Aufbau einer Atomfalle zum Kühlen mit Elektromagnetisch

Aufbau einer Atomfalle zum Kühlen
mit Elektromagnetisch Induzierter
Transparenz
-Diplomarbeitvorgelegt von
Carl Basler
ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG
Fakultät für Mathematik und Physik
Abteilung Prof. Dr. H. Helm
13. Januar 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Magneto-optische Falle
1.1 Dopplerkühlen . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Dopplerlimit . . . . . . . . .
1.2 Subdopplerkühlen . . . . . . . . . .
1.2.1 Rückstoßlimit . . . . . . . . .
1.3 Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Berechnung des Magnetfeldes
1.4 Verlustprozesse in der Falle . . . . .
1.5 Doppel-MOT . . . . . . . . . . . . .
1.6 Einfluss der Gravitation . . . . . . .
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2 Dipolfalle
2.1 Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Klassische Beschreibung der Polarisierbarkeit (Lorentzmodell)
2.1.2 Quantenmechanische Betrachtung der Polarisierbarkeit . . . .
2.2 Fallenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Optik
3.1 Paraxiale Wellengleichung . . . .
3.2 Gaußsche Strahlen . . . . . . . .
3.3 Fokussierung Gaußscher Strahlen
3.3.1 Der M 2 -Faktor . . . . . .
3.4 Linsen . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Fallenparameter
5.1 Fallenfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Fallenpotential für EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Die Wellenlänge des Dipollasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Elektromagnetisch Induzierte Transparenz
4.1 Bekleidete Zustände/AC Stark Shift . . . .
4.2 Dunkelzustände . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Elektromagnetisch Induzierte Transparenz .
4.4 EIT-Kühlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Lamb-Dicke-Parameter . . . . . . . .
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2
INHALTSVERZEICHNIS
5.2.1
5.2.2
5.2.3
Gravitationseinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magische Wellenlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verfügbare Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Konstruktion und Aufbau der Vakuumkammer
6.1 Kammerkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Konstruktion der Magnetfeldspulen . . . . . . . .
6.3 Umbauten an der MOT . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Strömungsarten . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Leitwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Erzeugen des Vakuums . . . . . . . . . .
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7 Dipolfalle: Messungen und Berechnungen
7.1 Die Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Fokusmessung . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 M 2 -Bestimmung . . . . . . . . . . . . .
7.2 Berechnungen zu den Parametern der Dipolfalle
7.2.1 Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Dipolpotential . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Gekreuzte Dipolfalle . . . . . . . . . . .
7.2.4 AC Stark Shift . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5 Gravitationseinfluss . . . . . . . . . . .
7.3 Beobachtungen von EIT . . . . . . . . . . . . .
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8 Zusammenfassung
A Theorie
A.1 Rubidiumschema . . . .
A.2 Polarisierbarkeit . . . .
A.3 Wigner-Eckart-Theorem
A.4 EIT . . . . . . . . . . .
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B Aufbau
B.1 Zeichungen und Bilder des Fallenaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . .
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Einleitung
Der wichtige Einfluss verschiedener Aggregatszustände auf unser tägliches Leben,
mag uns nicht nur bei Wasser auffallen, das uns beim Kochen, oder Skifahren in
verschiedenen Formen begegnet. Die drei klassischen Aggregatszustände spielen bei
vielen allgegenwärtigen Prozessen eine wichtige Rolle. Dass es neben diesen klassischen Aggregatszuständen noch weitere nichtklassische gibt, ist vielleicht nicht jedem
geläufig, weil Suprafluidität oder Bose-Einstein-Kondensat (BEC) meist erst bei sehr
geringen, in der Natur nicht vorkommenden Temperaturen auftreten. Diese Bedingungen zu schaffen bedarf großer Anstrengungen. Den Traum manches Ingenieurs,
die Eigenschaften dieser Phasenzustände zu nutzen, mag dadurch nicht geschmälert
werden, die Faszination vieler Wissenschaftler mag dies nur beflügeln.
Die Erzeugung immer tieferer Temperaturen ist vor diesem Hintergrund nicht mehr
nur eine Suche nach neuen Rekorden, sondern ein Vordringen in eine neue, spannende Welt, die immer wieder Überraschungen und Erkenntnisse mit sich bringt, die
vielleicht irgendwann den Weg in die Alltagswelt schaffen werden. So mag es auch
nicht verwundern, dass 1995 nicht nur das Wisssenschaftsmagazin Science über das
erste BEC berichtete, sondern auch die angesehene Tageszeitung New York Times
diesen Meilenstein der Atomphysik auf ihrer Titelseite platzierte.
Ein BEC lässt sich nur quantenmechanisch erklären, man kann die Atome daher
nicht mehr als klassische Teilchen beschreiben, sondern schreibt ihnen eine Wellenfunktion zu. Entsprechend Wasser-, Schall- und Lichtwellen treten auch bei Atomen
Überlagerungs- und Auslöschungseffekte auf, die sich der Vorstellungskraft eines
klassischen Weltbildes entziehen.
Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt nun, dass ein kaltes und damit langsames Teilchen nicht mehr gut lokalisiert werden kann. Damit kann man zwei nebeneinander liegende Atome nicht mehr voneinander unterscheiden und bei einem BEC
sind so alle Teilchen nicht unterscheidbar. Das BEC zeichnet sich also dadurch aus,
dass alle Teilchen dieses Kondensats durch die gleiche Wellenfunktion beschrieben
werden können. Dies können einige Millionen Teilchen sein.
Eine mögliche Anwendung eines BECs könnte der „Atomlaser“ werden, der von
Wolfgang Ketterle 1997 erstmal realisiert werden konnte. So wie ein klassischer Laser kohärentes Licht emittiert, emittiert der Atomlaser kohärente Atome, die aus einem BEC herausgelassen werden. Dass der klassische Laser in vielen Anwendungen
heute nicht wegzudenken ist, ist vielleicht nur ein Hinweis darauf, wie Fortschritte in der Grundlagenforschung mit der Zeit ihren Stellenwert jenseits der Forschung
erhalten. Ein Atomlaser kann z.B. bei der Produktion von Nano-Chips hilfreich sein.
3
4
INHALTSVERZEICHNIS
Die Quantenmechanik wird in einem BEC also auf makroskopischer Ebene sichtbar gemacht!
Ein BEC kann allerdings nicht mit allen Teilchen erzeugt werden; Fermionen, deren
Wellenfunktionen unter Vertauschung antisymmetrisch sind, unterliegen dem PauliPrinzip, d.h. es können sich nicht mehrere Ferminonen am gleichen Ort befinden. Es
lässt sich also nur mit bosonischen Teilchen erzeugen.
Ein zum Kühlen sehr geeignetes, bosonisches Atom ist Rubidium, das bei dem Experiment dieser Arbeit verwendet wurde. Ein BEC aus Rubidiumatomen entsteht
bei Temperaturen im Bereich von 100 nK und einer Dichte von ca. 1013 cm−3 . Um
dieses zu erreichen werden die Atome zuerst in einer magneto-optischen Falle geladen und auf ca. 100 µK gekühlt. In einem zweiten Prozess werden die Atome dann in
eine Dipolfalle umgeladen und weiter gekühlt. Der entscheidende Prozess zum BEC
besteht dann in dem „Verdampfungskühlen“, bei dem die schnellsten Atome aus der
Falle entlassen werden. Zurück bleibt ein kleiner Rest sehr kalter Atome.
Ziel dieser Arbeit war es, eine Atomfalle für Rubidiumatome aufzubauen, mit der
dieser letzte Prozess des Verdampfungskühlens umgangen werden kann. Ein solcher
Kühlprozess scheint durch Elektromagnetisch Induzierte Transparenz realisierbar zu
sein. Dabei werden die Atome durch zwei sehr genau abgestimmte Laser in ihren
Schwingungsgrundzustand der optischen Falle gepumpt. Für einzelne Ionen wurde
dieses Verfahren schon erfolgreich getestet [1], [2]. Für eine große Zahl neutraler Atome sind die experimentellen Schwierigkeiten allerdings viel größer. Dass es möglich
ist, dieses Verfahren auch auf Rubidiumatome anzuwenden, ist von M. Roghani aus
unserer Arbeitsgruppe gezeigt worden [3]. Die beiden Laser bedürfen einer sehr genauen Abstimmung aufeinander. Ein phasenstabilisierter Laser wurde dazu von A.
Ahlrichs aufgebaut. Damit man das Verfahren auf Rubidiumatome in einer Dipolfalle anwenden kann, muss zudem die Falle eine sehr hohe Fallenfrequenz aufweisen.
Diese wurde im Rahmen dieser Arbeit aufgebaut.
Die Arbeit besteht aus zwei Teilen, der erste beschreibt die theoretischen Überlegungen, die für den Neuaufbau der Atomfalle nötig waren. Der zweite Teil besteht
aus den konkreten Berechnungen, Messungen und Konstruktionen.
Kapitel 1
Magneto-optische Falle
Magneto-optische Fallen (magneto-optical trap, MOT) sind seit nunmehr gut 20 Jahren im Einsatz. Mit den Arbeiten von William D. Phillips an Zeemanabbremsern,
mit denen 1985 die erste magnetische Falle gebaut wurde, und der ersten Optischen
Molasse von Steven Chu 1985, konnte 1987 die erste MOT gebaut werden. Den
theoretischen Hintergund dazu hatten Jean Dalibard und Claude Cohen-Tannoudji
gelegt.
Seitdem ist die MOT immer mehr zum Handwerkszeug in der Atom- und Molekülphysik avanciert. Daher wundert es nicht weiter, dass die drei maßgebenden Erfinder
für ihre Arbeiten 1997 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet wurden.
In einer MOT kann man Atome von Raumtemperatur mit einer Bewegungsgeschwindigkeit von 102 m/s auf wenige cm/s abbremsen. Im Gegensatz zu Paulund Penning-Fallen, in denen man geladene Teilchen einfangen kann, können hier
neutrale Atome gefangen werden. Zudem sind die Speicherzeiten der Atome in einer
MOT sehr lang. Das hat die MOT zu einem oft eingesetzten Objekt in der Spektroskopie gemacht.
Da im Rahmen dieser Arbeit beim Neuaufbaus der Ultrahochvakuum-Kammer (UHVKammer) auch einige Änderungen an dem MOT-System stattgefunden haben, werden im Folgenden sowohl das Prinzip, als auch die Änderungen an der MOT erörtert.
1.1
Dopplerkühlen
Eine magneto-optische Falle beruht auf der Kombination aus geschwindigkeits- und
ortsabhängigen Lichtkräften, die die Atome sowohl abkühlen, als auch örtlich einschließen. Werden die Atome einem nahresonanten Lichtfeld ausgesetzt, so bewirkt
der Impulsübertrag der Photonen eine Kraft an den Atomen, es wirkt ein Strahlungsdruck. Jedes Photon trägt den Impuls ~k. Entsprechend ergibt sich eine Geschwindigkeitsänderung durch den Rückstoß bei der Absorption:
vR =
~k
.
M
(1.1)
5
6
KAPITEL 1. MAGNETO-OPTISCHE FALLE
Dabei sind M die Atommasse und k die Photonwellenzahl. Für die D2-Linie von Rubidium entspricht dies 6 mm/s. Das angeregte Atom zerfällt danach und gibt einen
gleichgroßen Impuls wieder ab. Das Zeitmittel über die zufällig in alle Raumrichtungen abgegebenen Photonen ist Null, es akummuliert sich also nur die gerichtete
Kraft des Lasers.
Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v eines Atoms mit der Temperatur T folgt
mit der Boltzmann-Konstante kB aus
s
v=
2kB T
.
M
(1.2)
Bei Raumtemperatur haben die Atome also eine Geschwindigkeit v > 200 m/s, bei
einer üblichen Temperatur in einer MOT im Bereich von µK immerhin noch wenige
cm/s. Es sind also einige 10.000 Photonen nötig, um entsprechende Temperaturen
zu erreichen.
Ist das Licht nicht genau auf der Resonanz, so verändert sich die Absorptionswahrscheinlichkeit der Photonen in Abhängigkeit von der Differenz zwischen
Resonanz- und Laserfrequenz δ = ωL − ω0 . Die Absorptionswahrscheinlichkeit wird
ausgedrückt über die Streurate Γsc ; die auf ein Atom wirkende Kraft ist das Produkt
aus Photonimpuls und Streurate
Fsc = ~k · Γsc = ~k
Γ
I/I0
,
2 1 + I/I0 + (2δ/Γ)2
(1.3)
wobei I die Intensität des Lasers ist, I0 die Sättigungsintensität1 und Γ die Linienbreite des angeregten Zustandes. Eine Herleitung dessen findet sich in [4].
Um nun Atome damit einzufangen, nutzen wir den Dopplereffekt aus. Ein sich
mit der Geschwindigkeit v auf den Strahl zu bewegendes Teilchen sieht eine verschobene Frequenz
fatom = flaser 1 + ~k~v .
(1.4)
Ist der Laser gegenüber der Resonanz zu kleineren Energien, also rotverschoben, so
kommen Teilchen, die sich auf den Laser zu bewegen, in Resonanz mit diesem Lichtfeld. Bei einer Wellenlänge von z.B. 780 nm beträgt die Verschiebung eines 10 m/s
schnellen Teilchens 13 MHz. Lässt man nun zwei rotverschobene Strahlen gegeneinander laufen, so werden bevorzugt schnelle, den Laserstrahlen entgegenlaufende
Atome abgebremst.
I/I0
Γ
I/I0
Γ
− ~k
2 1 + I/I0 + ((2δ − kv)/Γ)2
2 1 + I/I0 + (2δ + kv)/Γ)2
8~k 2 δs0 v
∼
Γ(1 + I/I0 + (2δΓ)2 )2
Fsc = ~k
1
Die Sättigungsintensität I0 ist definiert über I0 =
c0 Γ2 ~2
.
4|·d|2
(1.5)
1.1. DOPPLERKÜHLEN
7
Teilchen erfahren also eine umso größere, der Bewegung entgegengesetzte Kraft, je
schneller sie sich bewegen. Diesen Effekt, der beim Dopplerkühlen entsteht, bezeichnet man als optische Molasse.
Mit diesem Ansatz würde das Ensemble in kurzer Zeit auf T = 0 K abkühlen; sicher
ein unphysikalisches Ergebnis.
Abbildung 1.1: Verlauf, der auf ein Atom wirkenden Kraft, aufgrund des Dopplereffekts in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit.
1.1.1
Dopplerlimit
Bei jedem Rückstoß ändert das Teilchen seine Energie um die Rückstoßenergie Er =
~2 k 2 /2M = ~ωr . Das heißt, dass die durchschnittliche Frequenz jeder Absorption
ωabs = ωatom + ωr ist. Genauso ist die durchschnittliche Frequenz jeder Emission
ωemit = ωatom −ωr . Damit verliert das Lichtfeld bei jedem Zyklus die Energie ~(ωabs −
ωemit ) = 2~ωr . Dieser Energieverlust tritt mit der Rate 2Γ (zwei Strahlen) auf. Daher
konkurrieren 4~ωr Γ mit der Kühlrate Fsc · v aus Gleichung (1.5). Demnach ergibt
sich eine kleinste Temperatur von
TD =
~Γ
,
2kB
(1.6)
der sog. Dopplertemperatur [5]. Für Rubidium liegt sie etwa bei 140 µK. Einige Zeit
hat man diese scheinbare Grenze als das letzte Wort angesehen und Beobachtungen
tieferer Temperaturen sogar versucht anderweitig als Fehler zu rechtfertigen. 1988
aber erbrachte Phillips den Beleg, dass tiefere Temperaturen auf Grund weiterer
Kühlmechanismen erreichbar sind [6]. Dafür bekam er 1997 der Nobelpreis.
8
KAPITEL 1. MAGNETO-OPTISCHE FALLE
1.2
Subdopplerkühlen
Der wichtige Schritt, um Temperaturen unter dem Dopplerlimit zu erklären, war
die Einbeziehung der atomaren Hyperfeinstruktur und der räumlichen Modulation des elekromagnetischen Feldes. Nichtadiabatische Prozesse sorgen bei bewegten
Atomen in einem Lichtfeld für optisches Pumpen zwischen unterschiedlichen Unterniveaus. Diese Unterniveaus haben räumlich abhängige Energiedifferenzen, die bei
einem Pumpprozess des Atoms als kinetische Energie verloren gehen kann.
Gehen wir wieder von zwei entgegenlaufenden Strahlen aus. Sie seien linear und
senkrecht zueinander polarisiert. Die beiden Strahlen interferieren und erzeugen eine
stehende Welle. Das entstehende Lichtfeld ist die Überlagerung von beiden Einzelwellen:
~ =E0 x̂ cos(ωl t − kz) + E0 ŷ cos(ωl t + kz)
E
=E0 [(x̂ + ŷ) cos(ωl t) cos(kz) + (x̂ − ŷ) sin(ωl t) sin(kz)].
Bei z = 0 vereinfacht sich die Darstellung zu
~ = E0 (x̂ + ŷ) cos(ωl t).
E
(1.7)
Gleiches gilt für z = λ/4 und Vielfache. An diesen Stellen ist also die Polarisation
linear. Dazwischen, bei z = λ/8, hat das Feld folgende Form:
~ = E0 [x̂ sin(ωl t + π/4) + ŷ cos(ωl t + π/4)]
E
(1.8)
Die Polarisation des Feldes wechselt also von linear (horizontal) über zirkular
nach linear (vertikal) und wieder zu zirkular (σ + ).
Lassen wir nun ein Atom mit Grundzustandsdrehimpuls Jg = 1/2 dieses Lichtfeld
(σ − )
Abbildung 1.2: Feld zweier linear und senkrecht aufeinander polarisierter Laserstrahlen, die entgegengesetzte Ausbreitungsrichtung haben. Es bildet sich eine Stehwelle
aus, deren Polarisation sich auf der Größenordung der Wellenlänge verändert.
1.2. SUBDOPPLERKÜHLEN
9
Abbildung 1.3: Das Atom durchläuft ein Feld veränderlicher Polarisation, erzeugt von zwei Lasern. Die gestrichelte Linie beschreibt den m = +1/2Hyperfeingrundzustand, die durchgezogene Linie den m = −1/2-Zustand. Das Atom
ändert in dem Feld seine Lageenergie, wird am Punkt seiner höchsten Energie angeregt und fällt von dort in seinen energetisch niedrigeren Zustand zurück.
durchlaufen. Dabei wird das Atom gezwungen, seine Orientierung dem lokalen Lichtfeld anzupassen. Es erhöht seine potentielle Energie im Feld, bis es in den angeregten
Zustand gehoben wird und dann wieder auf ein niedrigeres Niveau zurückfällt. Das
Atom starte bei einem Punkt z = 0 im Zustand mg = 1/2. Wenn es sich im Feld
bewegt, ist es nach einem Weg von λ/4 an einer Stelle, bei der es mit dem σ − -Licht
in Resonanz kommt. Das σ − -Licht pumpt es nun in den mg = −1/2-Zustand, der
an dieser Stelle eine geringere Energie besitzt (Abb. 1.3). Nach weiteren λ/4 kommt
das Atom mit dem σ + -Licht in Resonanz. Es wird in den hier wiederum energetisch
niedrigeren mg = +1/2-Zustand gepumpt. So verliert es bei jedem Schritt Energie,
bis die Energie nicht mehr ausreicht, um den Potentialwall zu erklimmen. Anschaulich ist auch der Name „Sisyphus-Kühlung“. Natürlich funktioniert der Prozess nur
in einer kleinen Geschwindigkeitsklasse (v < Γ · λ/4).
Die dabei an das Feld abgegebene Energie ist bestimmt durch die Energieverschiebung des Stark-Effekts. In einem einfachen Modell des Stark-Shifts werden die Ener2
gien der Niveaus bei Anwesenheit eines starken Lichtfeldes um ∆Eg = ~Ω
4δ , bzw.
2
2
∆Ee = − ~Ω
4δ verschoben. Betrachtet man allerdings die Energieverschiebung der
magnetischen Unterniveaus, so stellt man auch hier eine Aufspaltung fest, die den
eben diskutierten Effekt nochmals begünstigt. Werden die Energieabstände größer,
so wird bei jedem Pumpprozess auch mehr Energie abgegeben.
∆Eg =
2
~δs0 Cge
1 + (2δ/Γ)2
(1.9)
Dabei sind Cge die Clebsch Gordan Koeffizienten, s0 = 2|Ω|2 /Γ2 der Sättingungsparameter.
2
Ω ist die Rabifrequenz. Siehe Kap. 4.1.
10
KAPITEL 1. MAGNETO-OPTISCHE FALLE
Abbildung 1.4: Effekt des Sisyphuskühlens. Für eine kleine Geschwindigkeitsklasse
erfahren die Atome im Lichtfeld neben dem Dopplerkühlen dadurch einen weiteren
Kühlmechanismus.
1.2.1
Rückstoßlimit
Dass dem Kühlen trotzdem Grenzen gesetzt bleiben, mag nicht verwundern. Immerhin emittiert jedes an einem Kühlprozess beteiligte Atom auch Photonen, deren
Rückstoß, sei er auch statistisch in alle Raumrichtungen verteilt, immer eine geringe
Bewegung der Atome verursacht. Die Rückstoßenergie des Photons vr = ~2 k 2 /M
resultiert in einer Temperatur, die man Rückstoßlimit getauft hat [5].
Tr =
~2 k 2
M kb
(1.10)
Doch auch dieses „Limit“ im Bereich von wenigen µK sollte nicht das letzte Wort
bleiben...
1.3
Magnetfeld
Jetzt haben wir uns eine schöne optische Molasse gebastelt, aber so richtig gefällt es
noch nicht. Um uns eine tolle MOT zu bauen, brauchen wir noch ein Magnetfeld.
Bisher haben wir dissipative Kräft betrachtet, einen räumlichen Einschluss der Atome erreicht man aber erst durch ein externes magnetisches Feld. Der entscheidende
Effekt dabei sind die (entarteten) Hyperfeinniveaus der Atome, die in einem magnetischen Gradientenfeld durch den Zeeman-Effekt aufgespaltet werden.
