Matrizengruppen über R, C und H

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Lehrstuhl VII:Dierentialgeometrie
Seminar zur Vorlesung Geometrie für Lehramt
Sommersemester 2011:
Prof. Lorenz Schwachhöfer
Matrizengruppe über
R, C
und
Vortrag 1 am 13.04.2011:
gehalten von Nora Fuÿ
H
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
Matrizengruppen über
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
4
R
und
C
Die allgemeine lineare Gruppe mit Untergruppen . . . . . . .
Denition: allgemeine lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . .
Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweis der Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Beispiele stetig dierenzierbarer GL(n, K) . . . . . .
Denition: Kurven und Ableitungen im Raum aller Matrizen
Denition: lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denition und Lemma: Wichtige Untergruppen von GL(n, K)
Denition: lokale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denition: lokal isomorph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
. 5
. 6
. 6
. 6
. 7
. 7
. 8
. 9
. 9
. 11
. 11
. 12
3
Komplexe Zahlen als reelle Matrizen
12
4
Die Quaternionen
13
5
H
4.1 Denition: Die Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.1 Darstellung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.2 Darstellung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Literatur
16
Einige Vorbereitungen
Denition: Gruppen
Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ∗ auf G, so dass folgende
drei Axiome gelten:
(G1) Die Verknüpfung ist assoziativ:
Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
(G2) Es gibt ein neutrales Element e ∈ G.
Für das gilt a ∗ e = e ∗ a = a für alle a ∈ G.
(G3) Zu jedem Gruppenelement a ∈ G gibt es ein inverses a−1 ∈ G mit a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Eine Gruppe (G, ∗) heiÿt abelsch oder kommutativ, wenn für alle Gruppenelemente a und b
gilt a ∗ b = b ∗ a. (Vgl. Skript Lineare Algebra I von Rudolf Scharlau.)
Denition: Untergruppe
Es sei (G, ∗) eine Gruppe und H ⊆ G eine Teilmenge von G. Dann heiÿt (H, ∗) Untergruppe
von (G, ∗), falls die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(UG1) Für alle x, y ∈ H gilt x ∗ y ∈ H ,
(UG2) e ∈ H ,
(UG3) Für alle x ∈ H gilt x−1 ∈ H.
Denition: Isomorphismus
Ein Gruppenisomorphismus (G, ·) auf eine Gruppe (H, ∗) ist eine Abbildung f : G → H mit
folgenden beiden Eigenschaften:
1. f ist bijektiv,
2. f ist verknüpfungstreu, d.h. für alle x, y ∈ G gilt f (x · y) = f (x) ∗ f (y).
Eine verknüpfungtreue Abbildung wird auch als Homomorphismus bezeichnet.
Eine Gruppe (G, ·) heiÿt isomorph zu einer Gruppe (H, ∗), falls ein Isomorphismus von (G, ·)
auf (H, ∗) existiert.
Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Strukturen, dann heiÿen die beiden Strukturen
zueinander isomorph. Die Aussage G und H sind isomorph wird üblicherweise als G ∼
= H
geschrieben.
3
Denition: Körper
Ein Körper ist eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen ” +” und ” ·” , für die folgendes
gilt:
(K1) (K, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element ” 0”
(K2) (K0, ·) ist eine Gruppe (es gibt inverses für alle Elemente die von 0 verschieden sind)
(K3) Distributivgesetze: a · (x + y) = a · x + a · y rechts distributiv,
(a + b) · x = a · x + b · x, ∀a, b, x, y ∈ K links distributiv.
1 Einleitung
Das Seminar ” Geometrie für Lehramt” befasst sich mit dem Buch ” Matrizen und Lie-Gruppen”
von W. Kühnel. Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von James Joseph Sylvester
(*03.09.1840 London; †15.03.1897 London) eingeführt. Matrizen sind uns hauptsächlich aus
der linearen Algebra bekannt, werden aber in allen Gebieten der Mathematik benutzt. Mit
Hilfe von Matrizen kann man lineare Abbildungen darstellen und lineare Gleichungssysteme
beschreiben. Die Lie-Gruppen sind benannt nach Marius Sophus Lie (*01.12.1847 Nordfjordeid;
†18.02.1899 Oslo) der ein norwegischer Mathematiker war. Eine Lie-Gruppe ist eine mathematische Struktur, die zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet wird.
In meinem Seminarvortrag wird es eine Einführung in die Theorie von Transformationsgruppen
und Lie-Gruppen geben. In diesem Vortrag werden Matrizengruppen über R und C vorgestellt,
wobei diese Matrizen alle quadratisch sind, also die Form n × n haben. In Kapitel 3 geht es
darum, dass man komplexe Zahlen auch als reelle Matrizen schreiben kann. Zum Abschluss
werden die Quaternionen kurz vorgestellt, auf die im darauolgenden Seminarvortrag 2 (gehalten von Tabea Ledoux) noch näher eingegangen wird.
2 Matrizengruppen über R und C
Jede quadratische (n, n)- Matrix hat die Form A = (aij )i,j mit aij ∈ R oder C mit i, j =
1, . . . , n (i = Zeileneintrag, j = Spalteintrag) diese können mit einem reellen bzw. komplexen
Spaltenvektor x = (xi )i durch die Matrixmultiplikation multipliziert werden. Dann entsteht
die bekannte Formel

