Vorlesung 11 - Mathematik

Mathematik für Biologen
Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Heinrich-Heine Universität Düsseldorf
19. November 2009
Abschnitt D.2
Integrale
Stammfunktion
I
Falls f die Ableitung von F ist, so sagt man, F sei die
Stammfunktion von f . Man schreibt
Z
F (x) = f (x)dx
Das Zeichen
Integral.
R
bezeichnet man auch als unbestimmtes
I
Jede (stetige) Funktion besitzt eine Stammfunktion.
I
Die Stammfunktion ist nicht eindeutig. Wenn F eine
Stammfunktion zu f ist, dann auch F + C für beliebige
Konstanten C .
Wichtige Stammfunktionen
Z
x n dx =
Z
1
x n+1
n+1
1
dx = ln(x)
x
Z
exp(x)dx = exp(x)
Z
ln(x)dx = x · ln(x) − x
n 6= −1
Integrationsregeln
Die Rechenregeln der Integration sind parallel zu den Rechenregeln
der Ableitung. Dabei ist wieder C eine Konstante und f und g sind
Funktionen
Z
Z
C · f (x) dx = C · f (x) dx
Z
Z
Z
(f (x) + g (x))dx = f (x)dx + g (x)dx
partielle Integration:
Z
Z
f 0 (x) · g (x)dx = f (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)dx
Z
Substitutionsregel:
f (g (x)) · g 0 (x) dx = f (g (x))
Elementar integrierbar
I
I
f heißt elementar integrierbar, wenn ihre Stammfunktion sich
durch Polynome, Brüche, Wurzeln und die Funktionen exp,
sin, cos und ihre Umkehrfunktionen ausdrücken lässt
2
1
x
f (x) = √ exp −
2
2π
ist nicht elementar integrierbar. Sie heißt Gaußsche
Glockenkurve.
I
Eine Stammfunktion der Gaußschen Glockenkurve ist die
Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung.
Gaußsche Glockenkurve
1.0
0.8
Standardnormalverteilung
Glockenkurve
Verteilungsfunktion
0.6
0.4
0.2
0.0 3
2
1
0
1
2
3
Integrale
Wenn F eine Stammfunktion zu f und a < b ist, dann bezeichnet
man
Zb
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
als bestimmtes Integral von f über dem Intervall [a, b].
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Wenn
die Funktion f keine negativen Werte annimmt, dann ist
Rb
a f (x)dx der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f .
Rb
Wenn f positive und negative Werte annimmt, dann ist a f (x)dx
gleich dem Flächeninhalt über der x-Achse minus dem
Flächeninhalt unter der x-Achse.
Einfaches Beispiel
I
I
I
3.5
Bestimme Flächeninhalt
unter f (x) = x über dem
Intervall [0, 3]
3.0
Stammfunktion von
2.0
x2
f (x) = x ist F (x) =
2
Also
Z3
9
x dx = F (3) − F (0) =
2
0
f(x) = x
2.5
1.5
1.0
0.5
0.0
0.50.5 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Beispiel mit Vorzeichenwechsel
I
Bestimme
Z3
x dx
−3
I
I
I
4
Das ist die Differenz
zwischen der roten und der
grünen Fläche
0
Stammfunktion von
1
x2
f (x) = x ist F (x) =
2
Also
x dx = F (3)−F (−3) = 0
−3
2
1
2
3
44
Z3
f(x) = x
3
3
2
1
0
1
2
3
4
Beispiel aus der Physik, Fortsetzung
I
1
B ·x +1
Zurückgelegte Wegstrecke zur Zeit t
Zt
Zt
1
dx
f (t) = v (x) dx = A · 1 −
B ·x +1
0
0
A
= A · t − · ln(B · t + 1)
B
Geschwindigkeit
Wegstrecke
160
0.9
Geschwindigkeit in km/h
I
Formel für die Geschwindigkeit
v (x) = A · 1 −
140
120
100
80
60
40
20
00
Wegstrecke in km
I
5
10
15
Zeit in s
20
25
30
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.00
5
10
15
Zeit in s
20
25
30
Abschnitt 2.9
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Normalapproximation
Verteilungen mit Dichte
I
Wenn die Verteilungsfunktion einer Verteilung differenzierbar
ist, dann bezeichnet man ihre Ableitung als Dichte der
Verteilung.
I
Für die Standard-Normalverteilung gilt
2
1
x
0
Φ (u) = √ exp −
2
2π
I
Mit anderen Worten: Wenn die Zufallsvariable X
standard-normalverteilt ist, dann gilt
1
P(a < X ≤ b) = √
2π
Zb
e −x
a
2 /2
dx
Dichte und Verteilungsfunktion der
Standard-Normalverteilung
1.0
0.8
Standardnormalverteilung
Dichte
Verteilungsfunktion
0.6
0.4
0.2
0.0 3
2
1
0
1
2
3
Eigenschaften
I
Beachte: Für jede Verteilung mit Dichte gilt P(X = a) = 0 für
alle a. Also beispielsweise auch
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b)
I
Jede
R∞ Funktion f , die nur Werte ≥ 0 annimmt und für die gilt
−∞ f (x)dx = 1, ist Dichte einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung P, die auf den Intervallen
gegeben ist durch
Zb
P(a < X ≤ b) =
f (x)dx
a
Eine einfache Verteilung
I
Für einen festen Parameter a > 0 betrachten wir