Betrachten wir ein Atom mit entarteten Hyperfein-Unterzuständen. Jedes Atom
besitzt ein magnetisches Dipolmoment |~
µ| = mF gF µB , mit magnetischer Quantenzahl mF , Lande-Faktor gF und Bohrschem Magneton µB . Legt man ein externes
1.3. MAGNETFELD
11
~
Magnetfeld an, so richtet sich das magnetische Moment µ
~ darin nach Epot = µ
~B
aus. Entsprechend ist die Zeeman-Energie
EZ = mF gF µB · B
für die unterschiedlichen Quantenzahlen unterschiedlich groß. Elektrische Übergänge
sind erlaubt für ∆mF = +1, 0, −1 und die Resonanzfrequenz der Übergänge verändert sich um die Differenz der Verschiebung von Grund- und angeregtem Zustand
δZ = (∆mF )gF µB B/~.
Abbildung 1.5: Prinzip des Gradienten-Kühlens: Atome bewegen sich in einem Magnetfeldgradienten; das Feld ist im Zentrum Null. Bewegt sich das Atom aus dem
Zentrum, so werden seine Hyperfeinniveaus aufgespalten und es erfährt eine rücktreibende Kraft.
Liegt nun ein Gradientenfeld an, so resultiert eine ortsabhängige Aufspaltung
der Unterzustände. Der entscheidende Effekt ist nun in Abb. 1.5 dargestellt.
Die Atome werden von der einen Richtung mit σ + und von der anderen Richtung mit
σ − Licht bestrahlt. Das Licht ist dabei gegen die Resonanzfrequenz rotverstimmt.
Laufen die Atome in einem Magnetfeld aus Antihelmholtzspulen aus dem Fallenzentrum, so kommen sie je nach Richtung mit dem einen, oder anderen Laserstrahl
in Resonanz und erfahren eine Kraft, die ihrer Bewegung entgegengerichtet ist. Sie
werden also automatisch am Ort des Fallenzentrums gehalten.
Man kann dabei Atomdichten von bis zu 1012 Atomen/cm3 erreichen, wobei die Dichten höher sind, wenn der Gradient steiler verläuft [7]. An Grenzen stößt man dabei z.B. durch das sog. Radiation Trapping. Gestreutes Licht wird dann mehrfach
gestreut, bevor es die Atomwolke verlassen kann und heizt das Ensemble auf. Außerdem heizen auch Stöße von Restgas aus der Kammer. Da in unserem Fall die
Rubidiumatome aber aus einer Küvette direkt in die Kammer abdampfen, ist immer ein hoher Restgasdruck vorhanden. Abhilfe schafft da ein Doppel-MOT-System
(siehe Kap. 1.5).
12
KAPITEL 1. MAGNETO-OPTISCHE FALLE
1.3.1
Berechnung des Magnetfeldes
Da ein hoher Magnetfeldgradienten wichtig für eine hohe Dichte in der MOT ist,
insbesondere ein hoher Gradient im Fallenzentrum, wurde das Magnetfeld berechnet, um den Gradienten entsprechend zu optimieren und konstruieren.
Für die Konstruktion der Spulenpaare sind beliebig viele Möglichkeiten und Formen
denkbar. Eine Einschränkung bieten die Laserstrahlen. Die neue Kammer bietet
Fenster für bis zu 13 Strahlen, die meist unter 45◦ stehen und damit jede Raumrichtung abdecken.
Desweiteren muss ein guter Kompromiss zwischen Länge des Drahtes, seiner Dicke
und seiner Wicklungsform gefunden werden. Befände sich der Draht wie in der alten
Kammer im Vakuum, ist die Abstrahlung entstehender Wärme in das Vakuum kaum
möglich und die Temperatur im Wesentlichen durch den ohmschen Widerstand, die
Wärmeleitfähigkeit und die Wärmeabgabe an den Drahtenden außerhalb des Vakuums bestimmt.
Außerhalb des Vakuums gelten die gleichen Optimierungsparameter, nur die Wärmeentwicklung ist geringer.3
Es hat sich eine doppelt konisch gewickelte Spule außerhalb des Vakuums als am
besten erwiesen. Die Berechnung kann also näherungsweise mit der Überlagerung
von einzelnen kreisförmigen Leiterschleifen durchgeführt werden.
Ausgehend von der Maxwellgleichung
~ =0
∇B
~ ergibt [8].
ist klar, dass es ein Potential geben muss, dessen Rotation B
~=B
~
∇×A
Die Lösung der Gleichung erhält man aus den Maxwellgleichungen unter Zuhilfenahme von Greenschen Funktionen.4
µ0
~
A(x)
=
4π
Z
~ 0)
J(x
d3 x
|x − x0 |
(1.11)
Dabei ist µ0 die magnetische Feldkonstante. Betrachten wir die Verteilung der Stromdichte J~ einer geschlossenen Leiterschleife. Da wir es mit einem symmetrischen,
runden Objekt zu tun haben, können wir das Problem von vornherein in Kugelkoordinaten beschreiben. Die Leiterschleife liege in der x-y-Ebene, der Radius sei a, Φ
der Winkel in dieser Ebene. Der Messpunkt hat einen Winkel Θ zur Symmetrieachse
(siehe Abb.1.6).
Entsprechend ist kann man die Stromdichte J~ folgendermaßen darstellen:
J~ = −JΦ sin(Φ0 )~ex + JΦ cos(Φ0 )~ey .
3
4
Einige mögliche Konstruktionen finden sich in Kapitel 6.2.
Die Herleitung kann man leicht nachlesen in de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz-Gleichung.
1.3. MAGNETFELD
13
Abbildung 1.6: Skizze der Leiterschleife in Polarkoordinaten, aus [8].
wobei sich JΦ für diese symmetrische Problem leicht darstellen lässt:
δ(r0 − a)
.
a
Legen wir den betrachteten Punkt so, dass sich das Problem um eine Dimension
erleichtert. Einsetzen in Gleichung (1.11) und ausintegrieren von Φ unter Ausnutzen
der Symmetrie ergibt
JΦ = I · sin Θ0 δ(cos Θ0 )
µ0 I
AΦ (r, Θ) =
4πa
Z
sin Θ0 cos Θ0 δ(cos Θ0 )δ(r0 − a) 02 0
r dr dΩ.
|x − x0 |
Dabei ist |x − x0 | = [r2 + r02 − 2rr0 (cos Θ cos Θ0 + sin Θ sin Θ0 cos Φ0 ]1/2 . Setzen wir
|x − x0 | ein und berechnen die Integration über die δ-Funktion:
AΦ (r, Θ) =
µ0 I
4πa
Z
cos Φ0 dΦ0
.
(a2 + r2 − 2ar · sin Θ cos Φ0 )1/2
Diese Form kann man nun über eine Reihenentwicklung vereinfachen. Für große
Entfernungen von der Leiterschleife (r»a), Orte nahe an dem Mittelpunkt (r«a) und
- was für uns besonders interessant ist - nahe der Achse (Θ«1), ergibt sich folgende
Entwicklung nach Potenzen von a2 r2 sin2 Θ/(a2 + r2 )2 :
AΦ (r, Θ) =
µ0 Ia2 r sin Θ
15a2 r2 sin2 Θ
[1
−
+ ...].
8(a2 + r2 )2
4(a2 + r2 )3/2
Das Magnetfeld hat in Polarkoordinaten (r,Θ,Φ) dann die folgende Form:
1 ∂
(sin ΘAΦ )
sin Θ ∂Θ
1 ∂
BΘ = −
(rAΦ )
r ∂Θ
BΦ = 0
Br =
(1.12)
14
KAPITEL 1. MAGNETO-OPTISCHE FALLE
Eine Antihelmholzspulenanordnung, wie sie im Experiment neu entworfen wurde,
lässt sich dann einfach als die Überlagerung vieler Einzelfelder an den jeweiligen
Positionen berechnen.
Zusammenfassend kann man die Funktionsweise der MOT also folgendermaßen
beschreiben:
Ein Magnetfeld aus einer Anithelmholtz-Anordnung verursacht eine Hyperfeinaufspaltung der Grundzustandsniveaus in Abhängigkeit von ihrer Position. Bestrahlt
man nun die Atome aus sechs Richtungen mit zirkular polarisiertem, rotverstimmten Licht, so kommen Atome, die dem Laser aus dem Zentrum entgegenlaufen, mit
diesem in Resonanz und erfahren einen Rückstoß. Sie sind dadurch gezwungen sich
in Fallenzentrum bei geringer Bewegungsgeschwindigkeit aufzuhalten.
1.4
Verlustprozesse in der Falle
Wie erreicht man nun in einer Falle möglichst tiefe Temperaturen? Betrachten wir
dazu zuerst die negativen Einflüsse von Verlustprozessen:
Die Dichte und Anzahl der Atome, sowohl in einer magneto-optischen Falle, als
auch in einer Dipolfalle (s. Kap. 2), ist durch Lade- und Verlustprozesse bestimmt.
Prinzipiell kann man dabei zwei verschiedene Prozesse unterscheiden. Die beiden
zusammen werden dann in einer Ratengleichung für die Atomzahl zusammengefasst. Ein-Körper-Verluste skalieren linear mit mit der Dichte n(~r, t). Die zugehörige
Verlustkonstante wird γ genannt. Zwei-Körper-Verluste skalieren quadratisch. Ihre
Verlustkonstante wird im folgenden β heißen. Die Laderate wird mit L bezeichnet
[9].
dN (t)
= L − γN (t) − βN 2 (t)
dt
Sehen wir uns die beiden Verlustmechanismen im Einzelnen an:
(1.13)
• Die Ein-Körper-Verluste werden durch verschiedene Prozesse verursacht.
Der wichtigste ist wohl der Einfluss des Restgases in der Vakuumkammer. Da
diese Atome in der Regel auf Raumtemperatur sind, können sie bei einem
Stoß einen großen Impulsübertrag verursachen. Dabei kann sich das Atom aus
dem Einfangbereich der Falle entfernen und geht dem Experiment verloren.
Ein besseres Vakuum verringert diesen Verlustfaktor allerdings entsprechend
(siehe Kap. 1.5).
Fällt ein Atom nach der Anregung durch einen Fallenlaser nicht in den ursprünglichen Grundzustand zurück, sondern in einen anderen Zustand, so geht
das Atom dem Kühlprozess verloren. Ein weiterer (Rückpump-)Laser muss diese Verluste ausgleichen.
Des Weiteren können Verluste durch Photoionisation auftreten. Dieser Effekt
ist für Rubidiumfallen nicht relevant.5 Auch Anregungen in langlebige Zustän5
E = hν = hc/λ, λ = 780nm, E = 1.2eV . Ionisationsenergie von Rb: 4eV
1.5. DOPPEL-MOT
15
de, die in ihrer Lebensdauer die Falle verlassen können, spielen keine Rolle.
Die Differentialgleichung (1.13) ist im Fall dominanter Ein-Körper-Verluste,
dh. β = 0, folgendermaßen lösbar:
N (t) =
L
(1 − e−γt ).
γ
Die Falle füllt sich also mit N ∞ = L/γ Atomen.
• Zwei-Körper-Verluste entstehen durch den Stoß zweier in der MOT befindlicher Atome, wobei mindestens einer dabei soviel Energie gewinnt, dass er das
Fallenpotential verlässt. Bei diesen Stößen ist meist ein angeregtes Atom beteiligt [11]. Geht das Atom während des Stoßprozesses in seinen Grundzustand
über, so geht ein Teil der Anregungsenergie in Bewegungsenergie über. Denn
das Potential des Atoms hängt dann von der Wechselwirkung mit dem anderen Atom ab und des emittierte Photon trägt weniger Energie. Die Lösung von
Gleichung (1.13) ist für γ = 0
N (t) = N ∞ tanh(t Lβ 0 )
p
mit β 0 = β/V und dem mittleren MOT-Volumen V.
Für den Fall, dass beide Verlustarten berücksichtigt werden müssen, ergibt sich als
Lösung für die Differentialgleichung
p
γ 2 + 4Lβ 0
tanh
2β 0
N (t) =
p
γ 2 + 4Lβ 0 t
γ
+ arctan p 2
2
γ + 4Lβ 0
−
γ
2β 0
und daraus die Gleichgewichtsanzahl der Atome für t → ∞:
p
N
∞
=
γ 2 + 4Lβ 0
γ
− 0.
2β 0
2β
Relevant sind insbesondere Wasserstoff und Rubidium als Restgas mit den Wirkungsquerschnitten σH 2 = 2 · 10−18 m2 und σRb = 2, 5 · 10−17 m2 [13]. Für die Geschwindigkeit sind die Teilchen bei Raumtemperatur anzunehmen. Bei einem Druck
von p = 10−11 mbar ergibt sich eine Lebensdauer τ = 1/Γ der Atome von 101 bis 102
Sekunden. Schaltet man die Fallenlaser aus, so findet durch den Stoß mit Restgas ein
Verlust von Teilchen statt, der über den herschenden Druck, respektive die Dichte
nRG und den Wirkungsquerschnitt der Teilchen σRG beschrieben werden kann. Es
ergibt sich eine Verlustrate Γ [12]:
Γ = nRG σRG vRG .
1.5
Doppel-MOT
Man sieht, dass der Druck in der Vakuumkammer sehr relevant ist. Um diese Stoßprozesse, die insbesondere für eine Bose-Einstein-Kondensat sehr kritisch sind, zu
16
KAPITEL 1. MAGNETO-OPTISCHE FALLE
minimieren, besteht der Fallenaufbau aus einer Doppel- oder Tandem-MOT.
Unsere Tandem-MOT besteht aus zwei Kammern, die getrennt gepumpt werden
und nur durch eine kleine Öffnung miteinander verbunden sind.
In der ersten (Vor-)Kammer befindet sich eine Rubidiumampulle, aus der die Rubidiumatome verdampft werden. Über die Temperatur der Ampulle lässt sich die
Ausdampfrate regulieren. Gepumpt wird die Kammer über eine Ionenpumpe (s.
Kap. 6.4.3). Durch das Rubidium bleibt der Restgasdruck in dieser Kammer relativ
hoch (ca. 10−7 mbar).
Davon getrennt ist eine zweite (Haupt-)Kammer, gepumpt durch eine kombinierte
Ionen- und Titansublimationspumpe. Zwischen den beiden Kammern befindet sich
ein λ/4-Plättchen, dass auf der Hauptkammerseite mit Gold beschichtet ist. In dessen Mitte befindet sich ein 0, 8 mm großes Loch, durch das die Atome von der einen
in die andere Kammer fliegen können. Ein Druckausgleich findet durch das Loch
kaum statt und man erreicht in dieser zweiten Kammer einen Druck kleiner 10−10
mbar.
Die Atome gelangen nun folgendermaßen von der einen in die andere Kammer:
Wie bei jeder anderen MOT auch, gibt es in der Vorkammer sechs Strahlen, die die
Atome einfangen. Auf der Achse zu der zweiten Kammer fehlt der Rückpumpstrahl.
Der rücklaufende Stahl wird hier durch die Reflexion an der Goldschicht6 erzeugt
und durchläuft dabei zweimal das λ/4-Plättchen. In der Mitte im Bereich des Loches gibt es keinen Gegendruck. Befindet sich nun ein Teilchen in dem Bereich ohne
Gegendruck, so wird es aus der MOT herausbewegt. Sobald es den Bereich der Rückpumper der anderen Stahlachsen verlassen hat, fällt es nach Millisekunden aus dem
Kühlprozess heraus (in den mF = 1-Zustand) und bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf das Loch zu.
In der zweiten Kammer haben die Atome zuerst keinen Lichtdruck und fallen unter Einfluss der Gravitation, bis sie wieder in den Einfangbereich der zweiten MOT
kommen. Die horizontale Geschwindigkeit des kalten Atomstrahls ist mit ca. 6 m/s
bestimmt worden [14].
1.6
Einfluss der Gravitation
Da die Strahlen in der Vorkammer nur gering Rot verstimmt werden, ist die Temperatur der Atome wahrscheinlich im Bereich von 300 µK. Nach 12 mv 2 = kB T
entspricht dies einer Geschwindigkeit von 10 m/s. Das Magnetfeld weist auf dieser Achse aufgrund der Spulenform nur einen geringen Gradienten auf. Daher ist
der Gegendruck hier prinzipiell geringer. Im Bereich des Loches erfahren die Atome gar keinen Gegendruck und wandern in Richtung Hauptkammer. Es wurde bei
diesem Aufbau gemessen, dass ca. 108 Atome pro Sekunde von der Vorkammer in
6
Das Plättchen ist mit ca 100 nm Gold besputtert und erreicht somit eine Reflektivität von
>97%
1.6. EINFLUSS DER GRAVITATION
17
Abbildung 1.7: Schematische Zeichnung des Doppel-MOT-Systems, aus [19].
die Hauptkammer gebracht werden [14]. An diesem Aspekt wurde beim Neuaufbau
nichts geändert. Verändert hat sich allerdings der Kammerabstand (Abb. B.1). Der
Abstand der Kammern ist nun 55 mm, der Abstand der Fallenzentren 211,5 mm.
Daraus lässt sich der Fallweg der Atome berechnen, unter der Annahme, dass die
Atome dann anfangen zu fallen, wenn sie den Bereich der vertikalen MOT-Strahlen
und damit auch den Bereich des Rückpumpers verlassen. Ihre zurückgelegte Strecke ist damit ca. 205 mm und es resultiert ein Fallweg von 5,7 mm (nach dieser
Rechnung bisher 4,9 mm).
18
KAPITEL 1. MAGNETO-OPTISCHE FALLE
Kapitel 2
Dipolfalle
Eine Dipolfalle wird erzeugt durch die Wechselwirkung der zu fangenden Atome mit
einem kohärenten Lichtfeld. Eine gute Vorstellung der Funktionsweise kann man
in einem klassischen Ansatz durch das Lorentz-Modell bekommen. Die entstehenden Kräfte werden dabei über die induzierte Polarisation mit einem harmonischen
Ozillator-Modell erklärt.
Will man den Einfluss der Hyperfein-Unterzustände des Atoms bei der Polarisierung
durch das Lichtfeld mitberücksichtigen, so muss man ein quantenmechanisches Modell benutzen.
Einen guten Überblick bietet der Artikel [16]; die quantenmechanische Beschreibung
ist z.B. in [17] zu finden. An diesen Artikeln orientiert sich auch diese Arbeit.
Die auf ein Atom wirkenden Lichtkräfte stammen von seiner Polarisierbarkeit
α her. Ein starkes Laserfeld bewirkt eine Ladungstrennung von Atomrumpf und
den Valenzelektronen. Dadurch entsteht ein induziertes Dipolmoment in dem Atom.
Dieses spürt das lokale Lichtfeld und erfährt eine Kraft. Bei richtiger Wahl der Wellenlänge werden damit die Atome in Richtung maximaler Intensität des Lichtfeldes
gezogen. Liegen zusätzliche dissipative Kräfte vor, die das Atom abbremsen, wird es
auf einem kleinen Raum im Laserfokus eingeschlossen.
Die resultierende Kraft F, die auf die Atome wirkt, ist durch das Potential UDip
gegeben. Das Potential hängt von dem Dipolmoment p = αE und dem Feld E ab.
F = −∇UDip
1
1
1
UDip = − hp(r, t)E(r, t)i = − Re(α)hE2 i = −
Re(α)I
2
2
20 c
(2.1)
(2.2)
Die eckigen Klammern stehen für den zeitlichen Mittelwert, I = 20 cE 2 ist die
Intensität des elektrischen Feldes mit der elektrischen Feldkonstante 0 und der
Faktor 21 kommt daher, dass das Dipolmoment nicht permanent ist, sondern induziert
wird.
Eine sehr ähnliche Form erhalten wir auch für die Streurate. Sie lässt sich aus der
abgegebenen Leistung des Oszillators errechnen:
19
20
KAPITEL 2. DIPOLFALLE
Die Leistung ist
Pabs (r) = hṗ(r, t)E(r, t)i = 2ωIm(pE) =
ω
Im(α)E.
0 c
Jedes Atom trägt die Energie ~ω und damit ergibt sich folgende Streurate
Γsc (r) =
Pabs
1
=
Im(α)I(r).
~ω
~0 c
(2.3)
Das Dipolpotential kommt also aus dem mit dem E-Feld in Phase schwingenden
Anteil, dem Realteil der Polarisierbarkeit, während die Streurate durch den außer
Phase schwingenden Anteil zustande kommt.
Im folgenden werden die beiden Größen I und Re(α) hergeleitet.
2.1
Polarisierbarkeit
2.1.1
Klassische Beschreibung der Polarisierbarkeit (Lorentzmodell)
Die komplexe Polarisierbarkeit α ist leicht mit dem Modell eines harmonischen Oszillators zu verstehen [20]. Das Elektron wird von der Kraft F = −e · E mit der
Lichtwelle E = E0 ei(ωt−kz) zu einer harmonischen Schwingung getrieben:
mẍ + bẋ + Dx = −eE0 eiωt−kz .
Bei Alkalimetallen wie Rubidium ist (im Bereich sichtbaren Lichtes) nur ein Valenzelektron beteiligt; m ist also die Elektronenmasse. Mit ω0 = D/m, γ = b/m und
x = x0 eiωt erhält man als Lösung der gedämpften Schwingung
x0 = −
eE0 /m
,
(ω02 − ω 2 ) + iγω
wobei γ die Übergangswahrscheinlichkeit zum entsprechenden Anregungszustand
darstellt. Mit p = −ex = αE kann man nun die Polarisierbarkeit ableiten:
α=
e2
.
m(ω02 − ω 2 + iγω)
(2.4)
Betrachtet man ein isotropes, unpolarisiertes Medium, so ist α eine komplexe Zahl,
ansonsten ist die Polarisierbarkeit ein Tensor, wie wir im folgenden sehen werden.
Zuerst berechnen wir der Realteil von α für den bei Dipolfallen relevanten Fall von
2
großer Verstimmung des Lasers gegen die Resonanzen (ω ω0 ). Wir ersetzten em
2
indem wir die klassische Dämpfungsrate γ = em 6πω0 c3 umstellen und führen die
Resonanz-Dämpfungsrate Γ == Γω0 = (ω0 /ω)2 γ ein.
