Sachlogik Geometrie Kl. 7-8

Nr. 8.06.2015
Sachlogik Geometrie Kl. 7-8
S.v. Scheitelwinkel
β
α
S.v. Nebenwinkel
α
S.v. Stufenwinkel a)
β
β
α + β = 180°
h
h
g
α
α=β
S.v. Wechselwinkel a)
β
g||h → α = β
g
α
g||h → α = β
Satz mit Beweis: Winkelsumme im Dreieck
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Nr. 8.06.2015
Sachlogik Geometrie Kl. 7-8
S.v. Mittelsenkrechten a)
P
s
MS
d
P auf MS → s = d
S.v. Mittelsenkrechten b)
P
s
d
MS
s = d → P auf MS
Satz mit Beweis: In jedem Dreieck
a) gibt es einen Punkt U, der von den Ecken
denselben Abstand hat (Umkreis)
b) schneiden sich alle MS in einem Punkt U.
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Nr. 8.06.2015
Begründungsbasis für Kl. 7-8
S.v. Winkelhalbierenden a)
s
S.v. Winkelhalbierenden b)
s
P
d
P auf WH → s = d
WH
P
WH
d
s = d → P auf WH
Satz mit Beweis: In jedem Dreieck
a) gibt es einen Punkt I, der von den Seiten
denselben Abstand hat (Inkreis)
b) schneiden sich alle WH in einem Punkt I.
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Nr. 8.06.2015
Gleichschenkliges Dreieck
Definition: Ein Dreieck heißt
gleichschenklig, wenn es
mindestens zwei gleichlange
Seiten hat.
a
b
Basis
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Nr. 8.06.2015
Satz (Axiom) vom
gleichschenkligen Dreieck
S.v. gleichsch. Dreieck a)
S.v. gleichsch. Dreieck b)
s
d
s
d
α
β
α
β
α=β →s=d
s=d →α=β
Beispiel: Sehnenviereck (Viereck mit Umkreis)
δ
Satz: α+γ = β+ δ
γ
α
Zusatz: α+γ = β+ δ = 180°
β
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Nr. 8.06.2015
Sehnenviereck
Satz: α+γ = β+ δ
Beweis:
Argumentiere mit gleichschenkligen Dreiecken.
α+γ = u + v + w + z
β+ δ = v + z + u + w
uδ
w
w
γ
z
α
u
xU
v
v
z
β
Da α+γ + β+ δ = 360°,
folgt α+γ = β+ δ = 180°.
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Nr. 8.06.2015
Der Satz des Thales (600 v.Ch.)
C
γ
Satz: Wenn C auf einem
α* β*
Halbkreis über AB liegt, dann
ist γ = 90°.
Beweis:
α
X
A
1. Dreieck AMC ist
M
gleichschenklig.
2. α = α* (S.v.Gl.Drei. a)
3. Entsprechend β = β*
4. 2α + 2β = 180° (Winkelsumme im Dreieck)
5. α + β = 90°
β
B
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Nr. 8.06.2015
Der Satz des Thales
C*
Kehrsatz: Wenn in einem Dreieck
γ = 90°ist, dann liegt C auf einem
Halbkreis über AB.
Beweis mit Kontraposition:
Wenn C nicht auf dem Halbkreis
liegt, dann ist γ ≠ 90°.
Beweis:
1. Markiere C* auf Halbkreis.
2. Winkel bei C* ist 90°(S.d.Thales)
3. γ < 90° (Winkelsummen in BCC*)
γ
C
90°
A
X
M
B
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Der Satz vom Umfangswinkel
C
Satz: Umfangswinkel über
demselben Kreisbogen sind gleich.
In der Abb. γ = γ*
(Zeige: 2γ = ε; ε Mittelpunktswinkel)
C*
γ
γ*
xM
ε
A
Sehne
δ
Beachte: Umfangswinkel wie δ zu af
der anderen Seiten der Kreissehne
sind i.a. nicht gleich γ.
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Nr. 8.06.2015
Tangenten konstruieren
1. Gegeben ist ein Kreis K und ein Punkt P
außerhalb von K.
Konstruiere die Tangenten an K durch P.
?
x
M
xP
?
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Nr. 8.06.2015
Tangenten konstruieren
2. Gegeben sind zwei disjunkte Kreise.
Konstruiere die gemeinsamen Tangenten.
?
x
M
x
m
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Nr. 8.06.2015
Tangenten konstruieren
2. Gegeben sind zwei disjunkte Kreise.
Konstruiere die gemeinsamen Tangenten.
x
M
x
m
?
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Nr. 8.06.2015
Übersicht: Beweismittel
S.v.gleich.Dreieck
S.v.gleich.Dreieck
S.v.d. Mittelsenkrechten
Kongruenzsätze
a=b
Stufenwinkelsatz
α=β
Kongruenzsätze
Welche Rolle spielen die Kongruenzsätze?
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Nr. 8.06.2015
Übersicht: Beweismittel
Kongruenzsätze: Wenn zwei Dreiecke in
1. allen drei Seiten (sss)
2. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
3. . . .
4. . . .
übereinstimmen,
dann sind sie kongruent, d.h. entsprechende Strecken sind
gleich lang und entsprechende Winkel sind gleich weit.
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Beweisen mit Kongruenzsätzen
Gegeben: ABC gleichseitig.
Zeige: A´B´C`ist gleichseitig.
Beweis: Die Dreiecke
AA´C´ bzw. A´BB´ bzw. B´C C´
sind kongruent nach sws.
Also stimmen sie auch in der
dritten Seite überein.
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Nr. 8.06.2015
Beispiel: Mittelsenkrechte
MS
Zeige: Liegt P auf der Mittelsenkrechten von AB, dann ist s = d.
Beweis: Die Dreiecke
AMP und MBP
sind kongruent nach sws.
Also ist stimmen sie auch in der dritten
Seite s bzw. d überein.
xP
s
d
A
x
M
B
Didaktische Frage: Soll man in der Schule den Satz v.d.
Mittelsenkrechten mit den Kongruenzsätzen beweisen?
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Nr. 8.06.2015
Extra-Ideen-Aufgabe
Konstruiere ein Dreieck ABC mit α = 70° und β = 40°,
dessen Seitenlängen zusammen 12 cm betragen.
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