a11
···

...
A · x =  ...
an1 · · ·
a1n
 
x1

P
j
a1j xj
 .  
.. 
.
.  ·  ..  = P ..
ann
xn
j


.
anj xj
Diese beschreibt eine lineare und bijektive Transformation x 7→ A · x des Rn bzw. Cn . Wenn
wir verschiedene solche Transformationen betrachten, dann liefert die Matrizenmultiplikation
4
(A, B) 7→ A · B die Regel
A · (B · x) = (A · B) · x
Matrizenmultiplikationsgruppe:(A, B) 7→ (A · B)
Assoziativität:
A · (B · C) = (A · B) · C
Neutrales Element:

1
0


E =  ...

0
0
0
1
0
0
Inverse:
A·E =E·A=A

··· 0 0
· · · 0 0

.. 
...
= 1 Einheitsmatrix
.


··· 1 0
··· 0 1
A · A−1 = A−1 · A = E
Eine Gruppe von solchen Matrizen heiÿt eine Transformationsgruppe des Rn bzw. Cn , nach den
Ausführungen von Sophus Lie und weil jede einzelne Transformation linear ist, spricht man in
diesem Fall von einer linearen T ransf ormationsgruppe oder einfach von einer linearen Gruppe.
Die gewöhnliche Dierentialrechnung für Matrizen in solchen linearen Gruppen oenbart bereits gewisse Grundzüge der Theorie der Lie- Gruppen.
In diesem Vortrag geht es um Dierentialgleichungen von einer linearen Transformationsgruppe. Gruppen von nichtlinearen Transformationen werden in einem späteren Seminarvortrag
besprochen. (/2/ Kapitel 4)
2.1 Die allgemeine lineare Gruppe mit Untergruppen
Eine quadratische (n, n)- Matrix A mit reellen oder komplexen Einträgen heiÿt invertierbar,
wenn es eine inverse Matrix dazu gibt, geschrieben als A−1 , die das Gruppenaxiom (G3) erfüllt,
A · A−1 = E = A−1 · A
wobei E wieder die Einheitsmatrix bezeichnet. Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist
wieder invertierbar, es gilt
(A · B)−1 = B −1 · A−1 ,
=E
z }| {
denn A · B · B −1 · A−1 = A · (B · B −1 ) ·A−1 = A · A−1 = E Die Matrizenmultiplikation ist im
allgemeinen nicht kommutativ, da A · B · A−1 · B −1 nicht vertauschen kann.
Weil die Multiplikation von Matrizen, wie oben gezeigt wurde, assoziativ ist, bildet die Menge
aller invertierbarer (n, n)- Matrizen eine Gruppe. Die Menge aller (n, n)- Matrizen über R oder
C wird auch mit Mn×n (R) bzw. Mn×n (C) bezeichnet.
5
2.2 Denition: allgemeine lineare Gruppe
Die reelle allgemeine lineare Gruppe GL(n, R) ist deniert als die Menge der reellen (n, n)Matrizen, die invertierbar sind.
Analog ist die komplexe allgemeine lineare Gruppe GL(n, C) deniert als die Menge der komplexen (n, n)- Matrizen, die invertierbar sind.
Wir schreiben auch GL(n, K) für die allgemeine lineare Gruppe über K, wobei K entweder für
R oder für C steht.
Die Gruppenstruktur ist durch das Matrizenprodukt (A, B) 7→ A · B gegeben mit der Inversen
A 7→ A−1 und der Einheitsmatrix E als dem neutralen Element.
GL(n, K) ist eine Gruppe, da die Matrizen assoziativ sind, sie das Neutralelement enthält, es
zu jeder Matrix Inverse gibt und es gilt det(A · B )=detA · detB 6= 0.
2.3 Folgerung
Wenn man die Menge aller (n, n)- Matrizen über R als den R- Vektorraum Rn auasst, dann
2
ist GL(n, R) eine oene Teilmenge des Rn .
