Versuch 1: Interferometrie, Kohärenz und Fourierspektroskopie

Versuch 1: Interferometrie, Kohärenz und
Fourierspektroskopie
Norbert Lindlein
Institut für Optik, Information und Photonik
(Max-Planck-Forschungsgruppe)
Universität Erlangen-Nürnberg
Staudtstr. 7/B2, D-91058 Erlangen
E-mail: [email protected]
F-Praktikum Versuch 1: Fourierspektroskopie
N. Lindlein
1
Gliederung
• Beschreibung einer Welle und Intensitätsberechnung
• Interferenz zweier kohärenter Wellen
• Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
• Grundlagen der Fourierspektroskopie
F-Praktikum Versuch 1: Fourierspektroskopie
N. Lindlein
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Beschreibung einer Welle und Intensitätsberechnung
Einfacher Fall: Betrachte eine Komponente u der elektrischen oder
magnetischen Feldstärke einer ebenen Welle mit Ausbreitungsrichtung entlang dem Einheitsvektor e:
t=t +Dt
0
t=t0
⎧ i ⎛⎜⎝ k ⋅ r − ω t ⎞⎟⎠ ⎫
u ( x, y, z , t ) = u (r , t ) = u 0 cos(k ⋅ r − ω t ) = Re⎨u 0 e
⎬
⎭
⎩
mit νλ = c ⇒ ν =
und k = nk 0 e =
c
λ
2π n
λ
e
⇒ ω = 2πν =
bzw. v =
c
n
2π c
λ
vDt
e
= k0c
r
O
t
e. r=v 0
λ: Wellenlänge (im Vakuum), ν: Lichtfrequenz, ω: Kreisfrequenz,
c: Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum), n: Brechzahl des Mediums,
v: Phasengeschwindigkeit
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Beschreibung einer Welle und Intensitätsberechnung
Anmerkung: Die physikalische Messgröße an sich ist reell ! Für die
Rechnungen mit Wellen wird aber die komplexe Schreibweise
vorgezogen !
Î Lineare Operationen wie z.B. Addition, Subtraktion, Integration
der sogenannten komplexen Amplitude sind ohne Probleme erlaubt,
da danach einfach der Realteil genommen werden kann.
Aber Vorsicht bei nichtlinearen Operationen wie Betragsbildung !
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Beschreibung einer Welle und Intensitätsberechnung
Verallgemeinerte monochromatische Welle (d.h. eine definierte
Wellenlänge bzw. „Farbe“):
⎧
i ⎛⎜⎝ Φ(r ) − ω t ⎞⎟⎠ ⎫
u ( x, y, z, t ) = u (r , t ) = A(r ) cos(Φ(r ) − ω t ) = Re⎨ A(r )e
⎬=
⎩
⎭
iΦ ⎛⎜⎝ r ⎞⎟⎠
− iω t ⎫
⎧
; Φ = k0 L; L = ∫ n(r )ds
= Re⎨uˆ (r )e
⎬ mit uˆ (r ) = A(r )e
⎩
⎭
C
Dabei muss gelten: ∇Φ = k0 ∇L = nk0 =
2π n
λ
A: Amplitude (langsam veränderlich mit dem Ort), Φ: Phase,
L: optische Weglänge, û: stationäre komplexe Amplitude
Φ, L sind reelle Funktionen. A ist hier auch reell, kann aber im
vektoriellen Fall (wenn Polarisation wichtig ist) auch komplex sein.
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Beschreibung einer Welle und Intensitätsberechnung
Berechnung der Intensität einer Welle:
Wellenlänge von sichtbarem Licht ist ca. 0.5 µm (blau-grün)
Î Frequenz ν=c/λ=(3.108 m/s)/(0.5.10-6 m)=600 THz
Î Selbst extrem schnelle Detektoren mit Integrationszeiten von
weniger als 1 µs (normal ist z.B. 20 ms für Videofrequenz) mitteln
die Intensität über Millionen von Schwingungen des Lichts
Î Zeitmittelwert I der Intensität wird bei Licht detektiert !
Die zeitabhängige Intensität wird hier als das Quadrat des
Realteils von u definiert (streng genommen fehlt hier noch ein
Proportionalitätsfaktor, den wir uns aber in u integriert denken).
