Modellierung anomaler Diffusion mit nichtlinearen partiellen

Modellierung anomaler Diffusion mit nichtlinearen
partiellen Differentialgleichungen
Modelling of Anomalous Diffusion with Nonlinear
Partial Differential Equations
Bachelorarbeit
im
Studiengang
„Bachelor of Science“
im Fach Physik
an der Fakultät für Physik und Astronomie
der Ruhr-Universität Bochum
von
Dominik Reinhard Walter
aus
Ahlen
Bochum 2016
Abstract
Die vorliegende Arbeit widmet sich dem Phänomen der anomalen Diffusion. Zu Beginn werden das Auftreten der anomalen Diffusion und ihre Ursachen näher beleuchtet, weiterhin wird
insbesondere auf die Unterschiede zwischen anomaler und Gaußscher Diffusion eingegangen.
Anschließend werden die Ähnlichkeitslösungen als Werkzeug zum Lösen der resultierenden
nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen eingeführt, ebenso wie das Programm VLUGR3.
Im Folgenden werden mehrere mögliche Fälle der anomalen Diffusion analytisch berechnet,
wohingegen eine Kopplung von Diffusion und Konvektion nur mit dem Programm VLUGR3
behandelt werden kann.
Die Ergebnisse werden präsentiert und mit bisher bekannten Veröffentlichungen verglichen.
This paper deals with the phenomenon of anomalous diffusion.
First the appearance and origins of the anomalous diffusion will be discussed, furthermore
the differences between anomalous and gaussian diffusion will be pointed out.
Afterwards the similarity solutions are presented as a tool to solve the resulting nonlinear
partial differential equations, which is also done numerically with the programm VLUGR3.
Following some possible cases that are solved analytically, the case of simultaneous diffusion
and convection is considered with VLUGR3.
The findings are presented and compared to published results.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Grundlagen
2.1 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Anomale Diffusion . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Anomale Diffusion kosmischer Strahlung . . .
2.4 Ähnlichkeitslösungen für nichtlineare partielle
2.5 VLUGR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
3
4
5
7
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10
10
14
17
19
4 Auswertung mit VLUGR3
4.1 Numerische Behandlung analytisch gelöster Systeme . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Numerische Berücksichtigung der Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
24
5 Fazit
31
Literaturverzeichnis
32
A Verifizierung der Lösung 3.46
33
B Ansätze zur Lösung von Systemen mit zeitabhängiger Teilchenzahl
B.1 Ansatz für γ = 1 und δ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Ansatz für γ = 1 und δ = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
38
C Versuch der analytischen Lösung einer konvektiven DGL
40
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Differentialgleichungen
. . . . . . . . . . . . .
3 Analytische Rechnungen
3.1 Rechnung unter Verwendung der Kolmogorov-Dämpfung . . . .
3.2 Rechnung unter Verwendung einer schwachen MHD-Kopplung .
3.3 Verallgemeinerung der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ansatz zur Lösung einer zeitabhängigen Teilchenzahl . . . . . .
i
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.
Abbildungsverzeichnis
2.1
Integrationsplots für unterschiedliche Integrationsschritte . . . . . . . . . . .
4.1
Plot numerischer und analytischer Ergebnisse nach Ptuskin et al [7] mit 201
Gitterpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Plot numerischer und analytischer Ergebnisse nach Ptuskin et al [7] mit 21
Gitterpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulation der Konvektion ohne kontinuierlichen Quellterm bei 201 Gitterpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulation der Konvektion mit kontinuierlichem Quellterm bei 401 Gitterpunkten
Simulation der Konvektion mit kontinuierlichem Quellterm bei 2001 Gitterpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulation der Konvektion mit Quellterm und Gaußscher Diffusion bei 1401
Gitterpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulation der Konvektion mit in der DGL integriertem Quellterm, anomaler
Diffusion und 201 Gitterpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
ii
8
23
24
25
26
27
28
29
Kapitel 1
Einleitung
Anomale Diffusion ist ein Phänomen, welches in den letzten Jahren in vielen Wissenschaften, speziell in den Naturwissenschaften an Bedeutung gewinnt. Auch in der Physik wird
das Phänomen der anomalen Diffusion in einer großen Zahl an Fachrichtungen zunehmend
bedeutender. Sie findet sich in Plasmaströmungen (siehe [10]) wieder, bei der Bewegung von
Elektronen durch Halbleitermaterialien und natürlich in der Astrophysik (siehe als Referenz
[5] oder [7]), beispielsweise bei der Propagation kosmischer Strahlung.