2
2
2
Analog können wir komplexe (n, n)- Matrizen als Element des Cn ∼
= (R2 )n ∼
= R2n auassen (da wir aus der Linearen Algebra und Analysis wissen: Cm ∼
= R2m ) und entsprechend ist
2
2
GL(n, C) eine oene Teilmenge des Cn ∼
= R2n .
2
Der Raum aller (n, n)- Matrizen trägt die topologische Struktur, die auch dem Rm für beliebiges m zukommt, nämlich die durch die eine Abstandsmetrik denierte, mit der man Konvergenz
und Stetigkeit und dann auch Dierenzierbarkeit erklären kann.
2.4 Beweis der Folgerung
Es genügt zu zeigen, dass es zu jeder invertierbaren Matrix A eine oene Umgebung im Raum
2
2
aller Matrizen (bzw. im umgebenden Rn oder R2n )gibt, die nur aus invertierbaren Matrizen
besteht. Hier gilt wenn M n×n (K) und K gegeben, dann ist eine Funktion f von M n×n (K)
nach K genau dann stetig, falls jedes Urbild einer oenen Teilmenge von K oen in M n×n (K)
ist.
Nun zeigt man, dass die Determinantenfunktion stetig ist, damit folgt, dass GL(n, R) eine
oene Teilmenge ist:
det:M n×n (K) → K
detA = det((aij )i,j ) =
X
σ∈Sn
(sign(σ)
n
Y
i=1
ai,σi ) =
X
sign(σ)a1σ1 . . . anσn ,
σ∈Sn
wobei σ ∈ Sn alle Permutationen von n Elementen durchläuft.
Der auf der rechten Seite stehende Leibnizformel Ausdruck von Gottfried Wilhelm Leibniz
6
(* 21.07.1646 in Leipzig; †14.11.1716 in Hannover) ist stetig und stetig dierenzierbar, da sich
die Determinante nur aus Produkten und Summen zusammen setzt.
Aus Lineare Algebra 1, 2 ist bekannt, dass eine quadratische Matrix A genau dann invertierbar
ist, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Diese Bedingung detA 6= 0 überträgt sich daher
von A auf eine gewisse oene Umgebung.
2.5 Bemerkung
Als Teilmenge von Rn ist GL(n, R) nicht zusammenhängend, da die Determinatenfunktion
positive und negative Werte annimmt, aber nicht den Wert null, da Matrizen aus GL(n, R)
invertierbar sind und es gilt detA 6= 0. Dies würde dem Zwischenwertsatz widersprechen und
somit ist GL(n, R) nicht zusammenhängend.
Siehe Beipiel:
A : [0, 1] → GL(n, K) sei stetig,
detA0 > 0, detA1 < 0 und f (t) = det(At ).
2
Allerdings ist GL(n, C) als Teilmenge von Cn zusammenhängend: Es ist auch C \ P für
jede endliche Teilmenge P ⊂ C zusammenhängend. Das diese als Polynome P aufgeschrieben
werden können folgt aus der Determinatenfunktion. Man kann zu je zwei A, B ∈ GL(n, C)
die komplexe Linearkombination Cz = zA + (1 − z)B mit z ∈ C betrachten. Dabei kann es
durchaus sein, dass det(Cz ) = 0 gilt, also Cz ∈/ GL(n, C). Aber det(Cz ) ist für festes A, B ein
Polynom n- ten Grades in der komplexen Variabeln z , hat also nur endlich viele Nullstellen.
Damit kann man im Komplement dieser Nullstellenmenge die beiden Matrizen A und B durch
einen stetigen Weg Cz(t) mit einer reellen Variablen t miteinander verbinden (man muss nur
um die endliche vielen Nullstellen herumlaufen).
2
2.6 Weitere Beispiele stetig dierenzierbarer GL(n, K)
Die Determinatenfunktionen
det : Mn×n (R) → R und det : Mn×n (C) → C