Γ/ω02
ω02 − ω 2 − i(ω 3 /ω02 )Γ
Γ ω 2 − ω 2 − i(ω 3 /ω02 )Γ
= 6π0 c3 2 20
ω0 (ω0 − ω 2 )2 + (ω 3 /ω02 Γ)2
α = 6π0 c3
2.1. POLARISIERBARKEIT
21
Unter Vernachlässigung von (ω 3 /ω02 Γ)2 ergibt sich
Γ ω02 − ω 2
ω02 (ω02 − ω 2 )2
3π0 c3
Γ
Γ
=
+
ω0 − ω ω0 + ω
ω03
2
3πc
Γ
Γ
· I(r, z).
=
+
2w03 ω0 − ω ω0 + ω
Re(α) = 6π0 c3
UDip
Für eine allgemeine Überlegung an Dipolfallen betrachten wir noch kurz die sog. „rotating wave approximation“. Für den Fall, dass die Verstimmung der Laserfrequenz
∆ = ω0 −ω klein gegen die Resonanzfrequenz ist, kann man die vorhergehende Form
des Fallenpotentials auf eine einfachere Form bringen [16]:
UDip =
3πc2 Γ
· I(r, z).
2w03 ∆
Entsprechend erhält man für die Streurate
3πc2 Γ
2~w03 ∆
Γsc =
2
· I(r, z).
I
Das Dipolpotential skaliert also mit ∆
, während die Streurate sich wie ∆I2 verhält.
Deshalb betreibt man Dipolfallen normalerweise bei hohen Intensitäten und mit
großer Verstimmung.
Bei unseren bisherigen Rechnungen haben wir stillschweigend ein 2-Niveau-System
vorausgesetzt, also dass es mit Grund- und angeregtem Zustand nur 2 Zustände gibt.
Existieren weitere Zustände, so gibt es mehr Möglichkeiten, das Elektron anzuregen.
Die Polarisierbarkeit wird damit zu einer Summe über alle Zustände i, gewichtet mit
der zugehörigen Oszillatorstärke fi .
UDip =
2.1.2
Γi
3πc2 X
Γi
f
+
· I(r, z)
i
ω0 − ωi ω0 + ωi
2w03 i
(2.5)
Quantenmechanische Betrachtung der Polarisierbarkeit
Bei den bisherigen Rechnungen wurde nur die Feinstuktur beachtet, indem für jeden Feinstrukturunterzustand die zugehörige Wellenlänge, sowie die entsprechenden
Gamma-Werte und entsprechende Oszillatorstärken eingesetzt wurden; die Hyperfeinstrukturaufspaltung ist dabei allerdings vorerst vernachlässigt worden. Während
die Kopplung von Spin- und Bahn-Moment die Feinstrukturaufspaltung ∆FS bewirkt, führt die Kopplung an das magnetische Moment des Kerns zu einer weiteren
Aufspaltung ∆HFS . Diese ist dann auch abhängig von der Polarisierung des Laserlichtes. Dafür ist das Modell eines klassischen Oszillators nicht mehr ausreichend.
22
KAPITEL 2. DIPOLFALLE
Quantenmechanisch stellt sich die Polarisierbarkeit als Projektion des Dipol-Operators
auf den entsprechenden Grundzustand bzw. den zugehörigen angeregten Zustand dar
α̂ = −
X PF d̂PF 0 d̂PF
.
(2.6)
~∆F,F 0
F0
Dabei ist PF = m |F, mihF, m| der Projektionsoperator auf den Grundzustand mit
P
F = I + J und Hyperfeinniveau m = −F, ..., F , sowie PF 0 = m0 |F 0 , m0 ihF 0 , m0 |
der Operator für den angeregten Zustand. d̂ sei der Dipoloperator. Um den Einfluss
der Polarisation des Laserlichtes deutlich zu machen, bringen wir α in die sphärische
Basis des Laserlichtes.
q beschreibe die Polarisation des Lichtes mit q = −1, 0, 1 für E1-Übergänge (entsprechend für andere Übergänge), eq die Basisvektoren eines durch die Polarisationsrichtungen ausgezeichneten Koordinatensystems.
P
α̂q0 q = e∗q0 α̂eq
Welches angeregte Hyperfeinniveau m0 erreicht wird, hängt ab von dem Ausgangsniveau m und dem q-Wert: m0 = m + q. Somit geht der umgekehrte Prozess nach
(m + q) − q 0 . Nach Gleichung (2.6) ergibt sich α̂q0 q folgendermaßen:
α̂q0 q = −
X |F, m + q − q 0 ihF, m + q − q 0 |dˆ−q0 |F 0 , m + qihF 0 , m + q|dˆq |F, mihF, m|
.
~δF,F 0
F 0 ,m
Mit dem Wigner-Eckart-Theorem (A.3) kann man mit den Clebsch Gordan Koeffizienten cF,m+q
für den Übergang |F, mi → |F 0 , m + qi aus der Basis |F, mi in die
F,m
Basis |F (J, I)i wechseln.
0 ,m+q
hF 0 (J 0 , I)kd ⊗ 1̂I kF (J, I)i
hF 0 , m + q|dˆq |F, mi = cFF,m
Dabei ist 1̂I der Eins-Operator im Kernspin-Raum. Die Clebsch Gordan Koeffizienten lassen sich für den Hyperfeinübergang über die Racah-Formel (A.2) mit 3-j
Symbol (runde Klammern) und 6-j Symbol (geschweifte Klammern) ausrechnen [5].
0
0
,m+q
=(−1)1+L +S+J+J
cFF,m
L0 J 0 S
J L 1
0 +I−m+q
q
(2J + 1)(2J 0 + 1)(2F + 1)(2F 0 + 1)
J0 F 0 I
F J 1
F 1
F0
m q −m
Das reduzierte Matrixelement lässt sich nach dem Kopplungsgesetz über die Oszillatorstärke fF 0 F für den Übergang |F i → |F 0 i folgendermaßen darstellen
|hF 0 (J 0 , I)kd ⊗ 1̂I kF (J, I)i|2 = fF 0 F |hJkdkJi|2 ,
wobei sich fF 0 F mit dem Wigner 6-j-Symbol ausrechnen lässt
fF 0 F = (2J 0 + 1)(2F + 1)
F 0 I J0
J 1 F
.
(2.7)
2.2. FALLENPOTENTIAL
23
Abbildung 2.1: Fallenpotential eines fokussierten Gaußstrahls
Die Werte für die charakteristische Polarisierbarkeit für den |Ji → |J 0 i-Übergang
von Rubidium
α̃ =
|hJkdkJi|2
0
~∆Fmax ,Fmax
findet man in [21]1 . Damit erhalten wir die endgültige Form für die Polarisierbarkeit
in der neuen Basis
α̂q0 q = α̃
X ∆Fmax ,F 0
max
F0
∆F,F 0
fF 0 F
X
0
0
,m+q
F ,m+q
cFF,m+q−q
|F, m + q − q 0 ihF, m|.
0 cF,m
(2.8)
m
Die αq0 q sind die Einträge des 3x3 Polarisierbarkeitstensors. Mit dem Feld in der
Basis von σ + , π, σ − -Licht (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) lässt sich das Dipolpotential bestimmen.
In unserem Fall ergibt sich für die relevanten Übergänge von Rubidium, dass die
Polarisierung aufgrund der Größe der Clebsch-Gordan-Koeffizienten keinen Einfluss
auf die Polarisierbarkeit hat. Im weiteren betrachten wir also die einfachere Form
(Gl. 2.5) der klassischen Polarisierbarkeit.
2.2
Fallenpotential
Um das gesamte Potential zu kennen, brauchen wir noch die Intensitätsverteilung.
Sie wird im nächsten Kapitel anhand der Gaußschen Strahlenoptik hergeleitet (Gl.
3.16). Es ergibt sich folgende Form, die wir später benötigen werden:
3πc2 Γ X
Γi
Γi
=
fi
+
3
ω0 − ωi ω0 + ωi
2w0 i
UDip
1
2
−2r
1
w2 (1+(z/z0 )2 )
0
· I0
e
.
1 + (z/z0 )2
in diesem Fall für D2 52 S1/2 → 52 P3/2 : 3.5810−29 C · m.
(2.9)
24
KAPITEL 2. DIPOLFALLE
Auf die Atome wirkt die Kraft
F = −∇UDip .
(2.10)
In Abhänigkeit von der Polarisierbarkeit bei einer gegebene Wellenlänge des Dipollasers ergibt sich also eine Kraft, die entweder die Atome aus dem Lichtfeld herausdrückt (low field seeker), oder sie in dieses hineinzieht (high field seeker).
Durch Polarisationsgradientenkühlen mit den verstimmten Stahlen der MOT gelingt
es in der Dipolfalle Temperaturen unter 100 µK zu erreichen. Um tiefere Temperaturen zu erzeugen greift man auf den Prozess des Verdampfungskühlen zurück. Dazu
läd man zuerst die Dipolfalle mit Atomen und erniedrigt dann das Fallenpotential. Atome, die „heiß“ sind und hohe Schwingungsniveaus besetzen, sind dann nicht
mehr gebunden und verlassen die Falle. Die verbleibenden Atome rethermalisieren
bei einer geringeren Temperatur. Mit dieser Methode kann man Temperaturen von
ca. 100 nK erreichen. Dabei muss man den Verlust von ca. 95% der Atome in Kauf
nehmen.
Kapitel 3
Optik
Viele Effekte in der Optik können durch die geometrische Beschreibung von Strahlen
beschrieben werden. Lasern hingegen kommen einer idealisierten Lichtquelle mit nur
einer Frequenz sehr nahe. Da die Punkte ihres Lichtfeldes über einen weiten Bereich
eine feste Phasenbeziehung haben, das Licht also kohärent ist, treten Effekte auf,
die man nur in einem Wellenbild beschreiben kann. Und wie immer, wenn man es
mit elektromagnetischen Feldern zu tun hat, braucht man die Maxwellgleichungen.
Wir wollen uns im Folgenden überlegen, wie ein Laserstahl aussieht und wie er sich
in einer Dipolfalle fokussieren lässt.
3.1
Paraxiale Wellengleichung
Ausgangspunkt sollen die Maxwellgleichungen bilden.
~ =ρ
∇D
~ =0
∇B
(3.1)
(3.2)
~ =−∂B
~
∇×E
(3.3)
∂t
~ = ~j + ∂ D
~
(3.4)
∇×H
∂t
Da der Laser in Luft propagiert, können wir die Eigenschaften von Materie vernachlässigen und vereinfachen für die Ausbreitung im Vakuum. Dabei gilt ρ = 0 und
~j = 0.
~ =0
∇D
(3.5)
~ = ∂D
~
∇×H
(3.6)
∂t
Durch Bildung der Rotation von (3.3) und unter Beachtung von (3.5) ergibt sich:
~
~ = ∇(∇E)
~ − ∇2 E
~ = ∇(∇D) − ∆E
~ = −∆E.
~
∇ × (∇ × E)
0
25
(3.7)
26
KAPITEL 3. OPTIK
Gleiches Verfahren für die rechte Seite von (3.3) unter Beachtung von (3.6).
∇ × (−
2
∂
∂ ~
~ = µµ0 0 ∂ E
~
~ = −µµ0 ∂ ( ∂ D)
B) = − µµ0 (∇ × H)
∂t
∂t
∂t ∂t
∂t2
(3.8)
Daraus erhält man die bekannte Wellengleichung.
∂2 ~
1
~
E=
∆E
2
∂t
µµ0 0
(3.9)
In der Praxis interessieren oft nur räumlich begrenzte Strahlen. Und gerade ein Laser
zeichnet sich besonders dadurch aus, dass er nur eine kleine Divergenz aufweist, also
im Wesentlichen nur in einer Raumrichtung propagiert. Solche Strahlen, die eine
kleine Divergenz aufweisen, nennt man paraxial.
Zur Lösung machen wir einen Ansatz für unsere sich in z-Richtung ausbreitenden
Wellen
~
E(x,
y, z, t) = E(x, y, z)ei(wt−kz)
mit der Amplitudenverteilung E(x, y, z), von der man annehmen kann, dass sie sich
im Vergleich zum schnell variierenden Term eikz , nur langsam ändert. Diesen Ansatz
in die allgemein gültige Wellengleichung eingesetzt und nach Ausführen der zeitlichen
Ableitung erhält man
∆[E(x, y, z)ei(wt−kz) ] + µµ0 0 ω 2 E(x, y, z)ei(wt−kz) = 0,
bzw.
(∆ + k 2 )E(x, y, z)ei(wt−kz) = 0.
Führen wir noch die räumliche Ableitung teilweise aus:
∂2E ∂2E ∂2E
∂E i(wt−kz)
+
+
− 2ik
e
= 0.
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂z
Die gefundene Form enthält nun einen Term 2ik ∂E
∂z , von dem wir wissen, dass er
aus einer schnellen Variation stammt - zumindest schnell gegenüber der langsamen
2
Änderung von E, enthalten in dem Term ∂∂zE2 . Wenn unser Strahl nun in irgendeiner
2
Form seinen Namen verdient haben soll, so gilt diese Vernachlässigbarkeit von ∂∂zE2
sicherlich auch gegenüber den Änderungen in x- und y-Richtung.
Mir hilft der Geist, auf einmal seh ich Rat. Und schreibe getrost:
∂2E ∂2E
∂E i(wt−kz)
e
=0
+
− 2ik
2
2
∂x
∂y
∂z
Damit haben wir die ParaxialeWellengleichung hergeleitet [22].
(3.10)
3.2. GAUßSCHE STRAHLEN
3.2
27
Gaußsche Strahlen
Da die im letzten Kapitel hergeleitete paraxiale Wellengleichung speziell auf Laserstrahlen zugeschnitten wurde, sind ihre Lösungen die Wellenfunktionen, die wir zum
Verständnis eines Laserstrahls benötigen.
Wieder machen wir dafür einen Ansatz
2
2
+y
−ik x2q(z)
E(x, y, z) = E0 A(z)e
und lassen darauf die paraxiale Wellengleichung los.
2 +y 2
2ik
x2 + y 2
∂A(z)
x2 + y 2 ∂q(z)
−ik x2q(z)
2
E
·e
=0
A(z)−k 2
A(z)−2ik
+k
A(z)
o
q(z)
q(z)2
∂z
q(z)2 ∂z
−
Durch Erweitern und Zusammenfassen erhält man:
∂q(z)
q(z) ∂A(z)
− 1 k 2 (x2 + y 2 ) − 2ikq(z) 1 +
∂z
A(z) ∂z
= 0.
Diese Gleichung enthält keine Einschränkung an x und y und muss somit für alle
Werte x und y gelten. Das ist nur unter den folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
1.
∂q(z)
∂z
=1
2.
∂A(z)
∂z
= − A(z)
q(z)
Setzen wir deren zwei Lösungen q(z) = izR + z und A(z) =
ein, so resultiert schlussendlich eine Gaußsche Welle.
E(x, y, z) = E0
2
2
A0
ik x +y
· e 2q(z) · ei(ωt−kz)
z + izR
A0
q(z)
in unseren Ansatz
(3.11)
Dieses ist nur eine Lösung der paraxialen Wellengleichung. Es gibt eine ganze Klasse von Lösungen, die über Hermite-Polynome gewonnen werden können und Moden
höherer Ordnung ergeben. Da es sich um transversal-elektromagnetische Wellen handelt, werden diese TEMmn -Moden genannt, wobei die Indices die Ordnung angeben.
Laser arbeiten oft in der TEM00 -Grundmode, die wir gerade hergeleitet haben. Sie
besitzt als einzige ein Gaußprofil.
Bei geeigneter Wahl der Parameter lässt sich eine intuitivere Darstellung folgendermaßen schreiben (siehe Kap. 3.3):
E(r, z) = E0
w0 −2(r/w(z))2
e
.
w(z)
(3.12)
Ein Gaußprofil ist zwar unendlich ausgedehnt und kann aufgrund der Begrenzung
durch optische Komponenten nicht eine korrekte Lösung für den Laserstrahl sein.
Die Fehler durch die gemachten Näherungen sind dabei allerdings sehr klein.
28
3.3
KAPITEL 3. OPTIK
Fokussierung Gaußscher Strahlen
Mit einem Laserstrahl als Dipolfalle erzeugt man prinzipiell erstmal einen 2D-Einschluss. Die Strahlintensität nimmt mit dem Radius nach außen ab; die Atome sehen
einen Gradienten des Feldes in Richtung Strahmitte, entlang der Strahlachse hingegen können sie sich frei bewegen. Um einen Einschluss in der dritten Richtung zu
erzeugen, oder um bei gekreuzten Dipolfallen aus 2 Laserstrahlen eine tiefere Falle
und eine höhere Fallenfrequenz zu erzeugen, fokussiert man das Laserlicht. Die Intensität am Ort der Falle ist also eine Funktion von dem Strahlprofil des Lasers und
der Abbildungseigenschaft der Linse.
Wie im vorangegangenen Kapitel beschrieben, lässt sich das Profil eines Laserstrahls
im Allgemeinen durch eine Gaußkurve beschreiben. Die Feldstärke
E(r, z) = E0
w0 −2(r/w(z))2
e
w(z)
p
ist eine Funktion vom Abstand von der Strahlachse r = x2 + y 2 und der Position
z entlang des Strahls; E0 ist die Feldstärke im Zentrum, w der Strahlradius. Der
Strahlradius ist definiert als der Abstand, bei dem die Intensität
I(r, z) = I0
w02 −2(r/w(z))2
e
w(z)2
(3.13)
auf den 1/e2 -Wert abgefallen ist.
Entlang der Ausbreitungsrichtung kann man jeden Laserstrahl durch seine Strahltaille charakterisieren. Es ist also kein Laserstahl divergenzfrei, es lässt sich immer
ein minimaler Durchmesser finden. Dieser kann in dem Resonator liegen, ist aber
oft auf dem Ausgangsspiegel.
Der Strahlradius ist dabei gegeben durch
q
w(z) = w0 1 + (z/z0 )2 .
(3.14)
z0 ist die Rayleighlänge, die Strecke nach der sich die Querschnittsfläche eines Gaußstrahls verdoppelt hat.
z0 =
πw02
λ
Die Divergenz der hyperbolen Funktion (3.14) erhält man aus dem Grenzwert z →
∞.
w(z) = ±
w0
z
z0
3.3. FOKUSSIERUNG GAUßSCHER STRAHLEN
29
Zusammen mit der Rayleighlänge und dem Winkel tan(θ) = w0 /z0 kann die Divergenz folgendermaßen dargestellt werden:
λ
.
πw0
tan(θ) =
(3.15)
Aus Gl (3.13) und Gl (3.14) erhält man als Ausdruck für die Intensitätsverteilung
2
−2r
1
w2 (1+(z/z0 )2 )
0
I(r, z) = I0
e
.
1 + (z/z0 )2
(3.16)
Um die Intensitätsverteilung in der Dipolfalle zu beschreiben, muss man sich den
Radius eines Gaußstrahls nach Durchgang durch eine Linse überlegen.
Beim Durchgang durch eine Linse wird die Verteilung eines Gaußstrahls nicht geändert. Der neue entstehende Fokus im Strahl w02 , wie die neue Brennweite f02 ,
bekommen in der folgenden Notation einen weiteren Index 2, die alten Parameter
den Index 1.
Die Position der Strahltaille s und die Rayleighlängen z0 hängen mit der Brennweite
f der eingebrachten Linse über folgende komplexe Beziehung zusammen:
1
1
1
=
+
.
f
−s1 + iz01 s2 − iz02
Aus der komplexen Gleichung ergeben sich 2 reelle Gleichungen, von denen eine
Gleichung unter Benutzung der Rayleighlänge nach der Strahltaille, erzeugt durch
die eingebrachte Linse, aufgelöst werden kann:
w01 f
.
(s1 + f )2 + z01
w02 = p
Meistens ist Taille des Lasers w01 sehr weit von der Linse entfernt (s1 f, z01 ).
Dann kann man auch den Linsenfokus am Ort des Brennpunkts der Linse annehmen
(s2 = f ).
w02 =
w01 f
|s1 |
(3.17)
Wir berechnen mit Gleichung (3.14) den Radius auf der Linse wL = w(s1 ):
s
wL = w01 1 +
s21
λ
≈
|s1 |.
2
πw01
z01
Daraus erhält man mit (3.17) den minimal möglichen Fokusdurchmesser eines Gaußstrahls von
w02 ≈
λ
f.
πwL
30
KAPITEL 3. OPTIK
Abbildung 3.1: Skizze eines fokussierten Gaußstrahls
3.3.1
Der M 2 -Faktor
Ein solch ideales, Gaußsches Strahlprofil gibt es allerdings höchstens in der Theorie
der TEM00 -Grundmode eines Lasers. In realita sieht die Welt hingegen schlechter
aus: Das Gaußprofil ist nicht mehr perfekt und um diesen Umstand auszugleichen
wird ein Korrekturfaktor, der M 2 -Faktor (auch Beugungsmaßzahl), eingeführt, der
die Abweichung beschreibt. Er ist nicht herleitbar, denn die Abweichung ist auch
nicht einheitlich beschreibbar. Vielmehr gibt es eine DIN-Vorschrift (11146), die die
Vermessung des M 2 -Faktors standardisiert und reproduzierbar macht.
Der M 2 -Faktor macht Gleichung (3.15) damit für kleine Divergenzwinkel zu
θ ≈ tan(θ) =
M 2λ
.
πw0
Das M 2 ist immer kleiner als eins und schränkt damit die Fokussierbarkeit ein. Der
Fokusradius w0 wird damit um M 2 größer.
w0 =
λf M 2
πr0
(3.18)
Die Auswirkung des M 2 -Faktors ist also insbesondere im Fokus erkennbar, der damit linear skaliert. Entsprechend fokussiert man nach der Norm zur Bestimmung
den Strahl mit einer Linse und misst an mindestens 10 Punkten den Durchmesser.
Die Messung des Fokus findet sich in Kapitel 7.1.2.
Jetzt noch ein kurzes Interlude zum Thema dicke Linsen.
3.4
Linsen
Wie wir gesehen haben spielt die Brennweite der Linse eine entscheide Rolle für die
Größe unseres Fokuses. Darum machen wir noch einen kleinen Ausflug in die Welt
3.4. LINSEN
31
Abbildung 3.2: Schematische Darstellung einer dicken Linse für den bildseitigen und
gegenstandsseitigen Strahlengang.
der Linsen.
In der Linse geschieht aufgrund der unterschiedlichen Brechungsindices eine Brechung an der vorderen Seite der Linse und eine an der hinteren. Allgemein beschreibt
man die Linse dann durch eine Hauptebene, an der eine Brechung stattfindet [20].
