Blatt 5 - Mathematische Physik

TUM, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Physik
WS 2013/14
Prof. Dr. Silke Rolles
Thomas Höfelsauer
Felizitas Weidner
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Übungsblatt 5
Tutoraufgaben:
Aufgabe T5.1
Bestimmen Sie die Erwartungswerte der Zufallsvariablen X, Y und Z, falls
(i) X Bernoulli(p)-verteilt zum Parameter p ∈ (0, 1),
(ii) Y Binomial(n, p)-verteilt zu den Parametern p ∈ (0, 1) und n ∈ N und
k
(iii) Z Poisson(λ)-verteilt zum Parameter λ > 0, d. h. P(Z = k) = e−λ λk! für k ∈ N0 ,
ist. Berechnen Sie außerdem die Erwartungswerte von V := etY für t ∈ R und W := Z 2 .
Aufgabe T5.2
Wir betrachten folgendes Zufallsexperiment, das uns bereits in Aufgabe H2.2 begegnet ist: Zum Wichteln bringen n Kinder je ein Geschenk mit. Die n Geschenke werden
gesammelt, gemischt und völlig zufällig wieder ausgegeben, sodass jeder genau ein Geschenk erhält. Sei X die Anzahl der Kinder, die das Geschenk bekommen, das sie selbst
mitgebracht haben. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.
Hausaufgaben:
Aufgabe H5.1
(i) Beweisen Sie den folgenden Transformationssatz für Dichten: Sei X eine Zufallsvariable mit Werten im offenen Intervall I ⊆ R und Dichtefunktion fX . Sei J ⊆ R
ein weiteres offenes Intervall und g : I → J ein Diffeomorphismus, d. h., g sei
bijektiv und g sowie g −1 seien stetig differenzierbar. Dann hat die Zufallsvariable
Y := g(X) die Dichtefunktion
d
−1
fY (y) = fX (g (y)) g (y)
dy
−1
für y ∈ J und fY (y) = 0 für y ∈ J c .
(ii) Sei X auf√eine auf (0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Dichten
von X 2 , X und − log X
Aufgabe H5.2
(i) Sei X eine (0, ∞)-wertige Zufallsvariable mit der Eigenschaft P(X > t) > 0 für
alle t > 0. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:
(a) X ist exponential-verteilt zu einem Parameter λ > 0.
(b) Es gilt P(X > x + t|X > x) = P(X > t) für alle x, t > 0, d. h. die Verteilung
von X ist gedächtnislos.
Hinweis: Um zu zeigen, dass (b) Aussage (a) impliziert, setzen Sie zunächst die
Voraussetzung der Gedächtnislosigkeit in eine Gleichung für G(x) = 1 − F (x),
wobei F die Verteilungsfunktion von X ist, um. Lösen Sie diese, indem Sie zunächst
G(1) und G(x) für rationale x in Verbindung bringen und wenden Sie geeignete
Stetigkeitseigenschaften der Verteilungsfunktion an.
(ii) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0.
Aufgabe H5.3
(i) Es sei X eine Zufallsvariable mit Werten in N0 . Zeigen Sie:
X
E[X] =
P(X ≥ k)
k≥1
(ii) Gegeben sei ein fairer Würfel mit n Seiten und der Beschriftung {1, . . . , n}. Die Zufallsvariable M bezeichne die größte gewürfelte Augenzahl bei m-maligem Würfeln
(m ∈ N fest). Bestimmen Sie den Erwartungswert von M .
Aufgabe H5.4
Für eine reellwertige Zufallsvariable X ist ein Median eine reelle Zahl m, für die sowohl
P(X ≤ m) ≥ 21 als auch P(X ≥ m) ≥ 21 gilt.
(i) Zeigen Sie, dass
E |X − m| = inf E |X − a|
a∈R
gilt, falls m ein Median der Zufallsvariable X ist.
Hinweis: Nehmen Sie ohne Einschränkung an, dass a > m und zeigen Sie zunächst
h
i
1
E |X − a| − |X − m| = 2 (a − m) P(X ≤ m) −
+ E (a − X)1(m,a) (X) .
2
(ii) Für n ∈ N sei X eine auf {1, . . . , n} gleichverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie
einen Median m ∈ N von X in Abhängigkeit davon, ob n gerade oder ungerade
ist.
Abgabe der Hausaufgaben: Am Freitag, den 10. Januar 2013, bis 12 Uhr im Briefkasten „Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie“ im Untergeschoss des MI-Gebäudes