sind stetig dierenzierbar, weitere Beispiele sind die
Multiplikation als Abbildung von Mn×n (K) × Mn×n (K) → Mn×n (K) wegen der Gleichung:
X
A · B = (aij )i,j · (bjk )j,k = (
aij bjk )i,k
j
Ein letztes Beispiel ist A 7→ A−1 als Abbildung von GL(n, K) → GL(n, K) wegen der Cramerschen Regel
1
A−1 =
((−1)i+j det(Aij ))j,i ,
detA
wobei Aij aus A durch Streichen der i- ten Zeile und der j - ten Spalte entsteht.
7
Beispiel für Cramersche Regel:
Ax = b mit A =
1 2
4 5
3
und b =
6
Nach der Cramerschen Regel folgt dann die Lösung:
3
6
1
x1 =
(−1)det(A1 ) =
det(A)
1
det
4
det
2
5
=
2
5
1
det
4
det
(A
)
2
x2 = (−1)2
=
det(A)
1
det
4
3
6
2
5
3
15 − 12
=
= −1
5−8
−3
=
−6
=2
−3
Beweis: Beispiele stetig dierenzierbarer Funktionen des GL(n, K):
Bei der Matrixmultiplikation gehen nur die Multiplikation mit reellen oder komplexen Zahlen
ein und diese sind stetig und stetig dierenzierbar.
Bei der Abbildung GL(n, K) → GL(n, K); A 7→ A−1 gibt es ebenfalls nur Multiplikationen und
der Nenner detA ist in GL(n, K) 6= 0 und somit ist es wieder stetig und stetig dierenzierbar.
Da auf oenen Teilmengen eines Rm die übliche Dierentialrechnungen genau so erklärt ist
wie im Rm selbst.
2.7 Denition: Kurven und Ableitungen im Raum aller Matrizen
So wie eine dierenzierbare Kurve c : I → Rn der Klasse C k , deniert auf einem Teilintervall
I ⊂ R, durch ihre Ableitungen mit der Taylor- Entwicklung beschrieben werden kann
c(t) = c(0) + tc0 (0) +
t2 00
c (0) + · · · ,
2
so gilt dies auch für Kurven im Raum aller Matrizen, etwa A : I → Mn×n (C). Dies heiÿt
einfach, dass A(t) für jedes t ∈ I eine (n, n)- Matrix ist und dass diese Zuordnung C k - dierenzierbar von dem Parameter t abhängt.
Die Ableitung erfolgt durch die Formel
dA(t) 1
A (t0 ) =
= lim (A(t0 + t) − A(t0 )),
dt t=t0 t→0 t
0
analog hat man die Produktregel
(A · B)0 = A0 · B + A · B 0 ,
8
die Kettenregel
A(f (t))0 = A0 (f (t)) · f 0 (t)
und eine Taylor- Entwicklung
A(t) = A(0) + tA0 (0) +
t2 00
A (0) + · · ·
2
sowie die Taylorsche Formel mit einem Restglied und ebenso die Taylorsche Reihe.
2.8 Denition: lineare Gruppe
Wenn eine spezielle Eigenschaft von invertierbaren Matrizen sich von A und B stets aus das
Produkt AB und die Inverse A−1 überträgt, deniert sie eine Untergruppe von GL(n, C). Dies
gilt besonders für bestimmte algebraische oder geometrische Bedingungen, z.B. die Bedingung
an eine Matrix, orthogonal zu sein. Jede Untergruppe von GL(n, C) heiÿt eine lineare Gruppe,
weil sie als eine Gruppe von linearen Transformationen (jede durch eine Matrix beschrieben)
aufgefasst werden kann.
2.9 Denition und Lemma: Wichtige Untergruppen von GL(n, K)
GL+ (n, R) = {A ∈ GL(n, R)| detA > 0}
(1)
SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R)| detA = 1} spezielle lineare Gruppe
(2)
O(n) = {A ∈ GL(n, R)| AAT = E} orthogonale Gruppe
(3)
SO(n) = {A ∈ O(n)| detA = 1} = O(n) ∩ SL(n, R) = O(n) ∩ GL+ (n, R)
(4)
Drehgruppe, spezielle orthogonale Gruppe



