Bruchgleichunge Bruchgleichungen

)
3 ∙ ( − 2)( + 7) 12 ∙ ( − 2)( + 7)
=
−2
+7
3 + 21
2 )
= 12 − 24
45
= 9
5
=
4
7
3
=
+
+1
4( + 1)
2( − 1)
4 ⋅ 4( + 1)( − 1)
+1
7 ⋅ 4( + 1)( − 1)
=
4( + 1)
3 ⋅ 4( + 1)( − 1)
+
2( − 1)
20 + 2 − 6 − 6 = (6 − 4) ∙ 3
20 + 2 − 6 − 6 = 18 − 12
14 − 4
= 18 − 12 | +12 -14
8
=4
2
=
+2
= 15 | :3
=5
20 + 2
)
−1
6( + 1)
6 −4
=
2( + 1)
(20 + 2) ∙ 6( + 1)
− 1 ∙ 6( + 1)
6( + 1)
(6 − 4) ∙ 6( + 1)
=
2( + 1)
9
( − 2)( + 2)
= 9 | -2
)
2
+
−3
2
24
=
+3
( + 3)( − 3)
2 ∙ ( + 3)( − 3) 2 ∙ ( + 3)( − 3)
+
−3
+3
24 ∙ ( + 3)( − 3)
=
( + 3)( − 3)
2 +6
4
+2 −6
Definition: Eine Bruchgleichung ist eine
Gleichung, bei der einer der beiden Terme ein
Bruchterm ist. Als Bruchterm bezeichnet man
einen Term, bei dem die Variable im Nenner
vorkommt.
(Bsp.:
=
(
)
)
1. Schritt: Definitionsmenge bestimmen.
D = Q \ {0;1}
=7
16 − 16 = 7 − 7 + 6 + 6
3
=
Bruchgleichungen
Vorgehen beim Lösen einer Bruchgleichung
1 ∙ ( − 2)( + 2) 9 ∙ ( − 2)( + 2)
=
−2
( − 2)( + 2)
16( − 1) = 7( − 1) + 6( + 1)
16 − 16 = 13 − 1 | +16 - 13
1
−2
3 )
| :4
= 24
= 24 | :4
=6
2. Schritt: Eine zur Bruchgleichung äquivalente
Gleichung suchen, die die Variable nicht mehr
im Nenner enthält. Möglichkeit: beide Seiten
der Gleichung mit dem Hauptnenner
multiplizieren und dann die Zahlen auf eine
Seite und die Variablen auf die andere Seite
bringen
7
=
2
| ∙ ( − 1) | ∙
( − 1)
3. Schritt: Lösen der entstandenen Gleichung
7 (x – 1) = 2x
2 ; 5x = 7;
x = 1,4
4. Schritt: Prüfen ob Lösungen der
Bruchgleichung
uchgleichung zur Definitionsmenge gehören;
Probe anhand der Ausgangsgleichung
durchführen
7
= 5;
1,4
2
=5
1,4 − 1
Musteraufgaben:
Aufgaben:
Löse die Bruchgleichungen!
1. Löse die Gleichung!
1)
4
=2−
∙
∙
=
1
2−
=2∙
D = IR \ {0}
|∙
)
∙
)
∙
−
4
= 2 − 1 |+1
5
=2
links:
=
,
=
(
)
(
)
∙(
)
∙(
)
1
1
=
= 1,6
=
=
+
4
1
=
+5
3
)
3
=
−2
)
D = IR \ {2}
+
−
∙(
(
(
∙(
−
(
= ( − 2) − 2
= − 4 → x =5
)
)
=
5 ∙ 12
1 ∙ 12
−
6
4
84
3
=
60
12
−
6
4
28
= 10 − 3 | -10
18
= −3
)
20 + 2
6 −4
−1=
6 +6
2 +2
1
=
−2
9
−4
)
2
+
−3
2
=
+3
| :(-3)
= −6
4
7
3
=
+
+1
4 +4 2 −2
)
)
7 ∙ 12
3
12
+7
3. Klammere aus oder verwende eine
binomische Formel!
)
)
)
5
7
1
−
=
6
15
9
2. Löse die Gleichung! (Tipp: Einen Faktor
kann man ausklammern!)
1
2
rechts:2 −
= 2 − = 1,6
2,5
5
2)
1 )
7
5 1
=
−
3
6
4
)
| :2
= 2,5
Probe:
Lösungen:
)
24
−9
5 ∙ 90
7 ∙ 90
1 ∙ 90
−
=
6
15
9
450
640
−
6
15
=
75
= 10
−
42
90
9
33
= 10
3,3
=
| :10
4 ∙ 3( + 5)
1 ∙ 3( + 5)
=
+5
3
12
=
7
=
+ 5 | -5