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Beschreibung einer Welle und Intensitätsberechnung
Zeitmittelwert I der Intensität:
⎡1 T ⎛
⎤
⎡1 T
)
−iω t ⎞ 2 ⎤
2
I (r ) = lim ⎢ ∫ (Re{u (r , t )}) dt ⎥ = lim ⎢ ∫ ⎜ Re u (r )e
⎟ dt ⎥ =
T →∞ T
T →∞ T
⎠ ⎦
⎣ 0⎝
⎦
⎣ 0
{
}
⎡1 T
⎤
)
)
2
= lim ⎢ ∫ (Re{u (r )}cos(ω t ) + Im{u (r )}sin (ω t )) dt ⎥ =
T →∞ T
⎣ 0
⎦
⎡ 1 T ⎛ (Re{u) (r )})2 cos 2 (ω t ) + (Im{u) (r )})2 sin 2 (ω t ) + ⎞ ⎤
⎟dt ⎥ =
= lim ⎢ ∫ ⎜⎜
)
)
⎟
T →∞ T
⎢⎣ 0 ⎝ + 2 Re{u (r )}Im{u (r )}sin (ω t ) cos(ω t )
⎠ ⎥⎦
1 ) 2
1
)
)
2
2
= (Re{u (r )}) + (Im{u (r )}) = u (r )
2
2
Der Zeitmittelwert der Intensität ist also proportional zum Betragsquadrat der stationären komplexen Amplitude !
[
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Interferenz zweier kohärenter Wellen
Wir betrachten zwei kohärente, monochromatische (d.h. gleiche
Wellenlänge λ) Wellen mit den stationären komplexen Amplituden
û1 und û2:
iΦ1 (r )
)
u1 (r ) = A1 (r )e
iΦ 2 (r )
)
u 2 (r ) = A2 (r )e
Bei der Interferenz von kohärentem Licht werden die komplexen
Amplituden addiert. Die messbare Intensität (Zeitmittelwert der
Intensität) ist proportional zum Betragsquadrat der Summe der
komplexen Amplituden !
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Interferenz zweier kohärenter Wellen
1 )
1
2
−iΦ1
−iΦ 2 ⎞
iΦ
iΦ
)
+ A2 e
u1 (r ) + u2 (r ) = ⎛⎜ A1e 1 + A2 e 2 ⎞⎟⎛⎜ A1e
⎟=
⎠⎝
⎠
2⎝
2
1 2 1 2
= A1 + A2 + A1 A2 cos(Φ1 − Φ 2 ) = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos(Φ1 − Φ 2 ) =
2
2
⎤
⎡ 2 I1 I 2
cos(Φ1 − Φ 2 )⎥ ⇒ I (r ) = I 0 (r )[1 + V (r ) cos(ΔΦ(r ))]
= (I1 + I 2 )⎢1 +
I1 + I 2
⎥⎦
⎢⎣
I (r ) =
mit
I 0 = I1 + I 2
ΔΦ = Φ1 − Φ 2
und
2 I1 I 2
V=
I1 + I 2
(Summe der Intensitäten der beiden Einzelwellen)
(Phasendifferenz zwischen beiden Wellen)
(Visibility oder Kontrast der Interferenzerscheinung)
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Interferenz zweier kohärenter Wellen
Kontrast V kann aufgrund seiner Definition nur zwischen 0 und 1
liegen:
I 1 = 0 oder I 2 = 0 ⇒ V = 0
I1 = I 2
⇒ V =1
V gibt auch tatsächlich den Kontrast der Interferenzstreifen an:
I max − I min I 0 (1 + V ) − I 0 (1 − V ) 2 I 0V
=
=
=V
I max + I min I 0 (1 + V ) + I 0 (1 − V ) 2 I 0
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Interferenz zweier kohärenter Wellen
Bei der Interferenz zweier kohärenter Wellen ist die resultierende
Intensität also nicht einfach gleich der Summe der Intensitäten
(entspräche inkohärenter Addition zweier Wellen), sondern es gibt
noch den Interferenzterm I0Vcos(ΔΦ).
Dieser kann zwischen –I0V (destruktive Interferenz) und +I0V
(konstruktive Interferenz) liegen, so dass die resultierende Intensität
kleiner oder größer als im inkohärenten Fall sein kann.
Bei maximalem Kontrast V=1 kann die gesamte Intensität also
zwischen Null („Licht + Licht = Dunkelheit“) und 2I0 (doppelte
Helligkeit als im inkohärenten Fall) liegen !