Der Fokus ist dabei gegeben durch
1
R1 · R2
.
n − 1 R 2 − R1
f=
Dies erfolgt unter der Annahme, dass sich die Linse in Luft mit der Brechzahl
nLuft = 1 befindet. n sei die Brechzahl des Mediums, R1 und R2 die Krümmungsradien der beiden Flächen. Ist das Verhältnis von Linsendicke zur Brennweite nicht
mehr vernachlässigbar, so ist die Brechung nicht mehr durch eine Hauptebene zu
charakterisieren. Es gilt die Abbildungsgleichung für dicke Linsen:
1
1
1
(n − 1)d
= (n − 1)
−
+
.
f
R 1 R2
nR1 R2
Im Grenzfall d → 0 geht die Gleichung in die Gleichung für dünne Linsen über. Die
Hauptebenen lassen sich unter Kenntnis der Radien R1 und R2 berechnen:
hi = −
f (n − 1)d
.
nRi
(3.19)
Der Fokus entsteht also bei parallel einlaufenden Stahlen im Abstand der Brennweite
von der Hauptebene, die zur Austrittsfäche gehört.
32
KAPITEL 3. OPTIK
Kapitel 4
Elektromagnetisch Induzierte
Transparenz
Schon 1924 wurde von Satyendranath Bose und Albert Einstein ein Phasenzustand
für bosonische Teilchen vorhergesagt, der am absoluten Nullpunkt eintreten sollte.
Dabei können alle Teilchen in diesem Bose-Einstein-Kondensat getauften Zustand
durch eine Wellenfunktion beschrieben werden. Sie sind vollständig delokalisiert;
ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist also über den gesamten Bereich des Kondensats gleichmäßig verteilt. Daraus folgen weitere interessante Eigenschaften, wie zum
Beispiel Suprafluidität und Supraleitung. Außerdem sind alle Atome kohärent und
können somit miteinander interferieren. Ähnlich dem klassischen Laser, der mit kohärentem Licht arbeitet, ist so ein Laser denkar, der kohärente Atome aussendet.
Es war also von großem Interesse ein Bose Einstein Kondensat (BEC) zu erzeugen. Doch der Durchbruch gelang erst 1995. Für die ersten BECs wurden Eric A.
Cornell, Wolfgang Ketterle und Carl E. Wieman 2001 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet.
Ein solches Kondensat wurde in Freiburg 2006 erzeugt [19]. Dazu wurden die Atome
zuerst in einer magneto-optischen Falle gefangen. Von dort konnten sie dann in eine
Dipolfalle umgeladen werden. Der entscheidende Prozess war dann das Verdampfungskühlen:
Die Atome haben nicht alle die gleiche Bewegungsgeschwindigkeit. Vielmehr sind
ihre Geschwindigkeiten Maxwell-Boltzmann verteilt, sodass sowohl kalte, als auch
„heiße“ Atome vorhanden sind. Erniedrigt man nun den Potentialrand der Falle, so
können die heißen Atome die Falle verlassen, die kalten Atome bleiben zurück und
das Ensemble rethermalisiert bei einer geringeren Temperatur.
Der große Nachteil dieser Methode ist der große Verlust von rund 95% der Atome.
Das BEC enthält nur noch einen sehr kleinen Anteil der urspünglichen Atome. Auch
kann man das Potential nicht beliebig schnell absenken, sondern muss die Rethermalisierungszeit der Atome beachten.
Mit Elektromagnetisch Induzierter Transparenz (EIT) sollte es möglich sein in sehr
33
34
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCH INDUZIERTE TRANSPARENZ
kurzer Zeit Atome bis zum BEC zu kühlen, ohne dabei auf Verdampfungskühlung
zurück greifen zu müssen. Dieses Kapitel orientiert sich im Wesentlichen an der
Arbeit [25], woher auch die meisten der hier verwendeten Abbildungen stammen.
4.1
Bekleidete Zustände/AC Stark Shift
Für Elektromagnetisch Induzierte Transparenz benötigt man ein Drei-Niveau-System, dass zum Beispiel
aus einem angeregten (|ei) und zwei Hyperfein- Grundzuständen (|g1i, |g2i) besteht. Zwischen den beiden Grundzuständen sind Dipolübergänge nicht erlaubt. Allerdings
können sie über den angeregten Zustand über zwei Laser
aneinander koppeln. Ein solches System nennt man aufgrund seiner Form auch λ-System. Wird einer der beiden Übergänge von einem starken Lichtfeld getrieben,
so kann man Zustände und Feld nicht mehr getrennt betrachten. Die Kopplung bewirkt eine Verschiebung von
angeregtem und Grundzustand; es entstehen zwei neue Zustände, die Mischungen
aus den ungestörten Zuständen darstellen. Diesen Effekt nennt man AC-Stark-Shift.
Er bildet einen wichtigen Baustein des EIT-Kühlens.
Zum Verständnis des AC-Stark-Shifts gehen wir zunächst von einem Zwei-NiveauSystem aus, bei dem der Übergang von |gi nach |ei erlaubt ist.
Ohne Kopplung von Feld und Atom ist die Gesamtenergie des Systems die Summe
beider Einzelsysteme
H = HAtom + HLaser
(4.1)
mit den beiden Hamiltonians
HAtom = ~ωg |gihg| + ~ωe |eihe|
+
HLaser = ~ωL (a a + 1/2)
(4.2)
(4.3)
und den Energien
E0 = ~ωg
ELaser = hνL .
(4.4)
(4.5)
In Anwesenheit eines resonanten Lichtfeldes kann man nun Paare gleicher Energie
bilden für N Photonen im Lichtfeld mit dem Atom im Grundzustand (|g, N i) oder
N − 1 Photonen im Feld und einem angeregten Atom (|e, N − 1i).
Hat der Laser eine geringe Verstimmung δ gegenüber der Resonanzfrequenz, so gibt
es eine Verschiebung von |e, N − 1i und |g, N i um ~δ. Die zwei Zustände sind nicht
mehr entartet, sondern spalten energetisch auf.
4.1. BEKLEIDETE ZUSTÄNDE/AC STARK SHIFT
35
Da es sich um einen quantenmechanischen Effekt handelt, stellen wir den HamiltonOperator auf, der die Wechselwirkung mit dem Feld berücksichtigt und berechnen
dessen Eigenwerte:
Ohne Wechselwirkung mit dem Feld hat das Atom zwei Eigenzustände |ei und |gi
mit zugehörigen Eigenenergien Ee und Eg . Zum Hamiltonian des Atoms H0 gibt es
noch den Hamiltonian des Lichtfeldes HL und den des Moden-Reservoirs HR , das
die besetzbaren Zustände beschreibt. An beide koppelt das Atom durch Absorption,
stimulierte und spontane Emission mit den Kopplungstermen νAL und νAR .
H = H0 + HL + HR + νAL + νAR
Die Gleichung vereinfacht sich, wenn man die spontane Emission vernachlässigen
kann und die Menge der Photonen groß gegen die Menge der Atome ist. Es bleibt
die Wechselwirkung zwischen Atom und Lichtfeld.
H = H0 + νAL
Die Atom-Licht-Wechselwirkung (siehe Kap. 2.1) ist beschreibbar durch das entste~
hende Dipolmoment d~ und die Feldstärke E.
~
νAL = −d~E
(4.6)
Der Dipoloperator beschreibt nun entweder einen Übergang von Grund- in angeregten Zustand (Aufsteigeoperator b+ ) oder anders herum (Absteigeoperator b).
d~ = d~eg (b+ + b)
(4.7)
Bei jedem Übergang gibt entsprechend das Feld ein Quant ab (Absteigeoperator a)
oder nimmt eins auf (Aufsteigeoperator a+ )
s
~ =
E
~ωL
~L (a+ + a)
20 V
(4.8)
36
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCH INDUZIERTE TRANSPARENZ
mit Laserfrequenz ωL , Modenvolumen V und dem Laserpolarisationsvektor L . Einsetzen von Gleichung (4.7) und (4.8) in Gleichung (4.6) ergibt:
s
νAL =
s
=
~ωL ~
~L deg (a+ + a)(b+ + b)
20 V
~ωL ~
~L deg (ba+ + b+ a)
20 V
= : v · (ba+ + b+ a).
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Unphysikalische, sowie Zwei-Photon-Übergänge werden dabei nicht beachtet.
In einem monochromatischen Lichtfeld ist die Modenenergie diskret, mit äquidistanten Energieniveaus, wie beim harmonischen Oszillator. Die Leiteroperatoren können
deshalb wie beim
werden. Für den Aufsteiger gilt
√ harmonischen Oszillator behandelt√
+
also a |N i = N + 1|N + 1i. Und ebenso a|N i = N |N − 1i [35]. Es ergibt sich
für einen Übergang von Grund- zu angeregtem Zustand
he, N |νAL |g, N + 1i =vhe, N |b+ a|g, N + 1i
√
=v N + 1
q
≈v hN i.
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Auch hier konnte aus physikalischen Gründen wieder ein Term vernachlässigt werden. Wir führen eine weitere, in diesem Zusammenhang sehr wichtige Größe ein. Die
Rabifrequenz ΩL gibt die Stärke der Kopplung zwischen einem atomaren Übergang
und einem externen, elektromagnetischen Feld an.
~
|d~ · E|
(4.15)
~
Diese Frequenz beschreibt den periodischen Enerieaustausch zwischen Atom und
Feld und somit die zeitliche Veränderung des Erwartungswerts, ob sich das Atom
im angeregten Zustand oder im Grundzustand befindet. Damit lässt sich die Wechselwirkung νAL nun umschreiben und man erhält:
ΩL =
1
he, N |νAL |g, N + 1i = ~ΩL
2
1
hg, N + 1|νAL |e, N i = ~ΩL .
2
(4.16)
(4.17)
Für die Vektoren |e, N + 1i und |g, N i ist der Hamiltonian eine 2x2 Matrix.
1 δ ΩL
H=~
2 ΩL −δ
!
(4.18)
4.1. BEKLEIDETE ZUSTÄNDE/AC STARK SHIFT
37
Man sieht sofort, dass eine andere Basis geschickter zum Rechnen ist. Denn Feld und
Atom sind stark aneinander gekoppelt und können nicht mehr unabhängig betrachtet
werden!
q

0
δ 2 + Ω2L
1

q
H=~ 
2
0
− δ 2 + Ω2L
(4.19)
Die neue Basis nennen wir |1, N i und |2, N i. Die Eigenwerte kann man direkt ablesen:
1
U|1,N i = + ~Ω
(4.20)
2
1
U|2,N i = − ~Ω
(4.21)
2
q
mit der neuen Frequenz Ω = δ 2 + Ω2L .
Es gibt also aufgrund der Kopplung von Feld und Atom eine Energieaufspaltung der
Niveaus, die man AC-Stark-Shift nennt:
q
~Ω = ~ δ 2 + Ω2L .
(4.22)
Derart gekoppelte Zustände bezeichnet man als dressed states oder bekleidete Zustände. Anschaulich kann man die neuen Zustände als Mischung der alten Basis
ausdrücken.
|1, N i = sin(Θ)|g, N + 1i + cos(Θ)|e, N i
(4.23)
|2, N i = cos(Θ)|g, N + 1i − sin(Θ)|e, N i
(4.24)
Aus Ω2 = Ω2L + δ 2 erhält man für den Mischungswinkel Θ
Ω
tan(2Θ) = − .
δ
(4.25)
Die Kopplung und Aufspaltung ist also abhängig von der Feldstärke und der Verstimmung. Dabei spalten die beiden Zustände |g, N + 1i und |e, N i auch ohne Verstimmung auf.
Diesen Effekt nennt man Avoided Crossing.
Stellen wir dafür tan(2Θ) = − Ωδ um zu
cos(2Θ) = −
δ
Ω
(4.26)
und betrachten die Gleichung für δ = 0. Daraus ergibt sich Θ = π/4. Es sind also
beide Zustände zu gleichen Teilen in den neuen Zuständen |1, N i und |2, N i enthalten. Der Abstand dieser Zustände ist nur durch die Rabifrequenz des Lasers ΩL
bestimmt. Zeichnet man die Energie der Zustände mit veränderlicher Verstimmung,
so nähern sich für große Verstimmungen die gekoppelten Zustände den ungekoppelten Zuständen. Ohne Kopplung geht die Energie der Niveaus wie erwartet zu der
Energie der Zustände |g, N + 1i, |e, N i über (Abb. 4.1).
38
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCH INDUZIERTE TRANSPARENZ
Abbildung 4.1: Avoided Crossing beim AC-Stark-Shift. Für große Verstimmung gehen die bekleideten Zustände in die ungekoppelten Zustände über. Bei δ = 0 entspricht der energetische Abstand ~ΩL .
4.2
Dunkelzustände
Abbildung 4.2: Aufspaltung der Zustände eines gekoppelten Atoms für mehrere Moden.
Betrachten wir nun ein Drei-Niveau System. Dies System bestehe aus zwei energetisch entarteten Grundzuständen und einem angeregten Zustand.
Die Zustände heißen nun |g1i, |g2i und |ei. Der Atom-Hamiltonian besteht entsprechend aus drei Anteilen. Beide Übergänge mit den Frequenzen ω1 und ω2 werden
durch Laser getrieben.
HAtom = ~ωg1 |g1ihg1| + ~ωg2 |g2ihg2| + ~ωe |eihe|
1
HLaser1 = − ~ Ωe,g1 ei(Φ1 −ω1 t) |g1ihe| + c.c.
2
1
HLaser2 = − ~ Ωe,g2 ei(Φ2 −ω2 t) |g2ihe| + c.c.
2
(4.27)
(4.28)
(4.29)
Und wie immer in der Quantenmechanik findet man die Besetzung der Zustände,
∂
indem man aus Schrödingergleichung i~ ∂t
Ψ = HΨ, dem eben aufgestellten Hamil-
4.2. DUNKELZUSTÄNDE
39
tonian und einem allgemeinen Ansatz die Wellenfunktion Ψ löst. Wir machen den
Ansatz
Ψ = A(t)e−iωg1 t |g1 i + B(t)e−iωg2 t |g2 i + C(t)e−iωe t |ei
(4.30)
mit der Startbedingung, dass sich die Atome anfangs in einem Überlagerungszustand
beider Grundzustände befinden.
Ψ(0) = cos(Θ/2)|g1i + sin(Θ/2)e−iΦ |g2i
(4.31)
In die Schrödingergleichung eingesetzt ergeben sich die Ableitungen der Amplituden
i
Ȧ(t) = Ωg1 eiΦ2 · C(t)
2
i
Ḃ(t) = Ωg2 eiΦ1 · C(t)
2
i
iΦ1
iΦ2
Ωg1 e · A(t) + Ωg2 e · B(t)
Ċ(t) =
2
(4.32)
(4.33)
(4.34)
und mit der Annahme, dass Ωg1 = Ωg2 , sowie Θ = π/2 und der Phasenbeziehung
Φ1 − Φ2 − Φ = ±π, ergeben sich die Amplituden.
1
A= √
2
1 −iΦ
B=√ e
2
C=0
(4.35)
(4.36)
(4.37)
Man sieht, dass der angeregte Zustand gar nicht mehr besetzt wird, obwohl die Laser
genau auf Resonanz laufen und aus einem klassischen Standpunkt eine große Besetzungswahrscheinlichkeit erwartet würde. Dieser Zustand wird zum „Dark State“,
er ist transparent für diese Wellenlänge.
Abbildung 4.3: Absorptionsprofil eines „Dark State“. Bei geeigneter Einstellung der
Laserfrequenzen ergibt sich für ein 3-Niveau-System der Umstand, dass ein Übergang
bei einer klassisch stark absorbierenden Frequenz, nicht mehr absorbiert.
40
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCH INDUZIERTE TRANSPARENZ
4.3
Elektromagnetisch Induzierte Transparenz
Nehmen wir im Gegensatz zum vorangegangenen Kapitel nun nicht zwei Grundzustände auf gleichem energetischen Niveau, sondern drei Zustände, die jeweils einen
Niveauunterschied aufweisen (λ-System). Die Frequenz beider Laser soll die gleiche
Verstimmung zum Zustand |ei aufweisen.
∆1 = ωL1 − ω31
∆1 = ∆2
∆2 = ωL2 − ω32
Wieder sind zwei Zustände nicht aneinander gekoppelt. Der eine Laser koppelt nun
durch ein starkes Feld Grund- und angeregten Zustand und das Atom wird für den
zweiten, schwachen Laser transparent.
Abbildung 4.4: Prinzip der Elektromagnetisch Induzierten Transparenz. Anhand von
Verstimmung und Stärke zweier Laserstrahlen, lässt sich ein spezielles Absorptionsprofil erstellen
Zur Untersuchung des Einflusses beider Laserstrahlen wollen wir die Suszeptibilität und damit die Absorption des Laserlichtes aus der Dichtematrix (ρ = |ΨihΨ|)
berechnen. Diese Darstellung ist für ein Ensemble aus vielen Atomen in einem
n-Niveausystem geeigneter. Wie die Schrödingergleichung die Bewegungsgleichung
für Wellenfunktionen darstellt, kann man im Dichtematrixformalismus die vonNeumann-Gleichung aufstellen.
dρ
= [H, ρ] − i~{Γ, ρ}
(4.38)
dt
Die runden und geschweiften Klammern stehen für Kommutator und Antikommutator. Die Dämpfungsmatrix Γ ergibt sich aus den Zerfallsraten Γii und den Dämpfungen Γij als Nichtdiagonalelemente [24].
i~
Γii Zerfallsraten der Zustände |ii
1
Γij = (Γii + Γjj ) Dämpfungen
2
4.3. ELEKTROMAGNETISCH INDUZIERTE TRANSPARENZ
41
Die von-Neumann-Gleichung hat die Dimension der betrachteten Niveaus n. Schreibt
man die Bewegungsgleichung komponentenweise aus, so erhält man sog. optische
Blochgleichungen. Der Hamiltonian ist wie im vorhergehenden Kapitel folgendermaßen gegeben:


~ω1
0
− ~2 Ωe,g1 eiω1 t


H=
0
~ω2
− ~2 Ωe,g2 eiω2 t  .
− ~2 Ωg1,e e−iω1 t − ~2 Ωg2,e e−iω2 t
~ω3
(4.39)
Die Dämpfungsmatrix hat in diesem Fall die Form:


Γ3 ρ33
− 21 Γ2 ρ12
− 21 Γ3 ρ13

 1
−Γ3 ρ22
− 12 (Γ2 + Γ3 )ρ23  .
Γ = − 2 Γ2 ρ21
− 12 Γ3 ρ31 − 21 (Γ3 + Γ2 )ρ32 −Γ3 ρ33 + Γ2 ρ22
(4.40)
Bei Stößen der Atome muss nicht zwangsläufig ein Übergang stattfinden, manchmal ändert sich nur die Phase des Zustandes. Vernachlässigen wir diesen Effekt,
vereinfacht sich die von-Neumann-Bewegungsgleichung.
i
ρ̇ = − (H, ρ) + Γ
~
(4.41)
Wir beginnen mit den Atomen im Grundzustand und mit einem schwachen Laser
auf dem Übergang |1i → |3i, d.h. die Rabifrequenz für diesen Übergang Ω13 ist
klein.
ρ11 = 1
(4.42)
ρ22 = ρ33 = 0
(4.43)
ρ23 = 0
(4.44)
Weiterhin kann man zeigen, dass sich in der „Rotating-Wave-Approximation“ aus
den Blochgleichungen dann zwei Ausdrücke als Lösungen für die Bewegungsgleichung
ergeben.
−Ω13 (Γ2 − 2i(ω1 − ω2 + ωL1 − ωL2 ))
(4.45)
+ (iΓ3 + 2(ω1 − ω3 + ωL1 ))(Γ2 − 2i(ω1 − ω2 + ωL1 − ωL2 ))
−iΩ13 Ω23
= 2
(4.46)
iΩ23 + (iΓ3 + 2(ω1 − ω3 + ωL1 ))(Γ2 − 2i(ω1 − ω2 + ωL1 − ωL2 ))
ρ31 =
ρ21
iΩ223
Die Suszeptibilität der Übergänge lässt sich dann schreiben als:
χ=N
µij
ρij .
0 E
(4.47)
Daraus lassen sich sowohl Absorption als auch Dispersion ableiten.
Im(χ) : Absorption des Übergangs
(4.48)
Re(χ) : Dispersion des Übergangs
(4.49)
42
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCH INDUZIERTE TRANSPARENZ
Der schwache Kühllaser beobachtet nun ein AC-Stark-verschobenen Zustand,
der unter Wechselwirkung mit dem Feld zu einem bekleideten Zustand geworden
ist. Stimmt man den schwachen Laser durch, sodass seine Frequenz über die Resonanz gefahren wird, so ergibt sich ein (Autler-Townes-) Absorptionsprofil, bei dem
auf Resonanz nichts mehr absorbiert wird, hingegen links und rechts der Resonanz
(Abb. 4.5). Die beiden Absorptionsbanden sind die bekleideten Zustände |1, N i und
|2, N i, die ohne Verstimmung symmetrisch um den ungekoppelten Zustand liegen.
Der Abstand der Niveaus ist hier ΩL , bestimmt durch die Intensität des Lasers.
Abbildung 4.5: EIT-Absorptionsprofil ohne Verstimmung des Kopplungslasers δ32 .
Abbildung 4.6: EIT-Absorptionsprofil bei einer Verstimmung δR des Kopplungslasers
gegenüber der ursprünglichen Resonanz.
Verstimmt man den starken Kopplungslaser, so verschiebt sich das Absorptionsprofil (Abb. 4.6). Man erkennt das Bild, das uns bei dem Avioded Crossing begegnet
ist. Für große Verstimmung (δ > Ω) besteht der Zustand |2, N i hauptsächlich aus
dem Zustand |e, N i, der Zustand |1, N i hauptsächlich aus |g, N + 1i.
4.4. EIT-KÜHLEN
43
In der Nähe des ungekoppelten Zustandes |e, N i sieht der schwache Probelaser nun
eine breite Resonanz.
Die schmale
Resonanz ist der Zustand |1, N i. Da der neue Niveauabstand durch
q
2
Ω = δ − Ω2L gegeben ist, gilt für große Verstimmung δ, dass diese schmale Resonanz im Abstand der Verstimmung zu finden ist.