 1 a b

H(3, R) = 0 1 c  | a, b, c ∈ R 3-dimensionale Heisenberg-Gruppe


0 0 1
(5)
SL(n, C) = {A ∈ GL(n, C)| detA = 1} spezielle komplexe lineare Gruppe
(6)
U (n) = {A ∈ GL(n, C)| AA = E} unitäre Gruppe
(7)
SU (n) = {A ∈ U (n)| detA = 1} = U (n) ∩ SL(n, C) spezielle unitäre Gruppe
(8)
T
Es gibt noch die Gruppe der invertierbaren quaternionalen Matrizen GL(n, H), auf die im
Kapitel 4 näher eingegangen wird. Alle genannten Untergruppen (auÿer GL+ (n, R)) sind ab2
2
2
2
2
geschlossene Teilmengen des Rn bzw. Cn = R2n bzw. Hn = R4n , weil sie durch Gleichungen
9
deniert sind. Die orthogonale Gruppe und die unitäre Gruppe sind darüber hinaus kompakt.
Dies liegt daran, dass die Spalten einer orthogonalen bzw. unitären Gruppe paarweise zueinander orthogonale Einheitsvektoren sind. Daher ist ihre Operator- Norm im Raum aller
Matrizen gleich 1. Eine orthogonale bzw. unitäre Matrix liegt somit in der Einheits-Sphäre im
2
2
Rn bzw. im R2n . Die Untergruppe O(n), SO(n), U (n), SU (n) sind also abgeschlossene und
beschränkte Teilmengen davon, also auch kompakt.
Ebenso kann man die allgemeine lineare Gruppe GL(n, F) über jedem Körper F betrachten
(oder Untergruppen davon), also z.B. auch über endlichen Körpern Fpk mit pk Elementen und
der Charakteristik p (das ist notwendigerweise eine Primzahl). Speziell ist GL(1, Fp ) = Fp \{0}
eine (multiplikative) zyklische Gruppe der Ordnung p − 1.
Beweis Denition und Lemma
Um zu zeigen, dass die oben genannte Teilmengen tatsächlich Untergruppen (vgl. Denition
Untergruppe) sind, genügt es, die folgenden Tatsachen zu zeigen:
Zu (1)
(UG1) detA > 0 und detB > 0 für alle A, B ∈ GL+ (n, R), dann gilt det(AB) = detA · detB >
0 ∈ GL+ (n, R)
(UG2) E ∈ GL+ (n, R), da detE = 1 < 0
(UG3) det A−1 > 0 ∈ GL(n, R) für alle A ∈ GL+ (n, R).
Zu (2)
=1
=1
z }| { z }| {
(UG1) detA = 1, detB = 1 für alle A, B ∈ SL(n, R) gilt det(AB) = det(A) · det(B) = 1 ∈
SL(n, R).
(UG2) E ∈ SL(n, R), da detE = 1
=1
detA−1
(UG3)
detA−1 = 1.
=1
z }| {
z }| {
= 1 ∈ SL(n, R) für alle A ∈ SL(n, R), da gilt detA ·detA−1 = detE folgt
Zu (3)
=E
z }| {
(UG1) A, B orthogonal, also AAT = BB T = E dann gilt AB(AB)T = A BB T AT = AEA−1 =
AA−1 = E , also ist auch AB orthogonal und somit ∈ O(n)
(UG2) E ∈ O(n), da EE T = E
(UG3) Es gilt A−1 = AT , also auch A−1 (A−1 )T = AT (AT )T = AT A = E , somit ist A−1
orthogonal ∈ O(n).
10
Zu (4)
(UG1) A, B orthogonal, also AAT = BB T = E dann gilt AB(AB)T = ABB T AT = E , also
ist auch AB orthogonal s.o., es gilt detA = 1, detB = 1 und somit detAB = detA · detB =
1 ∈ O(n)
(UG2) E ∈ O(n), da EE T = E und detE = 1
(UG3) Es gilt A−1 = AT , also auch A−1 (A−1 )T = E , womit ist A−1 orthogonal und detA−1 =
detAT = det(A) = 1 ∈ O(n).
Zu (5)
(UG1) Für Elemente der Heisenberg-Gruppe gilt

