Blatt 5 - Universität zu Köln

Universität zu Köln
Institut für theoretische Physik
Mathematische Methoden (SS 2015)
Vorlesung: Johannes Berg
Übungen: Nina Müller
Blatt 5: Grenzwerte, Ableitungen, partielle Ableitungen & Integrale
Abgabe: 18. Mai
Besprechung: 21. Mai
17. Grenzwerte (6 Punkte)
a) (1 Punkte) Betrachten Sie die Funktion g(x) =
1
2x .
Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion.
Was passiert für sehr große x, was für sehr kleine x? Geben Sie die Grenzwerte lim g(x) und
x!1
lim g(x) an.
x! 1
b) (2 Punkte) Betrachten Sie die Funktion f (x) = 1
x!
4x. Was ist der Grenzwert von f (x) für
3
2?
Zur Berechnung von Grenzwerten von Funktionen haben Sie in der Vorlesung das folgende
Kriterium kennengelernt:
Wenn es für jedes ✏ > 0 ein
|f (x)
> 0 gibt, so dass für alle |x
x0 | <
für die Funktionswerte
f (x0 )| < ✏ gilt, dann ist lim f (x) = f (x0 ) der Grenzwert von f (x) an der Stelle
x!x0
x0 .
Beweisen Sie den Grenzwert lim f (x) = 7. Beginnen Sie dazu mit der Bedingung für ✏ und
x!
finden Sie ein passendes
3
2
= (✏), das die Bedingung für die x-Werte erfüllt.
c) (3 Punkte) Überlegen Sie sich, was die folgenden Grenzwerte sind:
✓ ◆
1
7x4 + 2x 1
x2 4
lim x sin
lim
lim
x!1 3x4 + x3
x!0
x! 2 x + 2
x
17
18. Ableitungsregeln (8 Punkte)
Wie Sie in der Vorlesung gelernt haben, wird die Ableitung einer Funktion am Punkt x über
den Grenzwert des Differentialquotienten definiert:
f 0 (x) = lim
x!0
f (x + x)
x
f (x)
(1)
Aus der Schule sollten Ihnen bereits die Regeln zur Ableitung von Funktionen bekannt sein; um
ihr Gedächtnis aufzufrischen wollen wir sie hier nocheinmal ausrechnen. Sie können alle aus dem
Grenzwert des Differentialquotienten hergeleitet werden.
Zeigen Sie mit der Definition (1) die folgenden Regeln, wobei f (x), g(x) zwei differenzierbare
Funktionen sind, a, b 2 R zwei beliebige (aber konstante) reelle Zahlen, n 2 N eine natürliche
Zahl und (g f )(x) = g(f (x)) die Verkettung von zwei Funktionen. Bereits gezeigte Beziehungen
dürfen verwendet werden!
(i) Ableitung einer Konstanten: (a)0 = 0
(ii) Faktorregel: (a · f )0 = a · f 0
1
(iii) Exponentenregel: (xn )0 = n · xn
1
(Hinweis: Binomischer Lehrsatz!)
(iv) Summenregel: (f + g)0 = f 0 + g 0
(v) Produktregel: (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0
(vi) Kettenregel: (g f )0 = (g 0 f ) · f 0
⇣ ⌘0
0
0
(vii) Quotientenregel: fg = f ·gg2f ·g
(viii) Ableitung der Umkehrfunktion: f (
1) 0
=
1
(f 0 f
1 )x
19. Ableitungen (5 Punkte)
a) (2 Punkte) Betrachten Sie eine Funktion h(x) = ax . Zeigen Sie mit Hilfe des Differentialquotienten, dass für ihre Ableitung h0 (x) = c · ax = c · h(x) gilt. Dabei ist c eine Konstante, die sich
aus einem Grenzwert ergibt. Es gibt genau eine Wahl ã für die Zahl a, für die c = 1 gilt. Dieses
ã ist die Eulersche Zahl e. Was ist also die Ableitung der Exponentialfunktion exp(x) = ex ?
Nehmen Sie sich einen Taschenrechner zur Hand und versuchen Sie, e abzuschätzen.
b) (3 Punkte) Berechnen Sie nun die folgenden Ableitungen und geben Sie bei jedem Schritt
explizit an, welche Regel Sie benutzt haben. (Hinweise: ln(x) ist die Umkehrfunktion von
exp(x), es gilt also ln(exp(x)) = x.)
1+x
1 x
ax2 + bx + c
ln(x)
x · ln (1 + xa)
exp (xx )
20. Partielle Ableitungen (5 Punkte)
Bisher haben wir nur Funktionen einer Veränderlichen betrachtet; genauso kann eine Funktion
natürlich von zwei oder mehr Variablen abhängen. Betrachtet man nun eine kleine Änderung in
einer der Variablen und möchte wissen, wie dies den Funktionswert beeinflusst, benötigt man
das Konzept der partiellen Ableitung, welches Sie in der Vorlesung kennengelernt haben.
Betrachten Sie die folgenden Funktionen:
f (x1 , x2 ) = sin(x1 ) + x22
g(y1 , y2 , y3 ) = y1 · exp(2 · y3 )
a) (3 Punkte) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen
@
@y2 g(y1 , y2 , y3 )
und
x21 · ln(y2 ).
@
@
@
@x1 f (x1 , x2 ), @x2 f (x1 , x2 ), @y1 g(y1 , y2 , y3 ),
@
@y3 g(y1 , y2 , y3 ).
b) (2 Punkte) Nun betrachten wir die zweifache Ableitung von f nach unterschiedlichen Variablen. Berechnen Sie
@2
@x1 @x2 f (x1 , x2 ).
Spielt die Reihenfolge, in der man die Ableitungen
ausführt, eine Rolle? Erklären Sie!
21. Einfache Integration (6 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Zb
a
1
(x + 3 ) dx
x
n
Z4⇡
0
sin
⇣x⌘
2
dx
Z
cos(3x) dx
Z 10
2
2
df (x)
dx
dx
Za
b
exp(x) dx
Zd
c
y · z dx