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Interferenz zweier kohärenter Wellen
Interferenz zweier ebener Wellen (Zwischenwinkel 0.145o, λ=633 nm):
1 mm
1 mm
1 mm
1 mm
I1=I2 Î V=1
I1=0.5I2 Î V=0.94
I1=0.1I2 Î V=0.57
I1=0.01I2 Î V=0.20
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Interferenz zweier kohärenter Wellen
Der Kontrast ist also auch bei stark unterschiedlichen Intensitäten
der Einzelwellen noch relativ groß (z.B. I1=0.01I2 Î V=0.2).
Î Ein schwaches Signal kann mit Hilfe einer starken Referenzwelle
detektiert werden.
Î Andererseits heißt dies aber auch, dass eine schwache Störwelle
(z.B. Streulicht an Kratzern) eine kontrastreiche Störung im
Interferogramm liefern kann !
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Bisher hatten wir kohärentes Licht (typisches Beispiel: Laserlicht)
betrachtet bzw. inkohärentes Licht („Alltagslicht“ wie von Sonne oder
Glühlampe) erwähnt.
Überlagerung (Interferenz) kohärenter Wellen Î komplexe
Amplituden werden addiert und danach die Intensität mittels des
Betragsquadrates berechnet.
Überlagerung inkohärenter Wellen Î die Intensitäten der Einzelwellen werden addiert. Es gibt keine Interferenzerscheinungen !
In der Realität gibt es weder vollständig kohärentes, noch vollständig
inkohärentes Licht, sondern nur partiell kohärentes Licht !
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Es gibt zwei „Arten“ von Kohärenz:
Licht ist zeitlich kohärent, wenn es möglichst monochromatisch ist.
Licht ist räumlich kohärent, wenn es aus einer einzelnen räumlichen
Wellenfront besteht (z.B. von einem Punkt kommt oder eine ebene
Welle ist).
Ein idealer Laser (z.B. ein frequenzstabilisierter HeNe-Laser) erfüllt
beide Bedingungen mit guter Näherung.
Andere Laser, wie z.B. Excimer-Laser im UV, erfüllen beide
Bedingungen nur näherungsweise, sind also nur partiell kohärent.
Im Prinzip kann man auch Licht einer Glühlampe vollständig kohärent
machen, indem man eine Lochblende davor stellt und einen Farbfilter.
Allerdings kommt dann leider fast kein Licht mehr heraus.
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Zeitliche Kohärenz:
Besteht Licht aus mehreren Wellen unterschiedlicher Wellenlänge, so
ist es zeitlich partiell kohärent. Mit guter Näherung kann man hierbei
annehmen, dass Licht unterschiedlicher Wellenlänge nicht
miteinander interferiert, so dass bei der Interferenz zweier zeitlich
partiell kohärenter Wellen die Intensitäten der Interferenzen der
einzelnen Frequenzkomponenten aufsummiert (bzw. integriert)
werden müssen !
∞
∞
0
0
I polychromatisch (r ) = ∫ I (r ,ν )dν = ∫ I 0 (r ,ν )[1 + V (r ,ν ) cos(ΔΦ (r ,ν ))]dν
mit I 0 (r ,ν ) = I1 (r ,ν ) + I 2 (r ,ν ),
und ΔΦ(r ,ν ) = Φ1 (r ,ν ) − Φ 2 (r ,ν )
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2 I1 (r ,ν )I 2 (r ,ν )
V (r ,ν ) =
I1 (r ,ν ) + I 2 (r ,ν )
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Schema eines Michelson
Interferometers zur Bestimmung
der zeitlichen Kohärenz: Ein
Spiegel kann um den
Gangunterschied Null herum
entlang der z-Achse verschoben
werden.
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Intensität als Funktion der
Verschiebung Δz des
Spiegels (Gangunterschied
Null bei Δz =0)
I(λ)=const. für
Zwei Wellenlängen:
450 nm und 500 nm λ∈[480 nm, 520 nm],
sonst I(λ)=0
Î Schwebung
I(λ)=const. für
I(λ)=const. für
λ∈[450 nm, 550 nm], λ∈[400 nm, 600 nm],
sonst I(λ)=0
sonst I(λ)=0
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Kohärenzlänge:
Wir betrachten räumlich kohärentes und zeitlich partiell kohärentes
Licht (z.B. Licht einer Glühlampe, vor der eine Loch- oder
Spaltblende steht). Teilt man dieses durch einen Strahlteiler auf und
bringt es nachher wieder zur Interferenz, so beobachtet man nur
dann Interferenzen, wenn die optischen Weglängendifferenzen
kleiner als die sogenannte Kohärenzlänge sind.