 
 

1 a b
1 α β
1 a + α b + β + aγ
0 1 c  · 0 1 γ  = 0
1
c+γ 
0 0 1
0 0 1
0
0
1
somit ∈ H(3, R).
(UG2) E ∈ H(3, R) mit a, b, c = 0
(UG3)

−1 
1 −a ac − b
1 a b
0 1 c  = 0 1
−c  ∈ H(3, R)
0 0
1
0 0 1

Zu (7)
T
T
T
T T
(UG1) A, B unitär, also AA = BB = E und es gilt ABAB = ABB A = E ∈ SO(n)
T
(UG2) E ∈ SO(n), da EE = E
T
T
(UG3) A−1 = A , also gilt auch A−1 A−1 = E ∈ SO(n).
Zu (6), (8) analog.
2.10 Denition: lokale Gruppe
Unter einer lokalen Gruppe von Matrizen versteht man eine zusammenhängende Teilmenge
L ⊂ GL(n, K) mit E ∈ L derart, dass es eine oene Umgebung U von E in GL(n, K) gibt
mit der Eigenschaft: Für je zwei Elemente A, B ∈ L ∩ U liegt das Produkt AB −1 wieder in L.
Jede lokale Gruppe L erzeugt eine kleinste zusammenhängende Untergruppe G ≤ GL(n, K)
mit L ⊂ G.
2.11 Denition: lokal isomorph
Zwei Gruppen G, G0 von Matrizen heiÿen lokal isomorph, wenn die zugehörigen Einsumgebungen U, U 0 so gewählt werden können, dass zwischen beiden eine bijektive Abbildung f : U → U 0
existiert mit f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ) und f (g −1 ) = (f (g))−1 .
11
2.12 Beispiel
Als Beispiel einer lokalen Gruppe kann man einfach den Durchschnitt L = O(n) ∩ V nehmen,
wobei V eine oene Einsumgebung in GL(n, C) oder GL(n, R) ist. Innerhalb von V ndet
man dann eine zusammenhängende oene Einsumgebung U ⊂ V , so dass U die Eigenschaft
hat, die für eine lokale Gruppe verlangt wird. Die von L erzeugte Gruppe ist dann SO(n)
als zusammenhängende Untergruppe. Daher sind O(n) und SO(n) zwar nicht isomorph, aber
lokal isomorph.
Gegenbeispiel
Auch zwei zusammenhängende Untergruppen von GL(n, C) müssen im allgemeinen nicht isomorph sein, wenn sie lokal isomorph sind. Die Gruppe aller (2, 2)- Matrizen
et 0
∈ GL(n, R)
0 1
mit t ∈ R ist lokal (aber nicht global) isomorph zur Gruppe aller (2, 2)- Matrizen
cos t − sin t
sin t cos t
mit t ∈ R. Man muss für einen lokalen Isomorphismus nur f (et ) = eit setzen und dann
eit = cos t + i sin t schreiben. Diese Abbildung ist nur in einer Umgebung vom Einselement
bijektiv. Wenn man t = 0 setzt ergibt sich für beide Matrizen die Einheitsmatrix. Wenn man
t = 2π setzt ergibt sich für die Matrix
cos t − sin t
sin t cos t
Es gilt die Abbildungsvorschrift:
cos(t + s) − sin(t + s)
e(t+s) 0
7→
sin(t + s) cos(t + s)
0
1
und es gilt
cos(t + s) − sin(t + s)
cos t − sin t
cos s − sin s
·
=
sin(t + s) cos(t + s)
sin t cos t
sin s cos s
ergibt sich ebenfalls die Einheitsmatrix, für die andere Matrix allerdings ergibt sich
2π e
0
0 1
somit folgt, dass die Abbildung ein lokaler Isomorphismus, aber kein globaler Isomorphismus
ist.
12
3 Komplexe Zahlen als reelle Matrizen
Eine C- lineare Abbildung kann auch als eine R- lineare Abbildung aufgefasst werden. Wenn
man eine komplexe Zahl z = a + ib als reellen Vektor mit den Komponenten a und b auasst,