4.4
EIT-Kühlen
Abbildung 4.7: Übergänge zwischen verschiedenen Schwingungsniveaus. Hier sind
nur die Übergänge ∆n = ±1, 0 erlaubt; sie liegen bei leicht unterschiedlichen Energien.
Betrachten wir nun Atome in einem Fallenpotential. In dem Potential bilden
sich quantenmechanische, diskrete Schwingungsnivaus aus, die bis zu einer gewissen
Höhe besetzt sind. Bis zu dieser Höhe könne man das Potential als harmonisch annehmen. Nehmen wir zwei Schwingungsniveaus n und n-1 heraus. Das Atom befinde
sich im Grundzustand. Ziel ist es nun die beiden, im vorhergehenden Kapitel besprochenen Resonanzen mit Verstimmung δ und Rabifrequenz Ω genau so anzupassen,
dass einerseits der Übergang zum angeregten Niveau mit gleicher Schwingungsquantenzahl nicht getrieben wird. Er befindet sich in dem transparenten Bereich des
EIT-Absorptionsprofils. Andererseits soll gleichzeitig der Übergang zum energetisch
niedrigeren Schwingungsniveau bevorzugt stattfinden. Dieser Übergang sollte beim
Maximum der schmalen, scharfen Resonanz des Profils liegen. Der Übergang zum
Schwingungsniveau n+1 hat eine deutlich kleinere Übergangswahrscheinlichkeit (siehe Abb. A.4).
Bei jedem Pumpzyklus verliert das Atom also einen Schwingungsquant. Gelingt es
ein solches Absorptionsprofil passgenau auf auf das Atom zuzuschneiden, so sollte
man in kürzester Zeit alle Atome in den Schwingungsgrundzustand pumpen können
und dabei ein BEC erzeugen, ohne auf Verdampfungskühlen zurück greifen zu müssen.
Beide Laser werden mit der gleichen Verstimmung ∆1 = ∆2 eingestellt. Das Atom
sei im Niveau |g, ni. Von hier lassen sich entweder der Zustand |e, n + 1i, |e, ni oder
|e, n − 1i anregen (siehe Abb. 4.7). Zerfallen können sie dann wieder in einen der
44
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCH INDUZIERTE TRANSPARENZ
benachbarten Grundzustände. Stellt man die Laser wie oben beschrieben so ein,
dass bevorzugt der Übergang von |g, ni nach |e, n − 1i gepumpt wird, so werden im
Mittel die Atome gekühlt und in den Schwingungsgrundzustand übergehen.
Dazu dürfen nur Übergänge zu den nächsten, benachbarten Schwingungsniveaus
erlaubt sein. Ein Maß für die Wahrscheinlichkeit von Übergängen von einem Schwinungsniveau zu einem anderen bildet der Lamb-Dicke-Parameter.
4.4.1
Lamb-Dicke-Parameter
Damit das Kühlen, bzw. das Durchlaufen der Schwingungsniveaus funktioniert, müssen die Niveaus aufgelöst werden können. Der Energieabstand der Schwingungsniveaus muss viel größer sein, als die Rückstoßenergie 12 mvrecoil des Atoms. Das Fallenpotential kann man sich dazu als harmonischen Oszillator
vorstellen. Die Fallenfrequenz ωtrap bestimmt demnach den Energieabstand der Niveaus ~ωtrap .
Die Bewegung des Atoms im harmonischen Oszillatorqist im
~
Grundzustand durch die charakteristische Länge x0 = ωtrap
m
gegeben.
q
BT
Der Wellenvektor k = ~p = m·v~recoil = 2mk
beschreibt dessen
~2
Bewegungszustand. Aus den beiden Längen k −1 und x0 erhält
man den Lamb-Dicke-Parameter.
s
η=
Erecoil
Etrap
(4.50)
s
=
p
k · x0 =
~k 2
2mωtrap
(4.51)
(4.52)
Übergänge von benachbarten Schwingungsniveaus zu pumpen, bzw. Seitenbandkühlen ist also nur möglich, wenn η 1. In anderen Worten: EIT-Kühlen ist nur möglich, wenn die Fallenfrequenz ausreichend hoch ist.
In [3] wurde für realistische Bedingungen die Effizienz des EIT-Kühlens berechnet.
Es zeigt sich, dass der Lamb-Dicke-Parameter deutlich kleiner eins sein sollte, bei
η < 0.5 ist Kühlen möglich, kleinere Werte von η sind entsprechend besser.
Betrachten wir dazu nochmal einen Ausschnitt aus dem EIT-Absorptionsprofil in
Abbildung 4.8. Blau eingezeichnet sind die Schwingungsniveaus. Hier sieht man, dass
Übergänge zu weiter entfernten Nachbarn, dann akzeptabel sind, wenn das Pumpen
zu geringeren Niveaus das Heizen deutlich überwiegt. Überhaupt nicht gepumpt wird
der Übergang ohne Schwingungsänderung (Transparenz). Die Übergänge ∆n = ±1
haben deutlich unterschiedliche Wahrscheinlichkeit. Ab Übergängen ∆n = ±4 wird
wohl ein Heizprozess überwiegen.
Die alte Kammer hat mit ihrer Dipolfalle aus nur einem Strahl in keiner Dimension eine ausreichende Frequenz erzeugt. Um ein Experiment zum EIT-Kühlen
4.4. EIT-KÜHLEN
45
Abbildung 4.8: Ausschnitt aus dem EIT-Absorptionsspektrum, blau eingezeichnet
sind die Schwingungsniveaus. Übergänge ohne Schwingungsänderung werden nicht
getrieben und Atome im Grundzustand streuen kein Licht mehr (δ = 9 MHz). Für
kleine Übergangswahrscheinlichkeiten zu höheren Schwingungsniveaus gewinnt der
Kühlprozess über das Heizen (δ = 8 bzw 10 MHz). Die Breite der der Resonanz wird
über den Stark-Shift, bzw. die Stärke des Kopplungslasers bestimmt.
machen zu können, benötigt man also eine Falle mit einer größeren Fallenfrequenz.
Dazu bietet sich eine gekreuzte Dipolfalle mit hoher Laserintensität und kleinem
Fokus an. Diese wurde im Laufe dieser Diplomarbeit aufgebaut.
46
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCH INDUZIERTE TRANSPARENZ
Kapitel 5
Fallenparameter
5.1
Fallenfrequenz
Wie im vorangegangenen Kapitel beschrieben, wird ein Lamb-Dicke-Parameter benötigt, der möglichst klein ist. Entsprechend hoch muss die Fallenfrequenz sein, da
die Rückstoßenergie1 von Rubidium fest ist. Ein einzelner, fokussierter Strahl hat
in der einen Richtung einen starken Einschluss, in der zweiten Richtung hingegen
einen deutlich geringeren. In Kapitel 2.2 ist der Ausdruck für das Fallenpotential
angegeben (Gl. 2.9).
2
−2r
1
w2 (1+(z/z0 )2 )
0
UDip (r, z) = U0
e
1 + (z/z0 )2
(5.1)
Die Konstante U0 ist unabhängig von r und z, wobei z die Ausdehnung in Strahlrichtung und r den Radius angeben. Wir nehmen z z0 an und vereinfachen das
Potential durch eine Taylorreihenentwicklung in r.
−2r 2
2
UDip (r, z) = U00 e w0 (1+(z/z0 )
2)
(5.2)
2U00 r2 2U00 r4
+
+ O(r)5
4
w02
w0
2
2r
= U00 1 − 2 + O(r)4
w0
= U00 −
(5.3)
(5.4)
Diesen Ausdruck vergleichen wir mit einem harmonischen Oszillator
1
2r2
!
= − kx2 = U00 1 − 2
2
w0
UH.O.
(5.5)
mit der Frequenz
ωH.O. =
1
q
k/m.
(5.6)
ωr = 2π · 3, 77 kHz
47
48
KAPITEL 5. FALLENPARAMETER
Wir erhalten eine radiale Fallenfrequenz
s
ωr =
4U00
.
mw02
(5.7)
Eine entsprechende Entwicklung lässt sich für die longitudinale Fallenfrequenz durchführen.
U00 λ2 z 2 U00 λ4 z 4
+ 4 8 + O(z)5
π w0
π 2 w04
2
2
λ z
= U00 1 − 2 4 + O(z)4
π w0
UDip (r, z) = U00 −
(5.8)
(5.9)
Es ergeben sich die radiale und longtudinale Frequenz:
s
νrad
1
=
2π
s
νlong
1
=
2π
1
4U0
=
2
2π
mw0
s
2λ2 U0
1
=
4
2π
mw0
4αP
π · · c · mRb87 · w04
s
(5.10)
2αP λ2
.
π 3 · · c · mRb87 · w06
(5.11)
Für eine gekreuzte Falle addieren sich die Potentiale beider Laser. Nehmen wir die
beiden Laserstahlen unter 90◦ an. Dann addieren sich die radiale Komponente des
einen Lasers (U) mit der longitudinalen Komponente des anderen (A). In Taylorreihenentwicklung folgt daraus folgendes Potential:
U (r) + A(r) =
U00
λ2 r 2
2r2
1 − 2 + O(r)4 + A00 1 − 2 4 + O(r)4
wu0
π wa0
(5.12)
Der Vergleich mit dem harmonischen Oszillator
2r2
1
λ2 r 2
!
0
= − kx2 =U00
+
A
0
4
2
w02
π 2 wa0
2
λ2
0
0
r2
= U0
+ A0 2 4
w02
π wa0
UH.O.
ergibt für die Fallenfrequenz
s
ωges =
5.1.1
4U00
2λ2 A00 q 2
+
= ωu + ωa2 .
mw02
mw04
(5.13)
Fallenpotential für EIT
Nun will man das Profil der Elektromagnetisch Induzierten Transparenz genau auf
die Schwingungsniveaus in der Falle anpassen. Entscheidend ist hier allerdings insbesondere die Achse, auf der die EIT-Laser senkrecht stehen. Die ortsabhängige
Wechselwirkung des gebundenen Atoms mit der elektromagnetischen Welle ist
~
νAL ∝ hN 0 |e−i~k~x |N i = hN 0 |e−i~(k·x) cos(θ) |N i.
(5.14)
5.2. DIE WELLENLÄNGE DES DIPOLLASERS
49
Dabei ist ~k der Wellenvektor des EIT-Lasers. ~x ist der Ortsoperator des Atoms. Da
die Falle als dreidimensionaler harmonischer Oszillator nur zwei Eigenfrequenzen
hat, der Vektor ~x also als Überlagerung dieser zwei Achsen dargestellt werden kann,
sieht der EIT-Laser die beiden Komponenten der Falle in Abhängigkeit des Winkels
θ. Die Projektion des Lasers auf die Atombewegung bestimmt hier die Wechselwirkung; ist der Laser parallel zu einer Fallenachse, so sind auch Projektionen des
EIT-Lasers auf die longitudinale Komponente der Atome Null und die Frequenz in
dieser Achse spielt keine Rolle.
Um allerdings eine hohe Fallenfrequenz zu erreichen bietet sich trotzdem eine gekreuzte Dipolfalle an. Zwar hat bei einer gekreuzten Falle nur eine Achse einen
dominaten Einfluss auf die Fallenfrequenz, aber eine Falle mit großer Fallenfrequenz
bedeutet immer auch einen großen Stark-Shift, der beim Laden aus der MOT die
Atome heizt. Daher ist eine Dimple-Trap von Vorteil, bei der zuerst die Atome in
ein großes Volumen geladen und dann in den Fokus eines zweiten, stärker fokussierten Dipollasers gebracht werden können.
Abbildung 5.1: Potentialverlauf einer gekreuzten Dipolfalle
5.2
Die Wellenlänge des Dipollasers
In Kapitel 2.2 wurde gezeigt, dass das Potential einer Dipolfalle entscheidend von der
Wellenlänge abhängt. Zuerst muss die Wellenlänge natürlich einen gebundenen Zustand erzeugen, und zwar sowohl für den Grundzustand, als auch für den angeregten
Zustand. Zwei weitere Effekte für die Wahl einer optimalen Wellenlänge zum Fangen
von Rubidiumatomen sollen im Folgenden kurz besprochen werden: Der Einfluss der
Gravitation und die magischen Wellenlängen.
5.2.1
Gravitationseinfluss
Neben der Dipolkraft wirkt auf die Atome mit der Gravitation immer noch eine weitere Kraft, die vorerst nicht vernachlässigt werden darf. Betreibt man eine schwache
Dipolfalle, so kann die Gravitation die Falle sogar in der z-Achse öffnen. Das Gesamtpotential ist die Überlagerung beider Effekte:
Uges = UDip − mgz.
(5.15)
In Abbildung 5.2 der Einfluss der Gravitation dargestellt. Ist die Kraft des Dipol-
50
KAPITEL 5. FALLENPARAMETER
Abbildung 5.2: Einfluss der Gravitation auf verschieden tiefe Fallenpotentiale. Mit
abnehmender Leistung öffnet sich das Potential.
lasers groß gegen die gravitative Kraft, so erkennt man keinen Einfluss. Mit abnehmendem Fallenpotential treten zwei Effekte ein:
Die Falle öffnet sich und der Nullpunkt der Falle verschiebt sich. Bildet man die
Ableitung des Potentials, so erhält man einen Term aus dem Gravitationspotential, der eine Verschiebung in z-Richtung bewirkt. Besetzen die Atome verschiedene
Niveaus, so kann der Übergang zwischen diesen zu einer Bewegung in z-Richtung
führen. Sie ergibt sich aus der Differenz der Position der Nullstellen beider Niveaus.
Für tiefe Fallen mit großer Verstimmung, wie dem hier benutzten CO2 -Laser für
Rubidium-Atome, ist der Versatz aber im nm-Bereich und damit vernachlässigbar.
Betreibt man die Dipolfalle für Rubidium mit einer Wellenlänge, die näher an der
Resonanz des P-Niveaus liegt, so wird der Unterschied allerdings größer. Die Rechnungen dazu finden sich in Kapitel 7.2.5.
5.2.2
Magische Wellenlängen
Da die Polarisierbarkeit für jeden Zustand unterschiedlich ist und Polstellen bei
den möglichen Übergängen aufweist, gibt es natürlich Wellenlängen, bei denen die
Polarisierbarkeiten zweier Zustände gerade gleich sind. Hier ist der Versatz des Fallennullpunkts für beide Zustände gleich, eine zusätzliche Bewegung beim Pumpen
zwischen diesen Zuständen kann nicht stattfinden. Diese nennt man magische Wellenlängen (einen guten Einblick bietet der Artikel [26]). Sie stellen prinzipiell sehr
interessante Wellenlängen für eine Falle dar. Betrachtet man die magischen Wellenlängen für Rubidium 87, so ist das sehr ernüchternd. Für Rubidium 87 gibt es
nur eine Wellenlänge für die Übergänge 5s2 S1/2 und 5p2 P3/2 bei 790 nm, die diese Bedingung erfüllt (Abb. 5.3). Diese ist allerdings weder für alle Unterzustände
gebunden, noch ist sie besonders stark gebunden. Da der 5S1/2 -Zustand bei 780
nm einen Übergang zum 5P3/2 -Zustand hat, ist dort die Polarisierbarkeit unendlich groß; es entsteht eine Polstelle. Also ist die Änderung der 5S1/2 -Polarisiebarkeit
bei 790nm sehr groß und die Wellenlänge bedarf einer sehr genauen Justage. Dazu
kommt, dass die Verstimmung hier besonders gering ist, was eine hohe Streurate
provoziert.
Eine Falle mit magischen Wellenlängen ist für Rubidiumatome in Hinsicht auf die
Potentialtiefe nicht geeignet.
5.2. DIE WELLENLÄNGE DES DIPOLLASERS
51
Abbildung 5.3: Magische Wellenlänge für den 5s2 S1/2 → 5p2 P3/2 -Übergang. Bei 790
nm schneiden sich die Graphen der Polarisierbarkeiten bei kleinen Werten. Aus [26].
5.2.3
Verfügbare Laser
Seitdem von Albert Einstein schon 1917 postulierten Prozess der stimulierten Emission bis zum ersten MASER (Microwave amplification by stimulated emission of
radiation) von Charles Townes 1953 war es ein weiter Weg, für den Charles Townes schon 1964 den Nobelpreis verliehen bekam. Heute ist die Entwicklung des Lasers zwar in der Alltagswelt angekommen, aber noch immer ein großer Bereich der
aktuellen Forschung. Denn noch immer beschränken die verfügbaren Modelle den
Anwender in der Auswahl der passendsten Spezifikationen. Hier gibt es zum einen
technische Schwierigkeiten, zum anderen bremsen auch die keynesianischen Gesetze
des Marktes.
Die D1- und D2-Linie von Rubidium für den MOT-Betrieb liegen nahe an dem infraroten Bereich, bei dem die Dioden von CD-Laufwerken betrieben werden. Sie sind
deshalb unproblematisch zu erwerben. Dioden zeichnen sich außerdem durch ihre
leichte Handhabung aus. Sie sind klein und haben eine hohe Modulationsbandbreite.
Wie in Abbildung 5.4 ersichtlich, ist für eine Dipolfalle nur der Wellenlängenbereich
jenseits des 5p2 P3/2 → 6s2 S1/2 -Übergangs bei 1530 nm interessant.
Im Telekommunikationssektor benutzt man Faser-Laser mit bis zu 1560 nm Wellenlänge. Der große Vorteil ist, dass man hier noch normale Optiken benutzen kann,
da sich der Brechungsindex von Quarzglas hier noch nicht stark von dem bei sichtbarem Licht unterscheidet. Wollte man eine solche Dipolfalle allerdings aus der MOT
beladen, so müsste man die MOT wegen des Stark-Shifts für den angeregten Zustand
sehr weit verstimmen.
Der am häufigsten benutzte Laser in der Industrie ist der CO2 -Laser. Er arbeitet
bei einer Wellenlänge von 10,6 µm und ist mit großen Leistungen verfügbar. Er ist
deshalb auch bei Dipolfallen ein häufig verwendeter Laser. Allerdings sind normale
52
KAPITEL 5. FALLENPARAMETER
Abbildung 5.4: Polarisierbarkeit der Zustände 5s2 S1/2 (rot) und 5p2 P3/2 (blau).
Optiken in diesem Wellenlängenbereich nicht mehr durchsichtig und man muss von
Glas auf Materialien wie Zink-Selenid umsteigen. Die Fokusierbarkeit geht allerdings
nach Gleichung (3.18) proportional mit λ, die Fallenfrequenz daher mit 1/λ. Will
man durch einen minimalen Fokus ein tiefes Potential und hohe Fallenfrequenzen
erzeugen, so ist der CO2 -Laser nicht optimal.
Zwischen diesen beiden Lasertypen existieren noch diodengepumpte Laser, die bei
Wellenlängen bis 3000 nm verfügbar sind. Sie sind allerdings meist nur bei kleinen
Leistungen verfügbar und haben eine für Dioden typische, breite Abstrahlcharakteristik.
Thulium und Erbium Festkörper-(Faser-)Laser gibt es bei 1940 nm und werden als
„augensichere“ Laser in der Medizin verwendet. In der Medizin werden hohe Leistungen um 10 W nicht benötigt, daher sind die Laser in diesem Leistungsbereich
nicht besonders häufig, aber verfügbar. Sie sind fasergekoppelt und haben zudem
eine gute Strahlqualität.
Abgesehen von der Leistung in Relation zum Preis, sind diese Laser sehr interessante
Kandidaten für eine stark fokussierte Dipolfalle.
Kapitel 6
Konstruktion und Aufbau der
Vakuumkammer
6.1
Kammerkonstruktion
Wie aus den vorangegangenen Kapiteln ersichtlich, stellt ein Experiment zum Kühlen mit Elektromagnetisch Induzierter Transparenz hohe Anforderungen an den Versuchsaufbau. Daher waren einige Änderungen an der Ultrahochvakuum-Kammer
nötig. Wesentlich für die Neukonstruktion waren die zwei Dipolachsen, die für den
bestmöglichen Einschluss sowohl senkrecht aufeinander, als auch senkrecht auf die
Gravitation stehen sollten.
Prinzipiell ist es attraktiv zwischen möglichst vielen Strahlen 90◦ -Winkel zu haben.
Sie erzeugen nicht nur bei den Fallenlasern den besten Einschluss, es ist darüber hinaus auch aus Beobachtungsgründen deutlich leichter damit umzugehen. Die Suche
nach archimedischen Körpern, die überall 45◦ aufweisen, war leider nicht erfolgreich
und so entstand mit der Zeit ein nicht-klassischer Körper aus 26 Flächen, von denen die Flächen der 6 Hauptachsen größer sind (Abb. 6.1). An den großen Flächen
wurden CF 63 Flansch gefräst, die restlichen 20 Flächen sind CF 40 Flansche. Um
diese Menge an Fenstern unterzubringen, benötigt man einen Würfel mit 230mm
Kantenlänge, aus dem die Kammer gefräst wurde (Abb. B.15).
Die Hauptachsen sind auch in der Hinsicht ausgezeichnet, dass hier Linsen für die
Dipolfalle bis 38 mm vor das Fallenzentrum in das Vakuum hineinreichen und trotzdem von außen einstellbar sein müssen. Hier wurde die alte Konstruktion mit einem
beweglichen Faltenbalg aufgegriffen und auf beide Achsen erweitert. Die Funktion
sieht man in Abbildung B.2.
Eine etwas unglückliche Lösung war im bisherigen Aufbau das Imagingsystem.
Hat man Atome in der Kammer gekühlt, so bestimmt man die Temperatur aus der
Ausdehnungsgeschwindigkeit der Atomwolke. Dazu schaltet man alle Laserstrahlen
aus und lässt die Wolke expandieren. Dabei werden die Atome von einem sehr schwachen, resonanten Laserstrahl beleuchtet. Eine Kamera beobachtet das Licht hinter
53
54
KAPITEL 6. KONSTRUKTION UND AUFBAU DER VAKUUMKAMMER
Abbildung 6.1: Die UHV-Kammer mit 26 Flächen. Die Winkel der benachbarten
Flächen zueinander sind meist 45◦ ; zwischen den kleinen trapezförmigen Flächen
bildet sich ein Winkel von 31,4◦ . Auf den 3 Hauptachsen haben CF 63 Flansche
Platz, auf allen anderen CF 40 Flansche.
der Wolke. Aus der so gewonnen Größe der Atomwolke nach verschiedenen Expansionszeiten kann man die Temperatur berechnen.
