LK I Wachstumsmodelle 13

Christianeum
Mathematik (erhöhtes Niveau)
Wilms
Integralrechnung III
SI
22. 9. 2009
Flächeninhaltsbestimmungen mit Hilfe der Randfunktion
Die Beispiele auf dem Zettel Integralrechnung II lassen auf einen engen Zusammenhang
zwischen der Randfunktion und der Flächeninhaltsfunktion schließen. Vermutung:
Die Randfunktion ist die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion.
Ausgehend von der Randfunktion ist als Flächeninhaltsfunktion demnach eine Funktion
gesucht, deren Ableitung die Randfunktion ist. Für diese Funktion ist der Begriff
Stammfunktion üblich.
Definition:
Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f :
F'(x) = f(x) für alle x  DF
Beispiel:
f(x) = x²
F(x) = 13 x ³ ist eine Stammfunktion; eine weitere ist G(x) =
1
3
x ³ + 2
Frage: Warum gibt es mehr als eine Stammfunktion?
Begründe:
Es sei F eine Stammfunktion einer Funktion f  G : x  F(x) + c , c  , ist eine
Stammfunktion von f.
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Aufgaben
Gib jeweils alle Stammfunktionen an:
a) g (x) = x ³
b) h(x) = x ³ - 2
c) i(x) = 5x ³
d) j(x) = 1
e) k(x) = x
f) l(x) = 2x + 1
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Entscheidende Frage: Welche der vielen möglichen Stammfunktionen einer Randfunktion ist
die gesuchte Flächeninhaltsfunktion? Oder: Wie groß ist in diesem Fall die reelle Zahl c ?
Versuch einer Antwort:
Es bezeichne f die in einem Intervall [a;b] definierte Randfunktion;
es bezeichne F irgendeine in [a;b] definierte Stammfunktion von f, so dass F’ = f,
dann sind mit G : x  F(x) + C , C  , alle Stammfunktionen von f erfasst (G’ = f).
Unter all diesen Stammfunktionen von f befindet sich nach der obigen Vermutung die gesuchte
Flächeninhaltsfunktion, die für den x-Wert b den Flächeninhalt unter dem Graphen von f im
Intervall [a;b] angibt. Wie lässt sich aber die „richtige“ Zahl für den Platzhalter C finden??
Da sich das Flächenstück unter dem Graphen von f im Intervall [a;b] befindet, ist der
Flächeninhalt bei a natürlich 0 (d.h. Null, denn die „Fläche“ ist nur ein Strich), d.h. für die
gesuchte Stammfunktion von f muss gelten: G(a) = 0.
Wenn man das zu Ende denkt bzw. rechnet, kommt man zu folgender Erkenntnis:
G(a) = 0
Damit ist klar: (1)
(2)
 F(a) + C = 0
 C = - F(a)
G : x  F(x) – F(a) ist die gesuchte Flächeninhaltsfunktion
G(b) = F(b) – F(a) ist der gesuchte Flächeninhalt
->-> b.w.
Christianeum
Mathematik (erhöhtes Niveau)
Wilms
-2-
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Die bisher Gesagte wird in der Literatur in einer Aussage zusammengefasst, die unter dem
Namen Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bekannt ist:
Es sei f eine im Intervall [a;b] definierte Funktion;
es sei F eine im Intervall [a;b] definierte Stammfunktion von f;
es bezeichne Af [a;b] den Flächeninhalt unter dem Graphen von f im Intervall [a;b]

Af [a;b] = F(b) – F(a)
Beispiel:
Der Flächeninhalt des Flächenstücks unter dem Graphen von f : x  x² im
Intervall [5;10] lässt sich bestimmen durch:
(1)
Suche irgendeine Stammfunktion von f, z.B. F : x  13 x ³
(2)
Rechne: Af [5;10] = F(10) – F(5) = 1000/3 – 125/3 = 875/3 ≈ 291,7
Die Begriffe Integral, Integrieren
Bei der Arbeit mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
 sucht man irgendeine Stammfunktion F zu einer in einem Intervall [a;b] definierten
Randfunktion
 rechnet man die Differenz F(b) – F(a) aus.
Mathe-INFO
Die Suche einer (aller) Stammfunktion(en) einer gegebenen Funktion f
heißt Integrieren von f.
Ist die Suche einer (aller) Stammfunktion(en) einer gegebenen Funktion
f erfolgreich, so heißt die Funktion f integrierbar.
Wurde im Intervall [a;b] irgendeine Stammfunktion F einer Funktion f
gefunden, so heißt die Zahl F(b) – F(a) (bestimmtes) Integral von f.
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen einer integrierbaren Funktion f
heißt unbestimmtes Integral von f.
Es sind folgende auf Leibniz (1646-1716) zurückgehende Schreibweisen
üblich:
(a)
unbestimmtes Integral von f
 f ( x)dx  F ( x)  C, C  
(b)
(bestimmtes) Integral von f in den Grenzen von a bis b
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ,
wobei F irgendeine Stammfunktion von f ist
a
f(x) heißt Integrand, x heißt Integrationsvariable, a und b heißen
Integrationsgrenzen
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