dann stellt sich die Frage, wie die Gruppe GL(1, C) = C \ {0} als Untergruppe von GL(2, R)
gedeutet werden kann. Es gilt aber
zw = (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc),
und diese Wirkung wird durch die folgende reelle Matrix realisiert:
a −b
c
ac − bd
·
=
b a
d
ad + bc
Alternativ ist dieses Produkt durch die Matrizenmultiplikation
a −b
c −d
ac − bd −(ad + bc)
·
=
b a
d c
ad + bc
ac − bd
realisiert. Also entspricht die Multiplikation mit einer
komplexen
Zahl z = a + ib gerade
a −b
der Multiplikation mit der reellen Matrix Az =
. Dies deniert einen injektiven
Gruppenhomomorphismus GL(1, C) → GL(2, R).
Zu zeigen Linearität und Additivität von f : C →
Additivität:f (z + w) = f (z) + f (w),
b
R2 ; z
a
a −b
:
7
→
b a
a + c −(b + d)
f (z + w) = f (a + ib + c + id) = f (a + c + i(b + d)) =
,
b+d
a+c
{z
}
|
q
a + c −(b + d)
c −d
a −b
=
+
f (z) + f (w) = f (a + ib) + f (c + id) =
b+d
a+c
d c
b a
Homogenität:
a −b
ca −cb
= cf (z)
f (cz) = f (c(a + ib)) = f (ca + cib) =
=c·
b a
cb ca
Injektivität:
f
a −b
0 0
=
daraus folgt a = b = 0
b a
0 0
Entsprechendes gilt für höhere Dimensionen, wo man eine Einbettung GL(n, C) → GL(2n, R)
it
∼
hat. Dann gilt insbesondere
SO(2)
= U (1), wobei die komplexe Zahl e = cos t + i sin t durch
die Drehmatrix
cos t − sin t
sin t cos t
repräsentiert wird, also eine Drehung um den Winkel t nach
links. Man könnte generell die obige (2, 2)- Matrix durch ihre Transponierte ersetzen, aber
dann entspräche eit einer Drehung um den Winkel t nach rechts.
13
4 Die Quaternionen H
4.1 Denition: Die Quaternionen
4.1.1 Darstellung 1
Die Quaternionen H sind als Menge der 4- dimensionale reelle Vektorraum:
H = {a + bi + cj + dk|a, b, c, d ∈ R},
Dieser wird von der Basis {1, i, j, k} aufgespannt. Ein Quaternion q = a+bi+cj +dk zusammen
mit der Multiplikation (Hamilton Regel)
ij = −ji = k, jk = −kj = i, i2 = j 2 = k 2 = −1
der Basiselemente derart, dass für die Summen a + bi + cj + dk die Assoziativität und die
Distributivität erfüllt sind. Die Quaternionen bilden mit der üblichen Addition und mit dieser
Multiplikation einen Schiefkörper, in dem alle Gesetze gelten wie in einem Körper, auÿer dass
die Multiplikation nicht mehr kommutativ ist. Insbesondere ist die Multiplikation assoziativ,
und es gibt zu jedem Quaternion q = a + bi + cj + dk 6= 0 ein eindeutiges multiplikatives
Inverses q −1 =| q |−2 q wobei q = a − bi − cj − dk und | q |2 = qq = a2 + b2 + c2 + d2 gesetzt
wird.
Beweis:
z.z:
1. Assoziativität: q1 + (q2 + q3 ) = (q1 + q2 ) + q3 und q1 · (q2 · q3 ) = (q1 · q2 ) · q3
2. Kommutativität bzgl. der Addition: q1 + q2 = q2 + q1 ,
3. Es existiert ein neutrales Element bezüglich der Addition bzw. Multiplikation:
q1 + e = q1 mit e = 0 ∀ q1
q1 · e = q1 mit e = 1 ∀ q1
