MATLAB - Eine Einf hrung, S.Teschl 45 b) Nicht zul ssig: Summe_a

MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
45
/|VXQJHQ]X.DSLWHO(UVWH6FKULWWH
b) Nicht zulässig: Summe_a+b (Sonderzeichen „+“ ist nicht erlaubt), 5Tageskarte (erstes Zeichen
muss ein Buchstabe sein)
Das Commandfenster wird mit clc gelöscht (das findet man z.B. mit KHOSJHQHUDOheraus).
. Bei Eingabe von FOHDUDE wird a gelöscht und b wird ausgegeben (MATLAB interpretiert diese
Eingabe als zwei Anweisungen, die durch einen Beistrich getrennt sind). Die Variablen a und b werden
gleichzeitig gelöscht mit
FOHDUDE
(Das findet man z.B. mit KHOSFOHDUheraus)
.
Die Funktion, die den natürlichen Logarithmus berechnet, ist ORJ[ (siehe
KHOSHOIXQ
).
ORJ
ans =
0.3075
FRVSL
ans =
-1
FRVSL
ans =
6.1232e-017
Der Funktionswert ist nicht exakt 0, da er numerisch berechnet wird.
IRUPDWORQJORJ
ans =
0.37156355643248
IRUPDWUDW
.
ans =
335/427
Achtung: In diesem numerischen Format werden irrationale Zahlen durch rationale Zahlen angenähert!
Zum Beispiel wird die irrationale Zahl π dargestellt als:
IRUPDWUDWSL
ans =
355/113
z = 4j/(1+j); w = z’, phi = angle(z)*180/pi, a = abs(z)
w =
2.0000 - 2.0000i
phi =
45
a =
2.8284
Mithilfe vonORRNIRUFRPSOH[ findet man die BefehleUHDO] und
]
MMUH
re =
0.5000
im =
2.5000
UHDO]LP
LPDJ]
LPDJ]
:
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
46
/|VXQJHQ]X.DSLWHO9HNWRUHQXQG0DWUL]HQ
>@\
[
ORJ[
y =
0
1.0986
1.6094
1.9459
y(1) ist das erste Element des Vektors y.
a = -10:2:10, b = 10:-1:0
a =
-10
-8
-6
-4
b =
10
9
8
7
2.1972
-2
0
6
5
2
4
4
6
3
8
2
1
10
0
>@
[
X
[>@
u =
1
6
11
bildet einen Vektor u bestehend aus dem 1., 4. und 7. Element von x.
Y
[
v =
1
3
-2
6
bildet einen Vektor v aus den ersten vier Elementen von x.
Z
[
w =
3
6
7
-8
bildet einen Vektor w aus jedem zweiten Element von x.
. einfach ausprobieren
.
x = 0:0.5:2*piist ein Vektor mit erstem Element 0 und letztem Element 2π (und
Schrittweite 0.5). Bei x = (0:0.5:2)*piwird jedes Element von (0:0.5:2) mit π
multipliziert.
.
a) [
N
>@3RO\QRPNRHIIL]LHQWHQ
SRO\YDON[
ans =
Columns 1 through 6
1.2000
1.2100
1.2000
Column 7
• 0.2400
b) [
1.1100
0.8800
0.4500
SL
VLQ[
SRO\YDO>@[
ans =
0
0.1736
ans =
0
0.3420
0.1736
einfach ausprobieren
%
.
$
%
UDQG%
0.5000
0.3420
0.6428
0.5000
0.7660
0.6428
>@ $&
$>@ 0.7661
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
47
einfach ausprobieren
$
.
>@E
>@
GHW$
ans =
147
(Damit ist sichergestellt, daß es eine eindeutige Lösung gibt.)