Dieses Imagingsystem war bisher unter einem Winkel von ca. 30◦ zu der Gravitationsachse. Nach kurzer Zeit ist die Wolke daher aus dem Bildbereich der Kamera
verschwunden. Zudem war die Kamera in einem in drei Dimensionen verdrehten Koordinatensystem in Bezug zu der Dipollaserachse. Um ein leicht verständliches Bild
der Wolke zu bekommen, musste man das Bild transformieren.
Die neue Kammer besitzt nun einen Goldspiegel im direkten Fallweg der Atome.
Über diesen kann ein sich unter dem Lasertisch befindlicher Laserstrahl die Atome
beleuchten. Eine Kamera über der Kammer kann dann ein Absorptionsbild aufnehmen (Abb. B.3). Der beobachtbare Fallweg ist damit um ein vielfaches vergrößert
und die Transformation des Bildes entfällt.
Die endgültige Konstruktion ist in Abbildung 6.2 dargestellt. Hier ist auch der
schwingungsgedämpfte Tisch angedeutet, auf dem sich der Aufbau befindet, um eine
Aufheizung der Atome durch Bewegungen von Kammer oder Lasern zu verringern.
Die Hauptkammer ist an dem Verbindungsstück zum Pumprohr mit der Tischplatte
verbunden; die Ionenpumpe hängt hier frei in der Luft. Die Schwingung des neuen Tisches wurden ohne Aufbau gemessen, die Schwingungen des alten Aufbaus mit
ausgeschalteten Pumpen. Die Veränderung ist in Abbildung 6.3 dargestellt. Auch die
durchgehende, steife Platte, auf der alle Bauteile Platz haben, sollte die Stabilität
6.1. KAMMERKONSTRUKTION
55
Abbildung 6.2: Aufbau von Vor- und Hauptkammer. Ganz unten befindet sich eine
Turbopumpe, die in beiden Kammern ein Vorvakuum erzeugt. Die beiden Kammern
können mit zwei Ventilen voneinander getrennt werden. Dann werden beide Kammern einzeln durch ihre Ionenpumpen evakuiert. Die Vorkammer hat ihre Spule
außen, bei der Hauptkammer befinden sie sich innerhalb der Kammer.
56
KAPITEL 6. KONSTRUKTION UND AUFBAU DER VAKUUMKAMMER
des Aufbaus erhöhen.
Abbildung 6.3: Messung der Tischschwingung auf dem neuen Tisch ohne Kammer
und dem alten Tisch mit Kammer, aber abgeschalteten Pumpen. Aufgetragen sind
die Amplituden in µm gegen die Frequenz. Der Unterschied ist gering und kann auch
von den unterschiedlichen Messbedingungen kommen, da neben den Pumpen noch
Geräte an dem Tisch waren, die Schwingungen auf dieser Skala erzeugen könnten.
6.2
Konstruktion der Magnetfeldspulen
Wie in Kapitel 1.3.1 dargestellt, benötigt die magneto-optische Falle eine Antihelmholtz-Spulenanordnung. Dabei ist vor allem der erzeugte Magnetfeldgradient im
Zentrum entscheidend. Nach Gleichung (1.12) skaliert dieser linear mit dem Strom,
der durch die Spule fließt. Gleichzeitig nimmt der Gradient stark mit dem Abstand
der Spule vom Zentrum der Falle ab und ist nicht zuletzt abhängig von dem Radius
der Leiterschleifen.
Es wurden an diesem Experiment schon verschiedene Konstruktionen ausprobiert.
Dabei hat sich herausgestellt, dass Spulen, die sich außerhalb der Kammer in einem
Abstand von ca. 15 cm zum Fallenzentrum befinden, zum Erzeugen eines ausreichenden Gradienten so viel Wärme entwickeln, dass sie nicht ohne Wasserkühlung
auskommen. Jede Wasserkühlung bringt aber Schwingungen mit sich. Eine Konstruktion, die eine Wasserkühlung benötigt, sollte deshalb vermieden werden.
Zuletzt waren Spulen im Einsatz, die mit einer Vakuumdurchführung in die Kammer
hineingeführt wurden. Sie waren konisch gewickelt, sodass sie Strahlen in ihrer Nähe
nicht im Weg standen und die Spulen trotzdem möglichst nah am Fallenzentrum waren. Die Wärmeabgabe der Spulen an das Vakuum ist dabei vernachlässigbar gering
und ist nur durch Ableitung in den Leitern und dann durch Abgabe der Wärme an
die Luft möglich. Entsprechend hoch ist die Wärmeentwicklung, bzw. die Beschränkung des fließenden Stromes.
Da die neue Kammer mehr Fenster besitzt und sich deren Winkel zueinander geän-
6.2. KONSTRUKTION DER MAGNETFELDSPULEN
57
dert haben, war die alte Konstruktion nicht zu übernehmen.
Die maximale Wärmeentwicklung der Spule im Vakuum lässt sich aus der Wärmeleitungsgleichung herleiten und berechnet sich nach folgender Formel [14]:
T (x) =
3 I 2 Rρ 2
L + T (x = 0).
8 2λm
(6.1)
mit den Parametern Strom I, Widerstand R, Dichte ρ, Wärmeleifähigkeit λ, Masse
m, Drahtlänge L, Drahtdurchmesser d; der Wert T (x = 0) muss experimentell bestimmt werden. Bei den bisherigen L = 0.5 m, d = 2mm, I = 15 A ergibt das etwa
100◦ C.
Es wurden nun verschiedene Spulenformen simuliert:
58
KAPITEL 6. KONSTRUKTION UND AUFBAU DER VAKUUMKAMMER
6.2. KONSTRUKTION DER MAGNETFELDSPULEN
59
Abbildung 6.4: Links abgebildet sind die Spulenkonstruktionen, dreidimensional mit
ihren Abmaßen in mm. Angedeutet sind dabei auch die Laserstrahlen, deren Weg bei
der Konstruktion beachtet werden musste. Rechts ist die Berechnung des Magnetfeldes um das Zentrum beider Spulen in Antihelmholtz-Anordnung. Nicht beachtet
wurden Zuleitungen.
60
KAPITEL 6. KONSTRUKTION UND AUFBAU DER VAKUUMKAMMER
Bis auf das zuletzt abgebildete Modell, müssten alle Konstruktionen im Vakuum
realisiert werden. Sie sind mit einem Ampere gerechnet, der dazugehörige, rechts
abgebildete Gradient ist also mit dem endgültigen Strom zu multiplizieren. Der ist
allerdings nach Gleichung (6.1) begrenzt durch die Wärmeentwicklung und die damit
zusammenhängende Länge der Spule. Als beste Lösung schien es eine Konstruktion
zu bauen, die in das Vakuum hineinreicht, aber trotzdem eine hervorragende Wärmeleitung nach außen hat. Die Spule wird nun in einem Rohr zum Fallenzentrum
geführt, ist zur Wärmeableitung auf einem Kupferstab (siehe Abb. B.14) und aus
Gründen der Feldsymmetrie doppelt gewickelt. Wie schon bei der alten Spule laufen
die Windungen konisch zusammen.
Abbildung 6.5: Doppelt konisch gewickelte Spule mit Magentfeldgradient. Da die
Spule außerhalb des Vakuums realisiert werden kann, ist die Wäremeentwicklung
deutlich reduziert. Der abgebildete Gradient ist aufgrund der großen Zahl an Leiterschleifen (2x16) sehr hoch. Zusätzlich kann bei dieser Konstruktion mehr Strom bei
gleicher Wärmeentwicklung fließen.
Da die Form der Spule geometrisch vorgegeben ist, bleiben als Optimierungsparameter noch die Drahtdicke und die Windungszahl. Der Strom sei keine begrenzende
Größe. Es gilt
Widerstand R ∝
1
r2
(6.2)
1
(6.3)
r
Da die Spule auf einen Kupferblock gewickelt ist, ist die Oberfläche für die Wärmeabgabe immer gleich.
Windungen ∝
Temperatur T ∝ R ∝
1
r2
(6.4)
Und demnach
T
1
= .
(6.5)
B
r
Je dicker der Draht ist, umso besser ist das Verhältnis von Temperatur zu Magnetfeld. Der Gradient bei einem Ampere ist mit der neuen Spule als ca. 1, 17 G/cm
6.2. KONSTRUKTION DER MAGNETFELDSPULEN
61
berechnet worden. Die Berechnung der alten Spule liegt bei ca. 0,97 G/cm.
Zum Vergleich wurde der Gradient beider Spulen gemessen. Dazu wurden beide Spulen in ihrem jeweiligen Abstand montiert und bei 15 A in Antihelmholtz-Anordnung
betrieben. Eine Sonde wurde auf einer Platte mit µm-Schraube in der Mitte beider
Spulen befestigt und in 50 µm-Schritten entlang der Spulenachse bewegt (Abb. 6.6).
Bei der alten Spule wurde der Gradient bei einem Strom von 15 A als 13,6 G/cm
gemessen, der Gradient der neuen Spule lag bei 12,4 G/cm. Bei einem Gauß entspricht dies 0,9 G/cm, bzw. 0,82 G/cm. Beide Werte liegen unter den Werten der
Simulation. Eine Fehlerquelle ist sicherlich die Präzision, mit der man die Sonde in
das Zentrum des Feldes bringt; die Sonde selbst hat eine Fläche von ca. 1 mm2 .
Bei gleicher Stromstärke sind sich die beiden Spulen zumindest ebenbürtig, die neue
Spule entwickelt dabei allerdings deutlich weniger Wärme.
Abbildung 6.6: Messung und Fit des Magnetfeldes zweier Spulen bei 15 A in Abhängigkeit vom Ort. Rot ist die alte Spule abgebildet, blau die neue.
Ein weiterer Vorteil der neuen Konstruktion ist die Auswechselbarkeit der Spulen,
ohne das Vakuum öffnen zu müssen. Ein Durchbrennen der Spule, wie beim alten
Aufbau geschehen, ist nicht mehr mit so gravierenden Folgen verbunden. Eine Taktung des Stromes, der die Spulen durchfließt, ist nun unkritisch. Da die Spule fest
auf ihren Kupferblock gewickelt ist, kann eine beim Takten auftretende Kraft die
Spulen nicht mehr bewegen und die räumliche Position des Nullpunktes des magnetischen Feldes nicht mehr verschieben.
Natürlich sind die Rohre, wie auch die Kammer und alle sich in der Nähe befindlichen Teile, aus nichtmagnetischem Edelstahl gefertigt, damit man das Feld instantan
abschalten kann und keine Hystereseeffekte auftreten.1
1
Bei Edelstahl ist im Gegensatz zum normalen Stahl aufgrund der Legierung die Gitterstruktur
anders (kubisch-flächenzentriertes Gitter). Daher können sich die Atome nicht ausrichten und das
62
6.3
KAPITEL 6. KONSTRUKTION UND AUFBAU DER VAKUUMKAMMER
Umbauten an der MOT
Beim Neuaufbeu der zwei MOTs wurden noch ein Paar Dinge geändert, die hier nur
in Kürze angeführt werden sollen.
Bisher wurde die Vorkammer mit einem stabilisierten Laserdiodensytem betrieben;
die Hauptkammer hatte einen zweiten Laseraufbau, der etwas weniger Leitung hatte, dafür aber verstimmbar war. Der Vorkammerstrahl, sowie der Rückpumpstrahl
wurden mit Spiegeln direkt zur Falle geleitet.
Der Vorkammertisch wurde nun komplett eingespart. Dazu wurde der verstimmbare
Hauptkammerstrahl über eine Faser zur Falle geführt. Um die erforderliche Leistung
zu erreichen wird der Strahl dort zuerst über eine Laserdiode vorverstärkt. Dieses
Licht wird dann in einen Breitstreifenemitter eingekoppelt, der im Rahmen der Arbeit [4] aufgebaut wurde. Damit kann die Leistung auf 200 mW verstärkt werden
und damit beide Kammern versorgen. Ebenso wurde der Rückpumpstrahl per Faser
zum Fallentisch geführt. Damit sind die verschiedenen Tische nun vollständig unabhängig voneinander.
Eine weitere Änderung betrifft die Rubidiumquelle. Sie ist nun durch ein Ventil
von der Vorkammer trennbar. Muss man das Vakuum öffen, so kann man vorher
das Ventil zur Rubidiumampulle schließen. Beim anschließenden Ausheizen muss sie
dann nicht zwangsläufig ausgetauscht werden.
6.4
Vakuum
Wie in Kapitel 1.4 beschrieben, ist ein gutes Vakuum ein wichtiges Kriterium für
Experimente bei sehr geringen Temperaturen. Um ein ausreichend gutes Vakuum
zu erreichen, sind einige Anstrengungen erforderlich.
In der allgemeinen Umgangssprache bezeichnet man als Vakuum einen luftleeren
Raum. Einen Raum ohne Teilchen lässt sich aber nirgendwo auf der Erde erreichen.
Zum Glück gibt es in Deutschland für alles eine Norm und so können wir erfahren,
dass man einen Druck als Vakuum bezeichnen darf „wenn in einem Behälter der
Druck des Gases und damit die Teilchenzahldichte niedriger ist als außerhalb oder
wenn der Druck des Gases niedriger ist als 300 mbar, d.h. kleiner als der niedrigste
auf der Erdoberfläche vorkommende Atmosphärendruck“.2
Der geneigte Leser mag sich wundern und so unterscheidet man außerhalb der Norm
verschiedene Vakua nach ihrem Druck und klassifiziert sie sinnvoller nach ihrer Eigenschaft.
Material ist nichtmagnetisch.
2
DIN 28400, Teil 1
6.4. VAKUUM
6.4.1
63
Strömungsarten
Bei Umgebungsdruck von durchschnittlich 1013 mbar auf Meereshöhe befinden sich
in 22,4 Litern 6·1023 Teilchen. Die Abhängigkeit von Druck zu Teilchenzahl ist durch
die allgemeine Gasgleichung gegeben
pV = N kB T,
(6.6)
wobei p der Druck, V das Volumen, kB die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur darstellen. So, wie die Teilchendichte mit dem Druck abnimmt, so steigt ihre
freie Weglänge λ.
λ= √
V
2πN d2
(6.7)
Dabei ist d ein minimaler Abstand, der dem Teilchendurchmesser entspricht. Das
Verhältnis aus freier Weglänge und der Größe der Vakuumaperatur scheint ein geeignetes Mittel zur Charakterisierung des Vakuums: Man definiert die Knudsenzahl
Kn =
λ
.
d
(6.8)
Abbildung 6.7: Strömungsarten im Vakuum. Je geringer der Druck, desto weniger
beeinflussen sich die Teilchen untereinander. Die Bewegungsrichtung eines Teilchen
ist bei geringen Drücken nicht mehr durch Druckunterschiede bestimmt.
Als Grobvakuum bezeichnet man einen Druck, den zu Hause regelmäßig jeder
Staubsauger herstellt; einen Bereich von 300 bis 1 mbar.
Die Strömung ist hier noch wesentlich bestimmt durch den Kontakt der Teilchen
untereinander. Der Kontakt zu den Wänden der Aperatur ist nebensächlich. Die
64
KAPITEL 6. KONSTRUKTION UND AUFBAU DER VAKUUMKAMMER
mittlere freie Weglänge λ ist also deutlich kleiner als die Größe der Vakuumaperatur
d. Die Strömung bezeichnet man als Kontinuumsströmung, oder auch viskose
Strömung. Hier gilt Kn ≤ 0, 01, bzw. λ d.
Den nächsten Bereich bezeichnet man als Feinvakuum mit einem Druck von
bis 10−3 mbar. Dies entspricht einer Knudsenzahl 0, 01 ≤ Kn ≤ 0, 5, oder einer
freien Weglänge bis zur Größenordnung der Kammer. Hier befindet man sich in einem Übergangsbereich von laminarer und molekularer Strömung.
100
Interessant wird erst der Bereich des Hoch- und Ultrahochvakuums (UHV).
Bei einem Druckbereich von 10−3 bis 10−7 bzw. < 10−7 mbar spielen die Stöße
der Teilchen untereinander keine entscheidende Rolle mehr. Es herrscht eine reine
molekulare Strömung vor, bei der die Teilchen ihren Weg von Kammerwand zu Kammerwand zurücklegen und an den Wänden gestreut werden. Entsprechend werden
Druckunterschiede nicht mehr sofort ausgeglichen und der Leitwert der Rohre ist
entscheidend für den erreichbaren Druck.
6.4.2
Leitwerte
Im Bereich des UHV lässt sich der Leitwert eines Bauteils folgendermaßen angeben3
8 r3
L=
3 l
s
πRT
,
2M
(6.9)
wobei r den Radius des Bauteils, l seine Länge, R die Gaskonstante, T die Temperatur und M das Molekulargewicht angeben.4 Der Leitwert stellt analog zum Strom
einen Widerstand dar, der das effektive Saugvermögen beschränkt. Entsprechend
berechnen sich die Vernetzungen von Pumpen und Rohren nach den Kirchhoffschen
Regeln. Das effektive Saugvermögen ist definiert durch
1
Sef f
=
1
SPumpe
+
1
.
L
(6.10)
Das Saugvermögen ist das pro Zeiteinheit abgepumpte Volumen S = dV /dt. Einem
perfekten Vakuum steht jetzt nur noch die Ausgasrate der Kammeroberflächen im
Wege.
Aus Stahl dampfen in einer UHV-Kammer hauptsächlich H 2 und CO aus. Die Konzentration eines Stoffes in einer Stahlplatte lässt sich durch das Ficksche Gesetz
∂2C
beschreiben: ∂C
∂t = DH ∂x2 ,
wobei C die Konzentration von H2 , DH der Wasserstoffdiffusionskoeffizient in Metall
und x die Tiefe in der Platte angibt. Die H2 -Ausgasrate von der Oberfläche kann in
folgender Form dargestellt werden
qout (t) =
3
4
2C0 DH −π2 DH2t
4d
e
d
Ein 90◦ Winkel verursacht einen Faktor zwei im Leitwert
R = 8, 31Jmol−1 K −1 , T ≈ 300K, MH2 ≈ 2gmol−1
(6.11)
6.4. VAKUUM
65
mit Wanddicke 2d, DH = D0 e(ED /kT ) , E0 = 0, 56 eV, D0 ≈ 0, 012 cm2 /s für Edelstahl.
Wie gut kann nun der Druck in der Kammer werden?
In der Literatur (siehe [29]) findet sich eine Angabe für die Ausgasrate von qout =
10−12 mbar l/(s cm2 ). Der Druck P multipliziert mit der Pumpgeschwindigkeit Sef f
ergibt den Pumpendurchsatz. Dieser entspricht der Ausgasrate qout multipliziert mit
der Kammeroberfläche A.
P =
qout A
Sef f
(6.12)
Entsprechend wurde beim Aufbau der Kammer auf gute Leitwerte geachtet. Eine
Überschlagsrechnung für realistische Werte bei diesem Aufbau liefern einen Enddruck von 5 · 10−11 mbar.
6.4.3
Erzeugen des Vakuums
Da die verschiedenen Druckbereiche verschiedene Eigenschaften z.B. bezüglich der
Teilchenbewegung besitzen, kommen auch verschiedene Pumpen zum Einsatz, die
mit unterschiedlichen Prozessen das Vakuum erzeugen.
Vorpumpen arbeiten in einem Bereich bis mbar und erzeugen ein Vorvakuum, das
nur dafür erzeugt wird, dass die nachgeschalteten Pumpen in ihren Arbeitsbereich
kommen. Sie sind meist Verdrängerpumpen und arbeiten, indem sie ein Arbeitsvolumen in der Größe ändern.
Den zweiten Schritt bis 10−8 mbar leisten Turbopumpen. Sie besitzen Rotorblätter,
deren Geschwindigkeit ungefähr der mittleren Geschwindigkeit der Gasmoleküle entspricht. Die Rotorblätter geben den sich in die Pumpe verirrenden Atomen einen
gerichteten Impuls und bauen so einen Druckunterschied auf, den die Vorpumpe
abbauen kann.
Ionenpumpen ionisieren dann in einem starken E-Feld das Restgas und bauen dieses
in die Pumpenwand ein. Damit können Drücke von 10−10 mbar erzeugt werden.
Die Pumpe, die an die UHV-Kammer angeschlossen ist, arbeitet mit noch einem
Mechanismus, der den Druck um eine weitere Potenz erniedrigen kann. Auf die
Oberfläche der Pumpe lässt sich Titan aufdampfen, das ein starkes Potential hat,
weitere Atome an sich zu binden.
Um den viele Wochen dauernden Pumpprozess zu beschleunigen wurde die Kammer
fünf Tage bei ca. 200◦ C ausgeheizt. Dabei lösen sich Ablagerungen, insbesondere
Wasser, von den Wänden und können von der Turbopumpe abgepumpt werden.
66
KAPITEL 6. KONSTRUKTION UND AUFBAU DER VAKUUMKAMMER
Kapitel 7
Dipolfalle: Messungen und
Berechnungen
In Zukunft soll eine gekreuzte Dipolfalle mit zwei Lasern zum Einsatz kommen. Da
der zweite Laser noch nicht gekauft wurde, beziehen sich die bisherigen Messungen
nur auf einen Laser. Dies ist ein CO2 -Laser der Firma Coherent1 , spezifiziert mit
einer Leistung von mindestens 25 Watt, bei einer Strahlgröße von 1, 8 ± 0, 2 mm
und einem Strahldivergenzwinkel von 7, 5 ± 0, 5 mrad. Die Strahlqualität soll einen
M 2 -Wert von maximal 1, 2 aufweisen. Des Weiteren kann man dem Laser einen
TTL-Puls vorgeben und damit Leistung gepulst abgeben lassen, bzw. die Leistung
entsprechend dem Verhältnis von Pulsdauer und Wiederholungsrate reduzieren.
Mehr als 98% der abgegebenen Leistung ist in der TEM00 -Mode, die bei einer Wellenlänge von 10,6 µm emitiert. Bei dieser Wellenlänge kann man nicht mit normalen
Glasoptiken arbeiten, die ab ca. 4 µm eine Absorption von 100% haben. Man benutzt Gold- oder Silberspiegel mit einer Reflektivität von mehr als 98% bei 10,6
µm und Zink-Selenid-Optiken. Letztere haben ohne Beschichtung eine Transmission
von 70%, mit Anti-Reflexbeschichtung eine Transmission von ≥ 99, 3% unter einem
Einfallswinkel von 0-15◦ .