a·x
0≤x ≤1



a
1≤x ≤2
f (x) =

a · (3 − x) 2 ≤ x ≤ 3



0
sonst
I
Skizze von f
a
0
0.0
I
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Für welches a ist f Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Einfache Verteilung, Fortsetzung
Z3
I
Bestimme a so, dass
f (x) dx = 1
0
I
Bestimme dazu die nötigen Stammfunktionen
Z
F1 (x) = 1 dx = x
Z
x2
F2 (x) = x dx =
2
Einfache Verteilung, Fortsetzung
Z1
Z3
a · x dx +
f (x) dx =
0
Z2
0
=a
x dx + a
0
(3 − x) · a dx
Z3
Z3
1 dx + 3a 1 dx − a x dx
a dx +
1
Z2
Z1
Z3
1
2
2
2
= a F2 (1) − F2 (0) + F1 (2) − F1 (1) + 3F1 (3) − 3F1 (2)
− F2 (3) + F2 (2)
9 4
1
−0+2−1+9−6− +
=a
2
2 2
= 2a
Für a =
1
2
ist f Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert und Varianz
I
Die Verteilung von X besitze die Dichte f
I
Dann ist der Erwartungswert von X gleich
Z∞
E (X ) =
x · f (x) dx
−∞
I
Die Varianz von X ist gleich
Z∞
Var (X ) =
(x − µ)2 · f (x) dx
−∞
wobei µ = E (X )
I
Die Streuung, auch Standardabweichung genannt, ist gleich
p
σ = Var (X )
Erwartungswert und Varianz der
Standard-Normalverteilung
I
Für standard-normalverteiltes X gelten
E (X ) = 0
und
Var (X ) = 1
I
Das ergibt sich daraus, dass die Standard-Normalverteilung
durch Grenzübergang aus standardisierten Zufallsvariablen
entsteht.
Normalverteilungen
I
Die Zufallsvariable X heißt normalverteilt zum
Erwartungswert µ und der Varianz σ2 , wenn es eine
standard-normalverteilte Zufallsvariable Y gibt mit
X =µ+σ·Y
I
Man sagt dann, X sei N(µ, σ2 )-verteilt.
I
Der Zusammenhang zwischen X und Y ist
Y =
I
X −µ
σ
X ist also genau dann N(µ, σ2 )-verteilt, wenn
1
(X − µ)
σ
standard-normalverteilt ist.
Erwartungswert und Varianz N(µ, σ2 )-verteilter
Zufallsvariabler
Für N(µ, σ2 )-verteilte Zufallsvariable X gelten
E (X ) = µ
und
Var (X ) = σ2
Normalverteilungen für verschiedene Erwartungswerte
1.0
0.8
µ =0
µ =1
µ =2
0.6
0.4
0.2
0.0 4
3
2
1
0
1
2
3
4
Dichten und Verteilungsfunktionen für N(µ, 1)-verteilte
Zufallsvariable, µ = 0, 1, 2
Normalverteilungen für verschiedene Streuungen
1.0
0.8
σ =1
σ =1/2
σ =2
0.6
0.4
0.2
0.0 4
3
2
1
0
1
2
3
4
Dichten und Verteilungsfunktionen für N(0, σ2 )-verteilte
Zufallsvariable, σ = 1, 12 , 2
Umrechnung auf Standardnormalverteilung
Die Zufallsvariable X sei N(µ, σ2 )-verteilt. Dann gelten für a < b
a−µ
b−µ
−Φ
P(a < X ≤ b) = Φ
σ
σ
a−µ
P(a < X ) = 1 − Φ
σ
b−µ
P(X ≤ b) = Φ
σ
Beispiel: IQ-Tests
I
IQ-Tests sind so skaliert, dass die Werte in der Population
normalverteilt mit Erwartungswert µ = 100 und Streuung
σ = 15 sind
I
Welcher Anteil der Bevölkerung hat einen IQ über 130?
I
Die Zufallsvariable X , die den IQ misst, ist
N(100, 225)-verteilt.
I
Also
130 − 100
P(130 < X ) = 1 − Φ
15
= 1 − Φ(2) = 1 − 0.977250 = 0.02275
I
Ungefähr 2.3% der Population weist einen IQ von mindestens
130 auf