Übung 4: Zahlensysteme ∑

Übung 4: Zahlensysteme in „Digitaltechnik“ WS 2008/09 Aufgabe 1 (a)
Wie lässt sich allgemein eine n­stellige natürliche Zahl in einem beliebigen Zahlensystem darstellen? Geben Sie jeweils für das duale, dezimale bzw. hexadezimale Zahlensystem die Basis und den Zeichenvorrat an! n −1
( Z ) B = ∑ Ci Bi = Cn−1B n−1 + Cn−2 B n−2 + ... + C1B1 + C0 B 0 ;
C = Faktor
i =0
(174 )10 = 1*10
2
B = Basis
+ 7 *10 + 4 *10 1
Zahlensystem Dezimal Dual Hexadezimal Oktal 0
Basis 10
2 16 8 Zeichenvorrat 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 0,1,2,3,4,5,6,7 (b)
Notieren Sie die folgenden Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen: ( 375 )10 → ( N )2 , ( N )16
(375)10 Æ 375 : 2 = 187 187 : 2 = 93 93 : 2 = 46 46 : 2 = 23 23 : 2 = 11 11 : 2 = 5 5 : 2 = 2 2 : 2 = 1 1 : 2 =0 (N)2 Rest 1
Rest 1 Rest 1 Rest 0 Rest 1 Rest 1 Rest 1 Rest 0 Rest 1 (1001011)2 → ( N )10
Dezimal Æ Dual (Binär) (375)10 Æ 163 = 4096 > 375 162 = 256 <375 375 – 1 * 162 = 119 161 = 16 < 119 119 – 7 * 161 = 7 160 = 1 < 7 7 – 7 * 160 = 0 (375)10 Æ (1
(N)16 0
1 7 7 (177)16
Dezimal Æ Hexadezimal 0 1 1 1 0 1 1 1)2
⎛8 7 6 5 4 3 2 1 0⎞
28 + 0*
27 + 1*
26 + 1*
25 + 1*
24
⎜ 1 0 1 1 1 0 1 1 1⎟ = 1*
N
N
N
N
N
⎝
⎠
256
64
32
16
0
3
2
1
0
+ 0*
+
+
+
2
1*
2
1*
2
1*
2
N N N N
0
4
2
1
= 256 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 375
Oder!!! (375)10 Æ 375 : 16 = 23 23 : 16 = 1 1 : 16 = 0 (375)10 Æ (N)16 Rest 7
Rest 7 Rest 1 (177)16
(375)10 Æ 375 : 8 = 46 46 : 8 = 5 5 : 8 = 0 (375)10 Æ (N)8 Rest 7
Rest 6 Rest 5 (567)8
(1001011)2 Æ (1
(N)10 Dezimal Æ Hexadezimal Dezimal Æ Oktal Dual Æ Dezimal 0 0 1 0 1 1)2
⎛6 5 4 3 2 1 0⎞
26 + 0*
25 + 0*
24 + 1*
23 + 0*
22 + 1*
21 + 1*
20
⎜1 0 0 1 0 1 1⎟ = 1*
N
N
N
N
N
N
N
⎝
⎠
64
8
2
1
0
0
0
= 64 + 8 + 2 + 1 = 75
(1001011)2 Æ(75)10
(1001011)2 Æ (1
(N)16 Dual Æ Hexadezimal 0 0 1 0 1 1)2
⎛
⎜0 1 0 0
⎜
⎝
4
⎞
1 0 1 1⎟ = ( 4 B )16
⎟
⎠
B
(1001011)2 Æ(4B)16
(1001011)2 Æ (1
(N)8 Dual Æ Oktal 0 0 1 0 1 1)2
⎛
⎞
0 1 0N
0 1 0N
1 1⎟ = (113)8
⎜⎜ 0N
⎟
1
3
⎝ 1
⎠
(1001011)2 Æ(113)8
(17B)16 Æ 1=
7=
B=
(N)2 0 0 01
01 11
1 011
Hexadezimal Æ Dual ⇒ (17 B )16 → ( 0001 0111 1011)2
(10011010)2 Æ (N)8 (1
0 0 1 1 0 1 0 )2
⎛
⎜1 0 0 1
⎜
9
⎝
⎞
1 0 1 0 ⎟ = ( N16 ) = ( 9 A )16
⎟
A
⎠
Dual Æ Hexadezimal (c)
Welcher Wertebereich positiver, ganzer Dualzahlen kann mit einem Datenwort der Länge 4 Bit dargestellt werden? Welchen Wertebereich erhält man, wenn ganze Dualzahlen dargestellt werden sollen? Verallgemeinern Sie auf N Bit lange Datenworte! positive ganze Dualzahlen (4 – Bit) Dual Dezimal größter Wert 1111 15 Kleinster Wert 0000 0 ⎡⎣ 0,1,..., 2 N − 1⎤⎦ N – Bit [0,1,...,14,15] a) Format mit Betrag & Vorzeichen MSB(Most Significant Bit = höchstwertige Bit) 0 +;