Die Lösung erhalten wir dann z.B. mit
[
$?E
/|VXQJHQ]X.DSLWHO*UDSKLN
[
>@=ZHL3XQNWHJHQJHQ
0$7/$%
YHUELQGHWVLHDXWRPDWLVFK
JULGHU]HXJW*LWWHUOLQLHQ
\
[
SORW[\JULG
W
\
H[SW
SORWW\
W
SL
[
VLQW
\
FRVW
SORW[\
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
48
W
\
H[SW
SORWW\
[ODEHO
W
\ODEHO
\
WLWOH
$EE
WH[W
H[SW
W
[
SL
VLQW\
FRVW
SORW[\
[ODEHOµVLQW¶\ODEHOµFRVW¶
WLWOHµ3DUDPHWHUGDUVWHOOXQJ¶
WH[W¶[W
WH[W¶\W
VLQW¶
FRVW¶
[
\
OLQVSDFHEHLJHUDGHU$Q]DKOYRQ
[A]
DEV['DWHQSXQNWHQZLUGGLH6SLW]HYRQ
SORW[\[]JULGDEV[DEJHVFKQLWWHQ
[
Z
[A]
VTUW[
SORW[Z[][[
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
W
SL
U
FRVW
SRODUWU
[
\
[A[
SORW[\
Wenn MATLAB den y-Bereich automatisch wählt, sieht man hier nicht deutlich, ob die Funktion
monoton wachsend ist – wir müssen den y-Bereich kleiner wählen:
D[LV>@
ISORW
VLQ[
>SL@
49
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
50
I
[[
ISORWI>@
Hier scheint die Funktion linar und stetig zu sein (sie sieht aus wie die Funktion y(x)=x). Wir wissen
aber, daß die Funktion tatsächlich bei x=0 nicht definiert ist, da sie dort unendlich groß wird. Dies kann
von MATLAB aber erst erfasst werden, wenn wir die Anzahl der gezeichneten Kurvenpunkte erhöhen:
ISORWI>@H
J
Y
SKL
YLQPVXPJHZDQGHOW
SLSKLPXVVLQV%RJHQPD‰XPJHZDQGHOWZHUGHQ
WZXUI
YVLQSKLJ'DXHUGHV:XUIHVELV\
W
WZXUI
[
YWFRVSKL\
SORW[\
YWVLQSKLJWA
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
[
\
VTUW[
ORJORJ[\JULG
.
[
\
>[[\\@
]
[
PHVKJULG[\
[[\\
VXUI[\]
[
\
>[[\\@
]
[
PHVKJULG[\
[[[[\\\\
VXUI[\]
[
\
>UHLP@
EHWUDJ
[
PHVKJULG[\
VTUWUHUHLPLP
VXUI[\EHWUDJ
51
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
52
/|VXQJHQ]X.DSLWHOP)LOHV
/LVVDMRXV)LJXU
: liss.m
% liss.m zeichnet den Graphen einer beliebigen Lissajous-Figur
% Amplituden A, B, Frequenz w werden aus dem Workspace übernommen
t = (0:0.01:1)*pi; x = A*sin(w1*t); y = B*cos(w2*t); plot(x,y)
title('Lissajous-Figur');
Eingabe im Commandfenster:
$
%
Z
Z
OLVV
/LVVDMRXV)LJXUHQLQWHUDNWLY
: liss_int.m
% liss_int.m zeichnet beliebige Lissajous-Figuren
% Eingabe: Amplituden A, B, Frequenzen w1, w2
clc
disp('Lissajous-Figuren');
disp(' ');
A = input('Amplitude der horizontalen Schwingung: A = ');
B = input('Amplitude der vertikalen Schwingung: B = ');
w1 = input('Frequenz der horizontalen Schwingung: w1 = ');
w2 = input('Frequenz der vertikalen Schwingung: w2 = ');
t = (0:0.01:1)*pi;
x = A*sin(w1*t);
y = B*cos(w2*t);
q = w1/w2;
plot(x,y)
title(['Lissajous-Figur mit Frequenzverhältnis q = ', num2str(q)]); Eingabe im Commandfenster:
OLVVBLQW
Lissajous-Figuren
Amplitude der horizontalen Schwingung: A = Amplitude der vertikalen Schwingung: B = Frequenz der horizontalen Schwingung: w1 = Frequenz der vertikalen Schwingung: w2 = MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
53
: func.m
'DUVWHOOXQJYRQ)XQNWLRQVJUDSKHQ