7.1
Die Linse
Die neue ZnSe-Linse, mit der der CO2 -Laser fokussiert wird, um die Dipolfalle zu
erzeugen, hat etwas andere Abmaße als die alte Linse, was nicht nur Auswirkungen
auf ihre Halterung hat, sondern auch auf ihre Position im Vergleich zum Fokus.
Wie in Kapitel 3.4 beschrieben, kann man Linsen ab einem gewissen Verhältnis von
Randdicke zu Brennweite nicht mehr als dünne Linsen beschreiben, sondern muss
deren Ausdehnung berücksichtigen. Dabei erhält man zwei verschiedene Hauptebenen, die unter Umständen auch vor oder hinter der Linse liegen können.
Die benutzte Linse ist eine Meniskuslinse mit einem Durchmesser von 38, 05 ± 0, 1
mm. Die Brennweite ist mit 38,1 mm ±0,5% angegeben. Der äußere Krümmungsra1
Coherent LC-25 Laser
67
68
KAPITEL 7. DIPOLFALLE: MESSUNGEN UND BERECHNUNGEN
Abbildung 7.1: Maßstabsgetreue Skizze der ZnSe-Linse
dius (konvex) beträgt R1 = 33.6 mm, der innere Krümmungsradius (konkav) beträgt
R2 = 81.5 mm. Bei einer Randdicke von 2,4 mm ergibt sich bei einem Brechungsindex von n = 2, 40272 bei 10,6 µm die Lage der Hauptebenen (Gl. 3.19):
f (n − 1)d
= −4, 00 mm
nR1
f (n − 1)d
= −1, 65 mm
h2 = −
nR2
h1 = −
(7.1)
(7.2)
Dies stimmt gut mit den Angaben des Herstellers überein:
h1 = −3, 959 mm
(7.3)
h2 = −1, 632 mm
(7.4)
Auch die Brennweite kann man anhand dieser Radien nachrechnen:
1
1
1
(n − 1)d
= (1 − n)
−
+
f
R1 R2
nR1 R2
=
1
.
37, 96 mm
(7.5)
Ein entscheidender Parameter für das Experiment ist die Fallenfrequenz und die
ist bestimmt durch die Fokusgröße. Die Fokusgröße wurde für den alten Aufbau
schon einmal auf verschiedene Arten bestimmt. Allerdings gab es dabei deutliche
Unterschiede zwischen Berechnung und Experiment. Und auch die Interpretation
der Daten war nicht eindeutig. Darum wurde die Fokussierbarkeit mit der neuen
Linse noch einmal überprüft.
7.1.1
Fokusmessung
Im Experiment kann man die Fallenfrequenz bestimmen, indem man das Fallenpotential leicht moduliert und damit eine Anregung der Atome verursacht. Ist diese
Anregung gerade in Resonanz mit der doppelten Fallenfrequenz, so werden viele Atome aus der Falle geworfen. Mit dieser Methode wurde ein Fokusradius von w0 = 37
µm bestimmt.
7.1. DIE LINSE
69
Nach Gleichung (3.18) kann man aus der Divergenz (Öffnungswinkel=2θ) des fokussierten Strahls den Fokus berechnen:
w0 =
λM 2
.
π tan(θ)
(7.6)
Dazu fährt man eine Schneide durch den Strahl und misst dahinter die Intensität.
Abbildung 7.2: Messung des Strahlquerschnitts
Man erhält eine Error-Funktion, die die Faltung aus Gaußprofil des Strahls und der
Schneidenfunktion ist. Durch Ableiten erhält man also das ursprüngliche Gaußprofil.
In den Rechnungen wird die Breite des Gaußprofils als der 1/e2 -Wert angenommen.
Diese Messung macht man an vielen Punkten hinter der Linse und kann daraus den
Divergenzwinkel bestimmen. M 2 wird dabei als bekannt vorausgesetzt. Nach dieser
Methode wurde für den alten Aufbau ein Fokusradius von w0 = 31 µm bestimmt.
Eine Simulation ergab ein w0 von 25 µm. Da der Fokusradius je nach Richtung mit
der zweiten bzw. dritten Potenz in die Fallenfrequenz eingeht, ist eine solche Abweichung zwischen Rechnung und Wirklichkeit bei der Planung eines Neuaufbaus
nicht hinnehmbar. Eine wesentliche Fehlerquelle kann der AOM2 gewesen sein, der
bei der Messung nicht vorhanden war, im Experiment aber schon.
Zuerst wurde daher die Strahldivergenz mit AOM gemessen. Das AOM war bewusst
nicht optimal in den Strahlengang gestellt. Es wurde an zwei Punkten im Abstand
von 52 und 128 cm von dem Laser gemessen. Es ergab sich eine Strahldivergenz von
5,4◦ bzw. 94 mrad. Ein Vielfaches von der Herstellerangabe.
Da das AOM im neuen Experiment wahrscheinlich nicht gebraucht wird, wurden
alle weiteren Messungen ohne AOM aufgenommen. Eine weitere Fehlerquelle kann
durch das M 2 verursacht werden. Dem Experiment am nächsten sollte eine Messung
unter voller Leistung sein. Misst man zusätzlich den Fokus direkt aus, so kann man
2
Ein akkusto optischer Modulator (AOM) erzeugt Schallwellen in einem Medium, dass von einem
Laserstrahl durchlaufen werden kann. An den entstehenden Phononen verschiebt sich die Frequenz
der Photonen des Laserstrahls, aber auch ihre Ausbreitungsrichtung. Ein Teil der Leistung bleibt
in der ursprünglichen Frequenz, ein Teil wird verschoben.
70
KAPITEL 7. DIPOLFALLE: MESSUNGEN UND BERECHNUNGEN
aus dem Verlauf das M 2 mitbestimmen und durch die direkte Messung eine definitive Aussage über die Fokusgröße erhalten.
Die direkte Messung des Fokus stellt allerdings große Probleme dar, weil bei voller
Leistung die Energiedichte so hoch ist, dass die Schneide (hier eine Rasierklinge)
verdampft wird. Die Messung erfolgt also in zwei Schritten:
1. Zuerst wurde von zwei Siliziumwafern 99 Prozent der Energie aus dem Strahl
gebrochen und mit den restlichen ca. 1 Prozent die Divergenz ausgemessen.
2. Mit einem weiteren Siliziumwafer wird die Leistung auf 0,1 Prozent reduziert
und der Fokus ausgemessen. Die Auflösung des Leistungsmessers ist hier nicht
mehr besonders gut und damit der Fehler entsprechend höher.
Es wurden an 11 Messpunkten über einen Bereich von 10 mm entlang der Strahlachse die Leistung hinter der Schneide aufgenommen. Jeder Messpunkt enthält mehr
als 10 Leistungsdaten. Diese Leistungsdaten wurden mit folgender Funktion gefittet:
P (x) = A + B · Erf(C + Dx).
(7.7)
Typische Ergebnisse sind in Abbildung 7.3, 7.4 und 7.5 dargestellt.
Der M 2 -Faktor wurde als 1,1 angenommen. Aus der Steigung ergibt sich nun
nach Strahlpropagation über 320 cm ein Fokusradius von 8, 3 ± 0, 2 µm. Berechnet
man zuerst den Strahlradius auf der Linse aus der Divergenz, so ergibt sich ein
Durchmesser von ca. 24 mm. Bei einer Brennweite von 38,1 mm entspricht dies
einem Fokusradius von 10,96 µm.
Der minimale gemessene Fokusradius betrug 9 ± 1 µm.
7.1.2
M 2 -Bestimmung
Der M 2 -Faktor ist bisher immer als gegeben angenommen worden. Eine grobe Abschätzung liefert der Vergleich von direkt gemessener Größe und der aus der Divergenz bestimmten Größe.
M2 =
w0θ
w0direkt
· 1, 1 = 1, 2
(7.8)
Misst man den Divergenzwinkel,
sowie den Fokus in einer Messung, so kann
p
man die Gleichung w(z) = 1 + (z/z0 )2 aus Kapitel 3.3 (Gl. 3.14) folgendermaßen
erweitern und als Fitfunktion benutzen:
v
u
u
(z − c)λM 2 2
w(z) = t1 +
.
2
πwo
(7.9)
M 2 ist dabei Fitparameter. Eine Messung wurde mir einer Linse mit f = 10 cm nach
100 cm Strahlpropagation gemacht. Statt einer Rasierklinge als Schneide, wurde
der Strahl mit einem Kupferblock abgeschnitten um die volle Leistung auf dem
7.1. DIE LINSE
Abbildung 7.3: Errorfunktion ca. 7 mm vor dem Fokus
Abbildung 7.4: Errorfunktion ca. 2 mm vor dem Fokus
Abbildung 7.5: Verzogene Errorfunktion mit Loch in der Schneide
71
72
KAPITEL 7. DIPOLFALLE: MESSUNGEN UND BERECHNUNGEN
Abbildung 7.6: Fokusradius nach 320 cm. Man erkennt an dem letzten Punkt den
Einfluss des Loches in der Klinge. Unter dem Mikroskop war dieses deutlich sichtbar.
Leistungsmesser zu haben. Es ergab sich ein M 2 von 1,3. Allerdings ist die Auflösung
durch die Rauhigkeit des Blockes beschränkt und daher nur eine Obergrenze.
Im Rahmen der Fehler kann man davon ausgehen, dass man die Herstellerangabe
von M 2 ≤ 1, 2 auch im Experiment annehmen kann und sie nicht wesentlich durch
die Linsenapertur oder andere Effekte negativ beeinflusst wird.
7.2
Berechnungen zu den Parametern der Dipolfalle
Um eine Dipolfalle neu zu entwerfen, ist es wichtig, vorher die wichtigen Parameter
abzuschätzen. Hier sind zum Beispiel die Fallenfrequenz zu nennen, aber auch der
in der Falle auftretende Stark-Shift oder der Einfluss der Gravitation.
7.2.1
Polarisierbarkeit
Wie in Kapitel 2 beschrieben, ist das Fallenpotential gegeben durch die Beziehung
UDip = −
1
Re(α)I.
20 c
(7.10)
Unser erstes Augenmerk legen wir deshalb auf die Berechnung der Polarisierbarkeit.
Ohne weiteres müssen wir diese zunächst quantenmechanisch betrachten. Für den
quantenmechanischen Polarisierbarkeitstensor gilt [17]:
α̂q0 q = α̃
X ∆Fmax ,F 0
max
F0
∆F,F 0
fF 0 F
X
0
0
,m+q
F ,m+q
cFF,m+q−q
|F, m + q − q 0 ihF, m|. (7.11)
0 cF,m
m
Beim Betrieb der MOT wird der Übergang vom 5s2 S1/2 nach 5p2 P3/2 getrieben.
Diese beiden Zustände sind also besetzt und werden in der Falle polarisiert. Für die
Polarisierung spielen alle möglichen, erlaubten Übergänge eine Rolle; je größer die
7.2. BERECHNUNGEN ZU DEN PARAMETERN DER DIPOLFALLE
73
Übergangswahrscheinlichkeit ist, um so stärker ist die Polarisierbarkeit. Tabelle A.3
im Anhang gibt einen Überblick über die auftretenden Linien. Die Clebsch Gordan
Koeffizienten berechnen sich über den Drehimpuls F = I + J mit Kernspin I = 3/2.
q beschreibt die Änderung von m bei der Anregung des Atoms, q’ die Änderung,
wenn das Atom in seinen Ausgangszustand zurückkehrt. Es ist, abhängig von der
Polarisierbarkeit, -1 für σ − -Licht, 0 für π-Licht und 1 für σ + -Licht. Von Polarisierbarkeit, statt Übergang lässt sich nur reden, wenn q = q 0 . In der MOT wird der
Übergang F = 2 → F 0 = 3 getrieben. ∆F,F 0 = ωDipol − ωRb ist die Verstimmung des
Dipollasers gegenüber der Resonanz F → F 0 . Berechnet man nun die Polarisierbarkeit für die Übergänge q = q 0 = −1, sowie q = q 0 = 0 und q = q 0 = 1 so erhält man
für alle die gleiche Polarisierbarkeit.
Die folgenden Rechnungen wurden deshalb mit der folgenden klassischen Formel
angestellt:
α=
3π0 c3 X
Γi
Γi
+
.
f
i
ω0 − ωi ω0 + ωi
2w03 i
(7.12)
Abbildung 7.7: Polarisierbarkeit des S-Zustandes (rot) und des P-Zustandes (blau)
Für die Berechnung wurden nur die dominanten Übergänge berücksichtigt. Für
den 5s2 S1/2 -Zustand sind das die Übergänge nach 5p2 P1/2 (795 nm) und 5p2 P3/2
(780 nm). Für den 5p2 P3/2 -Zustand sind das die Übergänge nach 6s2 S1/2 (1367 nm),
4d2 D3/2 (1529 nm) und 4d2 D5/2 (1529 nm).3 Die Polstellen der Polarisierbarkeit befinden sich jeweils bei den Übergängen, die Änderung der Polarisierbarkeit ist in deren Umgebung besonders groß. Eine große Polarisierbarkeit ist zwar wünschenswert,
allerdings sollte eine Schwankung in der Wellenlänge keinen signifikanten Einfluss
auf die Tiefe des Fallenpotentials haben. Zudem sollten beide Zustände in der Falle
3
Die vernachlässigten Linien liegen alle bei höheren Energien.
74
KAPITEL 7. DIPOLFALLE: MESSUNGEN UND BERECHNUNGEN
gebunden sein; sinnvolle Wellenlängen für einen Dipollaser sind also deutlich jenseits
der 1530 nm.
7.2.2
Dipolpotential
Denkbar sind Laser bei λ =2000 oder λ =10000 nm (siehe Kapitel 5.2.3). Betrachten
wir das Potential bei diesen beiden Wellenlängen.
Wie in Kapitel 2 hergeleitet, hat das Potential die Form
3πc2 Γ X
Γi
Γi
=
+
fi
3
ω0 − ωi ω0 + ωi
2w0 i
UDip
2
−2r
1
w2 (1+(z/z0 )2 )
0
· I0
e
.
1 + (z/z0 )2
(7.13)
Dabei gibt es die wellenlängenabhänigen Komponenten
λf M 2
(7.14)
πr0
πw02
z0 =
,
(7.15)
λ
wobei w0 den minimalen Strahlradius und z0 die Rayleighlänge angeben. In der
Polarisierbarkeit steckt mit der Laserfrequenz ω0 die Wellenlänge natürlich auch
direkt in der Formel.
Betrachten wir zuerst das Potential der alten Kammer. Der Fokusdurchmesser w0
betrug ca. 37 µm, die Laserleistung 27 Watt, der CO2 -Laser emittiert bei 10,6 µm.
Wir erhalten eine Potentialtiefe von ca. 910 µK.
w0 =
Abbildung 7.8: Dipolpotential bei λ = 10.6 µm, 27 Watt, und r0 = 37 µm
Nach
s
νrad
1
=
2π
s
νlong
1
=
2π
4αP
π · · c · mRb87 · w04
(7.16)
2αP λ2
π 3 · · c · mRb87 · w06
(7.17)
7.2. BERECHNUNGEN ZU DEN PARAMETERN DER DIPOLFALLE
75
ergeben sich daraus Fallenfrequenzen von νrad = 2.48 kHz und νlong = 0.16 kHz,
wobei die Rechnung der radialen Fallenfrequenz mit dem Experiment in guter Übereinstimmung steht.
Betrachten wir den Einfluss eines anderen Fokusdurchmessers und einer anderen
Wellenlänge anhand der Abbildungen 7.10 und 7.11.
Man erkennt, dass der Einfluss der Fokusgröße der dominante Faktor ist, die Wellenlänge hingegen erst in Bereichen einen starken Einfluss hat, in denen der P-Zustand
schon nicht mehr gebunden ist (λ < 1530 nm). Allerdings ist die Fokusierbarkeit
durch die Wellenlänge beschränkt. Der Fokusdurchmesser des CO2 -Lasers ist demnach minimal 10 µm, bei unserem Aufbau mit fester Linsengröße und Brennweite
können wir nur einen Fokusradius in dieser Größenordnung erreichen. Bei einem
2µm-Laser dieser um einen Faktor fünf geringer (siehe Gl. 3.18).
7.2.3
Gekreuzte Dipolfalle
Überlagert man nun zwei gleiche Laser, so ergibt sich eine zwei mal so tiefe Falle
(Abb. 7.12).
In Abbildung 7.13 sind zwei Laser überlagert, von denen einer ein CO2 -Laser mit
27 Watt ist, der andere ein 2µm-Laser mit 10 Watt. Beide sind auf w0 = 20 µm
fokussiert. Man erkennt das geringe Potential, das der CO2 -Lasers erzeugt, der stärker fokussierte 2µm-Laser erzeugt ein sehr tiefes Potential. Gut zu erkennen ist
auch, dass der 2µm-Laser nur einen kleinen Gradienten in longitudinaler Richtung
erzeugt. Dies ist einleuchtend, wenn man bedenkt, dass der Parameter, der diesen
Einschluss beschreibt, die Rayleigh-Länge (siehe Kap. 3.3) ist, die sich wie λ−1 verπw2
hält: (z0 = λ 0 ). Die beiden Potentiale addieren sich; in diesem Fall beträgt die
Potentialtiefe ca. 14 mK.
Um diese Potentialtiefe zu erreichen, müssen die Strahlen allerdings perfekt überlagert sein. Betrachten wir den Fall nicht perfekter Überlagerung (Abb. 7.9). Die
minimale Fallentiefe ist dann bestimmt durch den 2µm-Laser, der alleine schon 8500
µK erreicht. Nach einer Verschiebung von einem Fokusradius von 8 µm hat sich der
Zugewinn einer gekreuzten Falle schon mehr als halbiert. Die Überlagerung beider
Strahlen muss also auf wenige µm genau erfolgen.
7.2.4
AC Stark Shift
Wir haben gesehen, dass die Potentialtiefe der Dipolfalle nur wenige mK beträgt. Es
ist deshalb notwendig die Atome vorher in einer MOT zu kühlen, um diese dann in
die Dipolfalle umladen zu können. In der Dipolfalle sehen die Atome allerdings aufgrund des Stark-Shifts der MOT-Strahlen eine andere Frequenz. Die MOT-Strahlen
müssen also beim Laden der Falle verstimmt werden, damit sie die Atome nicht
76
KAPITEL 7. DIPOLFALLE: MESSUNGEN UND BERECHNUNGEN
Abbildung 7.9: Einfluss ungenauer Überlagerung zweier Dipollaser in X- und YRichtung
Abbildung 7.10: Dipolpotential bei λ = 10.6 µm und 27 Watt in Abhängigkeit des
Fokusdurchmessers r0
Abbildung 7.11: Dipolpotential bei r0 = 15 µm und 27 Watt in Abhängigkeit der
Wellenlänge
7.2. BERECHNUNGEN ZU DEN PARAMETERN DER DIPOLFALLE
77
Abbildung 7.12: Dipolpotential zweier gekreuzter CO2 -Laser mit λ = 10.6 µm, 27
Watt, und r0 = 37 µm
Abbildung 7.13: Dipolpotential zweier gekreuzter Laser mit λ = 2 µm, 10 Watt,
r0 = 8 µm, sowie λ = 10.6 µm, 27 Watt, r0 = 15 µm. Entlang der y-Achse ersteckt
sich der 2µm-Laser.
78
KAPITEL 7. DIPOLFALLE: MESSUNGEN UND BERECHNUNGEN
λ, 10W
2 µm
Zustand
S
P
10,6 µm
S
P
w0 /µm
37
10
37
10
37
10
37
10
ν/MHz
8.6
118
58
792
7.3
100
26
140
λ, 27W
2 µm
Zustand
S
P
10,6 µm
S
P
w0 /µm
37
10
37
10
37
10
37
10
ν/MHz
23
319
156
2140
19.8
272
71
971
Tabelle 7.1: Berechnung des Stark-Shifts ν für die Wellenlängen 2 µm und 10,6 µm
für den S- und P-Zustand von Rubidium 87, bei unterschiedlichen Fokusgrößen w0
und Laserleistungen (10 und 27 W).
heizen.
Da eine Verstimmung über einen weiten Bereich schwierig zu realisieren ist, scheint
es einfacher die Atome anfangs nur in einem Strahl der Dipolfalle zu laden und erst
dann den zweiten Laser auf der zweiten Achse dazu zu schalten.
Betrachten wir also den Stark-Shift für eine Achse. Die Temperatur lässt sich über
kb T = hν einfach in eine Frequenz umrechnen. Um auch die angeregten Atome nicht
zu verlieren, soll auch der P-Zustand betrachtet werden (Siehe Tabelle 7.1).
Für einen CO2 -Laser mit 27 Watt, fokussiert auf 37 µm, ergibt sich eine Blauverschiebung der Frequenzen um 20 MHz für den S-Zustand und um 70 MHz für
den P-Zustand. Ein möglicher Laser für eine „Dimple-Trap“ mit 2 µm, 10 Watt und
einem Fokus von 10 µm bedeutet eine Verstimmung von 120 Mhz für den S-Zustand
und 790 MHz für den P-Zustand. Im bisherigen Aufbau lässt sich die Frequenz um
ca. 100 MHz verstimmen.
7.2.5
Gravitationseinfluss
Wie in Kapitel 5.2.1 beschrieben, verschiebt sich der Mittelpunkt der Dipolfalle in
vertikaler Richtung durch den Einfluss der Gravitation. Für geringe Potentialtiefen
kann das die Falle gänzlich öffnen; in jedem Fall entsteht ein Versatz des Potentialminimums. Überlagert man das bekannte Fallenpotential Udip mit dem Potential,
das die Erde erzeugt, so ergibt sich:
Uges = Udip − mgz.
(7.18)
Die Abbildung 7.14 zeigt den Einfluss der Gravitation auf das Fallenpotential eines
CO2 -Lasers mit 37 µm Fokusradius bei verschiedenen Leistungen. Man erkennt, dass
das Potential erst bei Leistungen deutlich unter 10 Watt merklich geöffnet wird.