1 − Dual Dezimal größter Wert 0111 7 [ −7, −6,..., +6, +7 ]
Kleinster Wert 1111 ‐7 b) MSB(Most Significant Bit = höchstwertige Bit) 0 +;
1 − positive Zahlen: Betrag negative Zahlen: Zweierkomplement (ZK) Dual Dezimal Dual Dezimal 0| 111 +7 1| 111
‐1 0| 110 +6 1| 110
‐2 0| 101 +5 1| 101
‐3 0| 100 +4 1| 100
‐4 0| 011 +3 1| 011
‐5 0| 010 +2 1| 010
‐6 0| 001 +1 1| 001
‐7 0| 000 0 1| 000
‐8 (
)
(
)⎦
Wertebereich: N – Bit= ⎡ − 2 N −1 ,..., + 2 N −1 − 1 ⎤ ⎣
Eigenschaften des Komplementären Zahlenraums ZK + Z = B N
EK + Z = B N − 1 Bildung Einerkomplement (EK) Alle Stellen der Zahl werden invertiert 0 1 0 1 → 1 0 1 0 ( EK ) Bildung des Zweierkomplements (ZK) EK + LSB
ZK von 0 1 0 1 N = Bitlänge; B = Basis;
Z = Zahl ( LSB = Least Significant Bit ) 01 01
1 01 0
+
0 0 01
( EK )
( LSB )
−−−−−−−−−−−−−−−−
1 011
oder :
( ZK )
01 01
↓
→
1 01 1
1. Fange bei der rechten Stelle (niedrigstwertiges Bit) an. 2. a. Wenn diese Stelle eine 0 ist, schreibe eine 0 und gehe zu Punkt 3; b. Wenn diese Stelle eine 1 ist, schreibe eine 1 und gehe zu Punkt 4. 3. Gehe ein Zeichen nach links und wiederhole Punkt 2. 4. Invertiere alle restlichen Stellen bis zum höchstwertigen Bit. Aufgabe 2 Führen Sie die folgenden Rechenoperationen durch: a) (1100 0101)2 + (0110 0110)2 Format: positive 8bit­Dualzahlen 11 0 0 01 01
+
1 0 1 1 0 10 1 1 0
_______________________
0
0
1| 0 0 1 0 1 0 1 1
b) (1101)2 ⋅ (1011)2 Format: positive 4bit­Dualzahlen ⋅
1________________________
1 01
1 011
1 1 0 1
0 0 0 0
1 1 0 1
1 1 01
0 0 0
_________________________
1
1
1
1 0 0 0 1 1 11
c) 1) (00000111)2 − (00000100)2 0 0 0 0 0111
|7
0 0 0 0 01 0 0
0 0 0 0 0 1 0 ←0
0 0 0 0 0 1 ←0 0
|4
0 0 0 0 0 1 0 0
Alles invertieren!!! 0 0 0 0 011 1
⇒1 1 1 1 1 1 0 0
|7
+
1 1 11 11 0 0
| −4 ____________________________
1 |0 0 0 0 0 0 1 1
|3
Falsche Überlagerung | −4 2) (00000011)2 − (00000111)2 0 0 0 0 0 011
|3
0 0 0 0 0111
|7
0 0 0 0 0111
| −7 Alles invertieren!!! ⇒1 1 1 1 1 0 0 1
0 0 0 0 0 01 1
|3
+
1 1 11 10 0 1
| −7
___________________________
| −4
1 1 11 1 1 0 0
3) (01111111)2 − (11111111)2 01111111
|127
11111111
| 255
11111111
⇒0 0 0 0 0 0 0 1
Alles invertieren!!! 0 1 11 1 1 1 1
|127
0 0 0 0 0 0 0 1
| − ( −1)
+
0 0 0 0 0 0 0
______________________________
1 1 1 1 1 1 1
| − 128
1 0 00 0 0 0 0
|1