% func.m zeichnet einen beliebigen Funktionsgraphen
% interaktiv einzugeben sind: untere und obere Grenze des
% Definitionsbereiches: xmin, xmax
% Funktion y, Titel der Graphik ti
clc;
disp(’Geben Sie die untere und obere Grenze des Definitionsbereichs
ein:’);
xmin = input(’xmin = ’);
xmax = input(’xmax = ’);
x = (xmin:0.01:xmax);
disp(’Geben Sie nun die Funktion ein:’);
y = input(’y = ’);
ti = input(’Geben Sie den Titel der Graphik ein: ’,’s’);
plot(x,y);
title(ti)
Beim Aufruf im Commandfenster passiert folgendes:
IXQF
Geben Sie die untere und obere Grenze des Definitionsbereichs ein:
xmin = xmax = Geben Sie nun die Funktion ein:
y = VLQ[H[S[
Geben Sie den Titel der Graphik ein: VLQ[H[S[
: hyp(a,b)
+\SRWHQXVHHLQHVUHFKWZLQNHOLJHQ'UHLHFNV
function c = hyp(a,b)
% hyp(a,b) berechnet die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks
% nach dem Pythagoreischen Lehrsatz
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
c = sqrt(a.^2 + b.^2);
Man kann nun im Commandfenster als Argument Zahlen oder auch Vektoren eingeben:
K\S
ans =
5
K\S>@>@
ans =
5.0000
2.2361
: winkel(u,v)
:LQNHO]ZLVFKHQ]ZHL9HNWRUHQ
function phi=winkel(u,v)
% Berechnent den Winkel zwischen zwei Vektoren im Gradmaß
phi_rad= acos(u*v’/(norm(u)*norm(v))); phi = phi_rad*180/pi;
Im Commandfenster:
ZLQNHO>@>@
ans =
90
: pol(a,b)
8PUHFKQXQJLQ3RODUNRRUGLQDWHQ
function y = pol(a,b)
% gibt die Polarkoordinaten (r,phi) von z = a + bj aus
% r = abs(z), phi = arg(z) im Gradmaß
r = abs(a + b*j);
phi_rad = angle(a + b*j);
phi = phi_rad*180/pi;
y = [r,phi];
Im Commandfenster:
SRO
ans =
2.8284
45.0000
/|VXQJHQ]X.DSLWHO6\PEROLF0DWK7RROER[
a)
V\PV[IDFWRU[A[A[
ans =
(x-3)*(x^2+1)
b)
IDFWRU[A[A[A
ans =
x^2*(x+3)*(x-1)
c)
H[SDQG[[A[
ans =
x^3-1
d)
V\PVDVLPSOLI\DADADA
ans =
4/a
e)
J
FRV[FRV[AVLQ[AVLPSOLI\J
ans =
54
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
1
f)
K
[A[[[
SUHWW\K>]Q@
QXPGHQK
2
x + 3
x
------- + 3 ----2 x - 1
x - 1
z =
x^3+5*x^2-3
n =
(2*x-1)*(x-1)
g). V\PV[Z VLQ[FRV[
V
VLPSOHZ
V
VLPSOHV
VXEVV
s =
1/cos(x)*sin(x)
s =
tan(x)
ans =
1.5574
a)
VROYH
[A[
ans =
[ -3]
[ 1]
Auch folgende Eingabe ist möglich:
VROYH
[A[
ans =
[ -3]
[ 1]
b)
VROYH
A[
ans =
log(5/4)/log(4)
GRXEOHDQV
ans =
0.1610
Auch mit beispielsweise 1. statt 1:
VROYH
A[
ans =
.16096404744368117393515971474470
c)VROYH
ORJ[
ans =
2*exp(1/3)
d)
VROYH
[
ans =
8.
e)
H
[\]
H
[\]
H
[\]
55
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
>;<=@
56
VROYHHHH
X =
1
Y =
-4
Z =
-6
f)
+
VROYH
KAKAKSLW
K
H =
[
1/pi*((pi+3*t)*pi^2)^(1/3)-1]
[ -1/2/pi*((pi+3*t)*pi^2)^(1/3)-1+1/2*i*3^(1/2)/pi*((pi+3*t)*pi^2)^(1/3)]
[ -1/2/pi*((pi+3*t)*pi^2)^(1/3)-1-1/2*i*3^(1/2)/pi*((pi+3*t)*pi^2)^(1/3)]
VXEV+
ans =
0.7941
-1.8970 + 1.5537i
-1.8970 - 1.5537i
DQV
ans =
0.7941
ist die gewünschte reelle Lösung.