Bei 0,2 und 0,1 Watt kann man schon erkennen, dass sich das Potentialminimum
7.2. BERECHNUNGEN ZU DEN PARAMETERN DER DIPOLFALLE
79
Abbildung 7.14: Fallenpotential bei 10, 1, 0.2 und 0.1 Watt Laserleistung
Abbildung 7.15: Verschiebung des Potentialminimums für das S1/2 -Niveau (links)
und das P3/2 -Niveau (rechts) bei Veränderung der Leistung.
80
KAPITEL 7. DIPOLFALLE: MESSUNGEN UND BERECHNUNGEN
leicht verschiebt. In Abbildung 7.15 ist die Verschiebung in µm gegen die Laserleistung aufgetragen. Vergleichen wir die Ergebnisse des S-Zustandes mit dem viel
stärker gebundenen P-Zustand, so erkennt man, dass das Atom bei einem Übergang
von einem in den anderen Zustand eine zusätzliche Bewegung erfährt. Bei 27 Watt
ist der Versatz des S-Zustandes 3,5 nm, der des P-Zustandes 10 nm. Der relative
Versatz der Potentialminima zueinander beträgt demnach 6,5 nm und sollte das Ensemble nicht signifikant heizen.
Für eine 2µm-Falle, die auch auf 37 µm fokussiert wird beträgt des Versatz bei 10
Watt allerdings schon 70 nm.
7.3
Beobachtungen von EIT
Bevor die Kammer neu aufgebaut wurde, konnten einige wenige Messungen von
Elektromagnetisch Induzierter Transparenz in der magneto-optischen Falle gemacht
werden. Der Aufbau orientiert sich im Wesentlichen an [32]. Der Versuchsaufbau war
der folgende:
Zwei Laser wurden auf den Hyperfeinübergängen F = 1 → F 0 = 2 und F = 2 →
F 0 = 2 des Übergangs 5S1/2 → 5P3/2 stabilisiert. Die linear polarisierten Strahlen
werden über eine Faser zur Kammer geschickt und mit einem λ/2-Plättchen wird
die Polarisation beider Strahlen zueinander eingestellt. Nun werden beide Strahlen
über einen Strahlteilerwürfel miteinander überlagert. Mit der Einstellung der λ/2Plättchen kann man die Leistung beider Strahlen regulieren. Der Probestrahl hatte
7µW, der Kopplungsstrahl 0-10 mW, bei einem Durchmesser von rund 1 mm. Der
überlagerte Strahl beider Laser wird nun über einen Spiegel auf die MOT gelenkt
und danach mit einem weiteren Strahlteilerwürfel wieder in zwei Anteile zerlegt. Damit wird der Großteil des Lichtes des Kopplungsstrahls aus dem Strahl gebrochen.
Der Probestrahl ist dann wieder relativ unabhängig und wird von einer Photodiode
analysiert.
Um das Absorptionsprofil aufzunehmen, muss der Probestrahl verstimmt werden.
Dazu durchläuft der Probestrahl zuerst einen akkusto optischen Modulator4 , der die
Frequenz über einen Bereich von ca. 50 MHz verstimmt. Ein Labview-Programm liefert dazu eine Signalform einer Spannung, die einen VCO5 versorgt. Dieser wandelt
die Spannung in eine Frequenz für den AOM um. Entsprechend wird die Frequenz
des Lasers über die Resonanz verstimmt. Gleichzeitig wird das Signal an der Photodiode ausgelesen.
Um beim Anfang der folgenden Messung wieder bei der gleichen Frequenz zu beginnen, besteht unsere Signalform zuerst aus einer ansteigenden Flanke, gefolgt von
4
Bei dieser Messung wurde ein „Double Path“-Aufbau verwendet, bei dem der Laserstrahl den
AOM zweimal durchläuft und sich deshalb im Winkel nicht verschiebt. Die Photonen erfahren
die doppelte Frequenzverschiebung und der Winkel des ersten Durchlaufens wird beim zweiten
Durchlaufen wieder kompensiert.
5
Ein Voltage Controlled Oszillator (VCO) gibt eine Frequenz propational zur vorgegebenen Spannung aus.
7.3. BEOBACHTUNGEN VON EIT
81
Abbildung 7.16: EIT Messung in der MOT. Die 4 Abbildungen zeigen das Absorptionsprofil des Probelasers für zunehmde Leistung des Kopplunsglasers. Im ersten
Bild ist der Kopplungslaser sehr schwach, man erkennt keine Aufspaltung der Niveaus. In Bild 2 erkennt man die Aufspaltung in 2 Niveaus, in Bild 3 in 3 Niveaus. Bei
Bild 4 wurden die Frequenz des AOM und die Laserleistung etwas angepasst. Man
erkennt wie erwartet die fünf Absorptionslinien.
einer abfallenden Flanke. Bei dem Endwert verbleibt die Spannung bis zur nächsten Messung. Es entstehen so bei jeder Messung zwei Absorptionsprofile, eines auf
jeder Flanke. In Abbildung 7.16 wurde nur eines der zwei entstehenden Absorptionsprofile geplottet. Man erkennt, dass beim Einschalten des Kopplungslasers nicht
nur zwei, sondern mehrere Absorptionslinien entstehen. Zwar ist das Magnetfeld im
Zentrum der MOT Null, aber nur in einem kleinen Bereich. Hinzu kommt der Einfluss weiterer externer Magnetfelder. Daher sind die magnetischen Unterniveaus der
Zustände aufgespalten und absorbieren das Licht des Probelasers bei unterschiedlichen Frequenzen. Unter dem Einfluss des Kopplungslasers unterscheiden sich die
Aufspaltungen der Übergänge mF = ±1 → mF 0 = ±1 und mF = ±2 → mF 0 = ±2.
Der Übergang mF = 0 → mF 0 = 0 wird nicht getrieben (s. Abb. 7.17).
Davon werden vom Kopplungslaser nur die Übergänge mF = ±1 → mF 0 = ±1 gekoppelt. Im Absorpitionsprofil des Probelasers erwartet man deshalb nicht nur zwei,
sondern sechs Absorptionen. Ist die Aufspaltung durch den Zeemaneffekt sehr klein,
so werden die Übergänge mF = ±2 → mF 0 = ±2 nicht aufgelöst; sie bleiben in der
Mitte des Absorptionsprofils. Die beiden anderen Übergänge mF = ±1 → mF 0 = ±1
spalten in je zwei Übergänge auf, man erwartet also fünf Linien.
82
KAPITEL 7. DIPOLFALLE: MESSUNGEN UND BERECHNUNGEN
Abbildung 7.17: Hyperfeinübergänge von Rb87 für π-polarisiertes Licht, aus [5]
Kapitel 8
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wurde eine Atomfalle für Rubidiumatome aufgebaut.
Der zu Begin dieser Arbeit vorliegende Aufbau bestand aus einer Tandem-MOT mit
Vor- und Hauptkammer. In der Vorkammer wurden die Atome in einer magnetooptischen Falle gefangen und dann in eine Hauptkammer weitergeleitet.
Die Hauptkammer wurde neu konstruiert. Die MOT in der Hauptkammer wurde
völlig neu entworfen und aufgebaut. Es steht nun ein größerer Magnetfeldgradient
zur Verfügung; dieser sollte nicht nur eine höhere Dichte erzeugen, sondern bietet
aufgrund der Konstruktion auch die Möglichkeit einer Taktung, mit der die Atome
zusätzlich komprimiert werden können.
Die neue Kammer bietet mit ihrer größeren Zahl an Fenstern einerseits die Möglichkeit wie bisher eine MOT aus sechs Strahlen zu betreiben; attraktiver ist aber
wahrscheinlich die MOT tetraedrisch aus 8 Strahlen zu realisieren. Die dafür notwendigen Spiegelhalterungen sind auch konstruiert worden.
Versorgt wird diese MOT nun mit Laserstrahlen, die ausschließlich über Fasern
zum Fallentisch geführt werden und dort mit einem Breitstreifenemitter verstärkt
werden. Durch diesen Aufbau konnte ein frequenz-stabilisiertes Laserdiodensystem
eingespart werden. Diese Umbauten sollten den Betrieb der MOT deutlich stabiler
gestalten.
Anstoß für den Neuaufbau war allerdings die Dipolfalle, die für ein EIT-KühlExperiment eine höhere Fallenfrequenz besitzen muss. Mit dem entstandenen Aufbau ist es nun möglich eine gekreuzte Dipolfalle zu betreiben. Die Berechnung der
Fallenfrequenzen in Abhängigkeit von Fokusgröße und Wellenlänge zeigen, dass die
Erfordernisse an ein solches Experiment mit dem neuen Aufbau erfüllt werden können.
Leider konnten noch keine Messungen an der Falle durchgeführt werden. Definitiv
besitzt der neue Aufbau deutlich mehr Potential für weiterführende Experimente, da
die Geometrie der Kammer nicht nur mehr Zugangsmöglichkeiten für Laserstahlen
besitzt, sondern auch die Fenster zueinander in besseren Winkeln stehen.
Die neue Kammer bildet vor allem eine gute Grundlage für ein EIT-Kühl-Experiment.
Die durchgeführten Messung in der MOT, sowie weitere Messungen in einer Rubidiumzelle aus unserer Arbeitsgruppe deuten aber die dabei anstehenden Probleme
83
84
KAPITEL 8. ZUSAMMENFASSUNG
an: Magnetfeldgradient und Magnetfeldstärke müssen so klein wie möglich gemacht
werden; eine nicht ganz einfache Aufgabe in Anbetracht der Tatsache, dass allein die
Ionenpumpen mit starken Permanentmagneten ausgestattet sind. Das Erdmagnetfeld tut das seinige. Natürlich ist Elektromagnetisch Induzierte Transparenz daher
auch eine präzise Methode zur Bestimmung der Restmagnetfelder in der Kammer.
Anhang A
Theorie
A.1
Rubidiumschema
Abbildung A.1: Übergangsstärken und Wellenlängen der D2-Linie von Rb87 [30].
85
86
ANHANG A. THEORIE
Abbildung A.2: Nieveauschema von Rb87 [30].
A.1. RUBIDIUMSCHEMA
Abbildung A.3: Die D2-Linie von Rb87 [21].
87
88
ANHANG A. THEORIE
A.2
Polarisierbarkeit
Zur Berechnung der quantenmechanischen Polarisierbarkeit benötigt man die Wigner 3j- und 6j-Symbole. Diese lassen sich mit der Racah-Formel berechnen [31].
3j-Symbol:
a b c
d e f
!
=δa+b+c=0 ∆(a, b, c)
X
r
(−1)a−b−f +r
r!(a + b − c − r)!
p
·
(a + d)!(a − d)!(b + e)!(b − e)!(c + f )!(c − f )!
(a − d − r)!(b + f − r)!(c − b + d + r)!(c − a − e + r)!
mit dem Dreieckskoeffizienten
s
∆(a, b, c) =
(a + b − c)!(a − b + c)!(−a + b + c)!
(a + b + c + 1)!
Entsprechend das 6j-Symbol:
a b c
d e f
q
= ∆(a, b, c)∆(a, e, f )∆(e, b, f )∆(d, e, c)
X (−1)r (r + 1)!
r
f (r)
mit
f (r) =(r − a − b − c)!(r − a − d − e)!(r − d − b − f )!(r − d − e − c)!
· (a + b + d + e − r)!(b + c + e + f − r)!(c + a + f + d − r)!
für alle r ohne negative Argumente.
Das benutzte Programm Mathematica hat diese Formeln schon integriert, die Clebsch
Gordan Koeffizienten sind zudem in vielen Büchern tabellarisiert.
A.3
Wigner-Eckart-Theorem
Für rotationssymetrische Operatoren liefert das Wigner-Eckert-Theorem eine Transformation zwischen Drehimpuls-Basisvektoren. Ein sphärischer Tensoroperator in
der Basis von Drehimpulseigenzuständen, kann als Produkt aus einem Term unabhängig von der Drehimpulsorientierung und den Clebsch Gordan Koeffizienten
ausgedrückt werden.
jm
hjm|Tqk |j 0 m0 i = hj||T k ||j 0 iCkqj
0 m0
(A.1)
Dabei sind |jmi und |j 0 m0 i die Eigenzustände zum Gesamtdrehimpuls J 2 und seiner
z-Komponente, hj||T k ||j 0 i ist umabhängig von m.
A.4. EIT
A.4
89
EIT
Bei der gemachten Messung wurden die beiden Laser zuerst durch ein Strahlteilerwürfel überlagert und dann auf das Fallenzentrum gerichtet. Um den Effekt einer
Elektromagnetisch Induzierten Transparenz zu sehen, ist die Richtung beider Strahlen zueinander auch unbedeutend.
Will man allerdings mit diesen Strahlen kühlen, so ist es notwendig, dass die beiden
Strahlen entgegengesetzt propagieren. Haben beide Laser die gleiche Propagationsrichtung, so nimmt das Atom bei der Anregung einen Impuls in Laserausbreitungsrichtung auf. Da bei der Abgabe des Photons eine stimmulierte Emission stattfindet,
trägt das emittierte Photon diesen Impuls wieder weg und das Atom bleibt in Ruhe. Die Rückstoßenergie ist Null. Da aber der Lamb-Dicke-Parameter für effizientes
Kühlen zwar klein sein soll, aber nicht Null, ist es besser, wenn beide Laser in entgegengesetzten Richtungen propagieren.
η2 =
Erecoil !
6 0
=
ET rap
(A.2)
In Abbildung A.4 sieht man, dass die beiden Laser blau verstimmt sein müssen.
Der Probe-Laser sieht die verschiedenen Schwingungsniveaus. Die Laser sind nun so
angepasst, dass der blauverstimmte Probe-Laser mit dem Übergang zum energetisch
niedrigeren Niveau in Resonanz kommt [3].
Abbildung A.4: Prinzip des EIT-Kühlens
90
ANHANG A. THEORIE
Anhang B
Aufbau
B.1
Zeichungen und Bilder des Fallenaufbaus
Abbildung B.1: Wichtige Abmaße des Aufbaus (in mm).
91
92
ANHANG B. AUFBAU
Abbildung B.2: Das Eintrittsfenster der Dipollaserstrahlen ist an einem Faltenbalg
montiert. Im Inneren des Faltenbalgs ist an drei Stangen eine Linse montiert, die
sich über die drei µm-Schrauben einstellen lässt.
Abbildung B.3: Der Ausgang der Faser des Imaginglasers ist auf einer Montierplatte
unter dem Tisch angebracht. Von dort wird er über einen Spiegel in der Kammer
auf das Fallenzentrum gelenkt. Oberhalb der Kammer kann das Absorptionsbild von
einer Kamera aufgenommen werden.
B.1. ZEICHUNGEN UND BILDER DES FALLENAUFBAUS
93
Abbildung B.4: Spiegelhalter für den Imagingstrahl. Er wird an einer Stange mit
belüfteten Gewinden befestigt, die in den Blindflasch geschraubt wird, der dem Eintrittsfenster des Imagingstrahls gegenüber liegt.
Abbildung B.5: Pumprohr der UHV-Kammer. Die drei CF 40 Flansche sind für den
Imagingstrahl, dessen Spiegelhalter, die Verbindung zur Turbopumpe.
Abbildung B.6: Verbindungsstück zwischen Vorkammer und UHV-Kammer.
Abbildung B.7: Verbindungsstück zwischen UHV-Kammer und Pumprohr.
94
ANHANG B. AUFBAU
Abbildung B.8: Spiegelhalter für UHV-MOT.
Abbildung B.9: Spiegelhalter für UHV-MOT. Entsprechend gespiegelt für Strahlen
aus der anderen Richtung.
Abbildung B.10: Verbindungsrohr von der Vorkammer Richtung Pumpe.
Abbildung B.11: Spulenrohr für die UHV-MOT. Das Rohr ragt in das Vakuum
hinein, bis etwa 11mm vor dem Fallenzentrum.
B.1. ZEICHUNGEN UND BILDER DES FALLENAUFBAUS
95
Abbildung B.12: Halter für die λ/4-Plättchen der UHV-MOT.
Abbildung B.13: Maße für die Berechnung der Magnetfeldes. Die MOT-Strahlen
haben Platz für einen Durchmesser von ca. 10 mm, die erste Spulenwicklung beginnt
nach ca. 19mm Entfernung vom Fallenzentrum, die letzte hat einen Abstand von ca.
40mm.
96
ANHANG B. AUFBAU
Abbildung B.14: Spule mit 14 Wicklungen auf der Außenseite, 17 Wicklungen innen.
Die erste Leiterschleife hat innen einen Durchmesser von ca. 6 mm, außen ca. 9 mm.
Die größte Wicklung ist bei beiden Lagen etwa 32 mm. Die Spule ist auf einen
Kühlkörper aus Kupfer gewickelt.
B.1. ZEICHUNGEN UND BILDER DES FALLENAUFBAUS
97
Abbildung B.15: Enstehung einer Vakuumkammer von dem Modell über den 100kg
schweren Edelstahl-Würfel bis hin zur montierten Kammer.
98
ANHANG B. AUFBAU
Literaturverzeichnis
[1]
Eschner, et.al., Ground state laser cooling of trapped atoms
using electromagnetically induced transparency, Applied Phys.
B, 73, 8, (2001)
[2]
F. Schmidt-Kaler, Laser cooling with electromagnetically induced transparency: application to trapped samples of ions or
neutral atoms, Appl. Phys. B 73, 807–814, (2001)
[3]
M. Roghani, H. Helm, Trapped-atom cooling beyond the
Lamb-Dicke limit using electromagnetically induced transparency, Phys. Rev. A 77 043418, (2008)
[4]
C.Käfer, Aufbau und Charakterisierung eines Breitstreifen Laserverstärkers, (2004)
[5]
H.J. Metcalf, P. van der Straten, Laser Cooling and Trapping,
(2002)
[6]
W.D. Phillips, Laser cooling and trapping of neutral atoms,
Rev. Mod. Phys.,70, 3, (1998)
[7]
M. Haas, Sympathetisches Kühlen in einer Rubidium-CäsiumMischung, (2007)
[8]
Jackson, Klassische Elektrodynamik, (2006)
[9]
L. G. Marcassa, G. D. Telles, S. R. Muniz, and V. S. Bagnato,
Collisional losses in a K-Rb cold mixture, Phys. Rev. A, 63,
013413, (2000)
[10]
G.D. Telles, W. Garcia, L.G. Marcassa, and V.S. Bagnato,
Trap loss in a two-species Rb-Cs magneto-optical trap, Phys.
Rev. A, 63, 033406, (2001)
[11]
A. Gallagher, D.E. Pritchard Exoergic Collisions of Na*-NA,
Phys. Rev. Lett. 63, 9, (1989)
[12]
S. Bali, K. M. O’Hara, M. E. Gehm, S. R. Granade, and J.
E. Thomas, Quantum-diffractive background gas collisions in
atom-trap heating and loss, Phys. Rev. A 60, 1, (1999)
99
100
LITERATURVERZEICHNIS
[13]
S. Schneider, Bose-Einstein Kondensation in einer magnetischen Z-Falle, (2003)
[14]
A. Thoman, Ladeverhalten und Kompression einer magnetooptischn Falle und Dichteoptimierung in einer Dipolfalle,
(2004)
[15]
C. Marzok, Heteronukleare Feshbachresonanzen in ultrakalten
Lithium-Rubidium-Gemischen, (2009)
[16]
R. Grimm, M. Weidemüller, Y.B. Ovchinnikov, Optical dipole
traps for neutral atoms, Molecular and Optical Physics 42 95170, (2000)
[17]
I.H. Deutsch, P.S. Jessen, Quantum-state control in optical lattices, Phys. Rev A, 57, 3, (1998)
[18]
A. Chromik, Ultrakalte Rubidiumatome in einer CO2 -Laser
Dipolfalle, (2006)
[19]
A. Tripathi, Experimental studies of evaporative eooling and
Bose-Einstein-Condensation in an optical trap, (2006)
[20]
Experimantalphysik 2, Elektrizität und Optik, (1999)
[21]
D.A. Steck, Rubidium 87 D Line Data, (2003)
[22]
T. Graf, Grundlagen der Laserstrahlungsquellen, (2009)
[23]
DIN EN ISO 11146-1:2005-04 (D), Laser und Laseranlagen
- Prüfverfahren für Laserstrahlabmessungen, Divergenzwinkel
und Beugungsmaßzahlen - Teil 1: Stigmatische und einfach
astigmatische Strahlen (ISO 11146-1:2005); Deutsche Fassung
EN ISO 11146-1:2005
[24]
B. Henrich, Untersuchung elektromagnetisch induzierter
Transparenz für das kontinuierliche Vier-Wellen-Mischen,
(2005)
[25]
H. Helm, Dissipative processes in light-atom interactions,
(2008)
[26]
B. Arora, M.S. Safronova, C.W. Clark, Magic wavelengths for
the np-ns transitions in alkali-metal atoms, Phys.Rev. A 76,
052509, (2007)
[27]
F.K. Kneubühl, M.W. Sigrist, Laser, (2008)
[28]
www.pfeiffer-vacuum.de/cnt/de/1343/, Was ist Vakuum?,
(2009)
LITERATURVERZEICHNIS
101
[29]
V. Nemanic, T. Bogataj, Outgassing of thin wall stainless steel
chamber, Vacuum, 50, 3-4, (1998)
[30]
R.A. Cornelussen, Optical trapping and manipulation of atoms
near surfaces, (2004)
[31]
M. Wagner, Gruppentheoretische Methoden in der Physik: Ein
Lehr- und Nachschlagewerk, (1998)
[32]
H.X. Chen, Observation of transient electromagnetically induced transparency in a rubidium Λ system, Phys. Rev. A, 58 2,
(1998)
[33]
G. Morigi,J. Eschner, C.H. Keitel , Ground State Laser Cooling
Using Electromagnetically Induced Transparency, Phys. Rev.
85 21, (2000)
[34]
Roos, et. al., Experimental Demonstration of Ground State
Laser Cooling with Electromagnetically Induced Transparency,
Phys. Rev. 26, (2000)
[35]
F. Schwabl, Quantenmechanik (QM1), (2005)
Hiermit erkläre ich, dass ich diese Diplomarbeit selbstständig verfasst und
nur die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.
Freiburg im Breisgau, den 13. Januar 2010
Carl Basler