchen Wert von p der Gesamtumsatz eines Monopolisten bei
stetiger Preissenkung ein Maximum besitzt.
f) Für welche Marktform ist die Rechnung aus b) und c) sinnvoll?
Aufgabe C29
Im Preisintervall [3 ; 30] seien A(p ) = p 2 − 6p + 27 und N(p ) = −9p + 297 die Angebots bzw.
Nachfragefunktionen.
a) Bestimmen Sie die Funktion der Elastizität der Nachfragefunktion und errechnen Sie für
welchen Wert von p die Elastizität näherungsweise gleich 2% ist.
b) Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis.
c) Berechnen Sie die Produzentenrente
d) Bestimmen Sie den Gesamtumsatz eines Monopolisten, falls der Preis von p = 30
jeweils um drei Einheiten sukzessive auf p = 3 gesenkt wird.
Geben Sie die Lösung auf eine Nachkommastelle genau !
e) Errechnen Sie für welchen Wert von p der Gesamtumsatz eines Monopolisten bei
stetiger Preissenkung ein Maximum besitzt.
f) Für welche Marktform ist die Rechnung aus b) und c) sinnvoll ?
3.5