4. Es existiert ein inverses Element bezüglich der Addition: q1 + (−q1 ) = 0 für alle q1
5. Es existiert ein eindeutiges multiplikatives Inverses q −1 = |q|−2 q für alle q 6= 0
6. Distributivität: q1 · (q2 + q3 ) = q1 · q2 + q1 · q3 und (q1 + q2 ) · q3 = q1 · q3 + q2 · q3
Beweis
Der Nachweis für die Axiome 1, 2, 3, 4, 6 geschieht durch einfaches Nachrechnen unter Berücksichtigung der Hamilton-Regeln. Es muss noch Axiom 5 nachgewiesen werden:
Zu 5)
14
Der Nachweis geschieht analog zum Nachweis des Inversen zur komplexen Zahl: z1 = |z|z 2 mit
z = a + bi und z = a − bi. Das komplex konjugierte Quaternion ist folgendermaÿen deniert:
q = a − bi − cj − dk.
Der Realteil bleibt also unverändert. Nur der Imaginärteil wird mit −1 multipliziert.
i2 =j 2 =k2 =−1
=
a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R+
Es gilt: |q| = qq = (a + bi + cj + dk) · (a − bi − cj − dk)
0.
Somit ergibt sich durch äquivalente Umformung für alle q 6= 0 das eindeutig multiplikative
Inverse:
2
z}|{
q −1 =
1
= |q|−2 q
q
Bemerkung
Die Multiplikation ist nicht Kommutativität: q1 · q2 6= q2 · q1
Folgendes Gegenbeispiel zeigt dies: Sei q1 = i und q2 = j . Dann gilt wegen der Hamilton-Regel
ij = −ji:
ij = −ji = ji ⇒ ji = 0 dies ist ein Widerspruch zu k = e4 .
|{z}
=k
Es gilt dann die Rechenregel:
q1 · q2 = q2 · q1
Weiterhin gilt:
| q1 q2 |2 = (q1 q2 ) · (q1 q2 ) = q1 q2 q1 q2 = q1 | q2 |2 q1 =| q2 |2 q1 q1 =| q2 |2 | q1 |2
4.1.2 Darstellung 2
Durch a 7→ a + 0 · i ∈ C mit a ∈ R können die reellen Zahlen R als Teilmenge der komplexen
Zahlen aufgefasst werden. Mit a + b · i ∈ C 7→ a + b · i + 0 · j + 0 · k ∈ H sind die komplexe
Zahlen C Teilmenge der Quaternionen. Somit gilt:
R⊆C⊆H
Man kann schreiben:
H = {z + wj| z, w ∈ C}
Die komplexen Zahlen wurden aus den reellen Zahlen gewonnen: a + bi mit a, b ∈ R und
i2 = −1. Ebenso können die Quaternionen aus den komplexen Zahlen gewonnen werden durch
Hinzunahme eines Elementes j mit j 2 = −1:
q = a + bi + cj + dk = (a + bi) + (c + di) j.
| {z } | {z }
z∈C
15
w∈C
Dabei gilt die Rechenregel:
j (a + bi) = ja + bji = aj − bij = (a − bi) j, also jz = zj . Somit ergeben sich weitere Darstel| {z }
| {z }
=z
=z
lungsformen eines Quaternion in H:
Auf diese Weise kann man es identizieren mit dem reellen Vektor q = (a, b, c, d)T ∈ R4 oder
dem komplexen Vektoren (a + bi, c + di) ∈ C2 Beachte: Die Multiplikation innerhalb des Imaginärteils, der von i, j , k aufgespannt wird, stimmt mit dem Vektorprodukt im R3 überein
(siehe Ausarbeitung Vortrag 2).
5 Literatur
/1/ Brockhaus-Enzyklopädie, 19. Auage 1986 − 1994 , 21 Band SR-TEO, Mannheim: Brockhaus;
/2/ W. Kühnel, Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (Vieweg + teubner
Verlag) 1. Auage 2011 Kapitel 3 Seite 15 − 21
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