h)
VROYH
[A\A
\
ans =
[ 3/2*(-x^2+4)^(1/2)]
[ -3/2*(-x^2+4)^(1/2)]
ISORW
>[AA[AA@
>@
a)
DEO
GLII
ORJ[
SUHWW\DEO
3
------3 x + 1
b)
V\PV[DEO
GLIIORJ[SUHWW\DEO
3
- ------3 x + 1
c)
]
GLIIFRV[FRV[SUHWW\]
sin(x)
(1 + cos(x)) sin(x)
- ---------- - ------------------1 - cos(x)
2
(1 - cos(x))
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
6
57
VLPSOH]
S =
-2*sin(x)/(-1+cos(x))^2
SUHWW\6
sin(x)
-2 -------------2
(-1 + cos(x))
V\PVWDEO
d)
GLIIVLQWASUHWW\DEO
4 sin(2 t - 1) cos(2 t - 1)
6
VLPSOHDEO
S =
2*sin(4*t-2)
V\PVWIBVWULFK
e)
GLIIH[SW
f_strich =
-exp(-1/2*t)
VXEVIBVWULFK
ans =
-1
Die Steigung im Punkt 0 ist –1.
W
f)
\
H[SWSORWW\JULG
GLII
FRV[VLQ[
ans =
-4*cos(x)*sin(x)
6
VLPSOHDQV
S =
-2*sin(2*x)
g)
GLII[W
W
ans =
-2/(x+2*t)^2
h) ) IVWULFK GLII
[A[A
$EOHLWXQJ
fstrich =
-2000/x^3+4000/(20-x)^3
VROYHIVWULFKZ
GRXEOHDQV
w =
8.8499
5.5751 +16.4390i
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
58
5.5751 -16.4390i
IVWULFK
GLIIIVWULFK$EOHLWXQJ
f2strich =
6000/x^4+12000/(20-x)^4
[
ZVXEVIVWULFK$EOHLWXQJXQJOHLFK"
ans =
1.7545
Da f ' ' positiv, liegt ein Minimum vor.
a)
I
VTUW[[LQWI
ans =
x^(1/2)+1/2*log(x)
GLIIDQVSUHWW\DQV
1
1/2 ---- + 1/2 1/x
1/2
x
b)
LQW
VLQ[VLQ[
ans =
2*sin(x)
c)
LQW
[VTUW[A
ans =
1/3
d)
LQW
VTUW[
ans =
2
LQW
[A
ans =
inf
e)
LQW
VTUW[
LQI
ans =
inf
LQW
[A
LQI
ans =
1
f)
LQW
VTUW[
ans =
16/3
GRXEOHDQV
ans =
5.3333
g)
LQW
[A
ans =
-1/2*atanh(x)-1/2*atan(x)
GLIIDQV
ans =
-1/2/(1-x^2)-1/2/(1+x^2)
VLPSOLI\DQV
ans =
1/(-1+x^2)/(1+x^2)
MATLAB - Eine Einführung, S.Teschl
>]Q@
59
QXPGHQDQV
z =
1
n =
(-1+x^2)*(1+x^2)
H[SDQGQ
ans =
x^4-1
a)
OLPLW[H[S[[LQI
ans =
0
b)
OLPLWA[[
ULJKW
ans =
1
OLPLWA[[
OHIW
ans =
0
c)
V\PVKOLPLW[KA[AKK
ans =
3*x^2
Es handelt sich hier um die Ableitung der Funktion f(x) = x3.
V\PVXWD\ORUH[SXAX
ans =
1-1/2*u^2+1/8*u^4
a)
GVROYH
[\A'\
\
[
ans =
2/(x^2+1)
b)
GVROYH
'\'\\
VLQ[
[
ans= simple(ans)
ans =
sin(4*x)-4*cos(4*x)+C1*exp(-2*x)*sin(4*x)+C2*exp(-2*x)*cos(4*x)
c)
I
GVROYH
'\'\\
I
VLPSOHI
VLQWVLQW
'\
\
f =
-8*cos(t)+15*sin(t)-4*cos(2*t)+3*sin(2*t)+12*exp(-4*t)+27*exp(-4*t)*t