Für ein Gauß-förmiges Spektrum gilt für das Produkt aus
Frequenzunschärfe Δν und Länge des resultierenden Wellenzugs
Δt: Δt ⋅ Δν = 1
λ20
c
c
=
wegen ν =
Die Kohärenzlänge Δl ist dann: Δl = cΔt =
Δν Δλ
λ
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Räumliche Kohärenz:
Kommt monochromatisches Licht von mehreren zueinander
inkohärenten Lichtquellenpunkten, so müssen die Intensitäten der
Interferenzmuster der verschiedenen Lichtquellenpunkte aufintegriert
werden.
Dies bewirkt eine Verschlechterung des Kontrastes, so dass die
Interferenz-Gleichung effektiv als
I (r ) = I 0 (r )[1 + V (r )γ cos(ΔΦ(r ))]
geschrieben werden kann. Hierbei ist γ der Betrag des komplexen
Kohärenzgrades, der zwischen Null (vollständig inkohärent) und eins
(vollständig kohärent) liegt.
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Extended
incoherent
light source
with radius r f=100 mm
10 mm
10 mm
Achtung: Hier wird keine
Abbildung der Spiegel auf
den Detektor vorgenommen !
10 mm
Demonstration anhand eines Michelson-Interferometers:
Ausgedehnte inkohärente Lichtquelle (λ=633 nm, Radius r) wird
durch Linse kollimiert, so dass ein ganzes Spektrum von zueinander
inkohärenten Planwellen ins Michelson-Interferometer eintritt, bei
dem einer der Spiegel um einen kleinen Winkel gekippt ist, um
Interferenzstreifen auf dem Detektor zu erzeugen.Detector
10 mm
Mirror 2
(reference arm)
beam
splitter
ϕ=0.1ο
Mirror 1
(object arm)
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Kontrast verschlechtert sich mit
wachsender Lichtquellengröße !
r=0.1 mm
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r=0.2 mm
r=0.5 mm
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
20 mm
Mit Hilfe eines Teleskops werden nun die
Spiegel auf den Detektor abgebildet !
Detector
10 mm
40 mm
f=20 mm
10 mm
10 mm
Extended
incoherent
light source
with radius r f=100 mm
f=20 mm
10 mm
Mirror 2
(reference arm)
beam
splitter
ϕ=0.1
ο
Mirror 1
(object arm)
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Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht
Kontrast bleibt unabhängig von
der Lichtquellengröße konstant !
r=0.1 mm
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r=0.2 mm
r=0.5 mm
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Grundlagen der Fourier-Spektroskopie
Im Michelson-Interferometer gilt für den Gangunterschied ΔΦ in
Abhängigkeit von der relativen axialen Verschiebung Δz zwischen
den beiden Spiegeln:
2π
(2Δz ) = 4π Δz
ΔΦ =
λ
λ
Bei 1:1 Aufteilung am Strahlteiler ist der Kontrast V=1 und eine
quasi-punktförmige Lichtquelle, die bei der Frequenz ν=c/λ
emittiert, erzeugt ein Interferenzmuster der Intensität:
⎛
⎛ 4π
⎞⎞
I (ν , Δz ) = I 0 (ν )⎜⎜1 + cos⎜ ν Δz ⎟ ⎟⎟
⎝ c
⎠⎠
⎝
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Grundlagen der Fourier-Spektroskopie
Bei einem Frequenzspektrum I0(ν) ist die resultierende Intensität
also:
∞
∞
⎛
⎛ 4π
⎞⎞
I ges (Δz ) = ∫ I (ν , Δz )dν = ∫ I 0 (ν )⎜⎜1 + cos⎜ ν Δz ⎟ ⎟⎟dν =
⎝ c
⎠⎠
⎝
0
0
∞
∞
⎛ 4π
⎞
= ∫ I 0 (ν )dν + ∫ I 0 (ν ) cos⎜ ν Δz ⎟dν
⎝ c
⎠
0
0
Die gemessene Gesamtintensität Iges als Funktion der Spiegelverschiebung Δz ist also im Wesentlichen gleich der FourierTransformierten des Frequenzspektrums I0. Durch FourierTransformation von Iges kann also das Spektrum bestimmt werden.
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Grundlagen der Fourier-Spektroskopie
Iges(Δz)
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Í Fourier-Trafo Î
I0(ν)
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Grundlagen der Fourier-Spektroskopie
Praktische Realisierung im Versuch: Spiegel wird nicht axial
gescannt, sondern verkippt. Î Ein eindimensionaler horizontaler
Scann durch das Interferogramm zeigt direkt Iges(Δz).
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