In dieser Arbeit soll einer Möglichkeit der mathematischen Beschreibung dieser anomalen Diffusion nachgegangen werden, der Methode der so genannten Ähnlichkeitslösungen ( Dresner
[4] ). Diese bieten die Möglichkeit die anomale Diffusion als nichtlineare partielle Differentialgleichungen (NPDEs) zu beschreiben. Im Verlauf der Arbeit werden einige Fälle von anomaler
Diffusion so analytisch behandelt und ausgewertet.
Zusätzlich zur Beschreibung mittels NPDEs wird in dieser Arbeit ein numerischer Ansatz
vorgestellt, mithilfe des zur Verfügung gestellten Programms VLUGR3 ([2]). Mit Hilfe dieses
Programms werden einige weitere Fälle anomaler Diffusion untersucht und mit den analytischen Ergebnissen verglichen.
1
Kapitel 2
Grundlagen
2.1
Diffusion
Diffusion bezeichnet in der Physik den Prozess der Vermischung verschiedener Medien. Als
Beispiel kann Diffusion beobachtet werden, wenn sich eine Flüssigkeit in einer anderen auflöst,
ohne irgendeine Form äußerer Einflussnahme. Auch in der Astrophysik kommt es zum Phänomen der Diffusion, beispielsweise an sogenannten Schocks. An diesen Fronten treffen zwei
Teilchenfronten aufeinander, welche sich in Größen wie Temperatur, Druck und Strömungsgeschwindigkeit unstetig unterscheiden. Als Beispiel kann der Terminationsschock der Sonne
betrachtet werden. An dieser Fläche bremst der Sonnenwind, aufgrund der Wechselwirkung
mit dem interstellaren Wind, von Überschall nach Unterschall, was sich in einer Aufheizung
und Verdichtung der Sonnenwindpartikel äußert.
Ein weiteres Beispiel von Diffusion in der Astrophysik ist die diffusiv bedingte Beschleunigung
von kosmischer Strahlung. Die kosmische Strahlung, welche aus relativistischen geladenen
Teilchen (meistens Protonen) besteht, diffundiert durch Wolken interstellaren Mediums und
erfährt dabei durch Streuprozesse eine Beschleunigung. Auch die Propagation von kosmischer
Strahlung im Allgemeinen ist abhängig von einem räumlichen Diffusionsterm. Somit besteht
in der Astrophysik großes Interesse, Diffusionsprozesse zu verstehen und vorhersagen zu können.
Diffusion resultiert aus der thermischen Energie der diffundierenden Teilchen. Jedes Medium
besitzt eine Temperatur, was bedeutet, dass die Teilchen sich mit einer gewissen thermischen
Energie bewegen. Diese Bewegung erfolgt ungerichtet im Raum, somit bewegen sich die Teilchen auf kurze Distanz geradlinig in zufällige räumliche Richtungen und werden in diesen
Bewegungen nur von Stößen mit anderen Teilchen oder z.B. Plasmawellen unterbrochen. Somit erfolgt mit der Zeit eine ungerichtete Ausbreitung der Teilchen im Raum oder in einem
Medium ( wie beispielsweise einer insterstellaren Wolke).
Eine mathematische Beschreibung der Diffusion erfolgte erstmals durch Adolf Fick in den
1850er Jahren, der postulierte, dass die Gesetze der Diffusion denen der Thermodynamik
äquivalent sein müssen. Eine thermodynamische Herleitung dieser Gesetze erfolgte 1905 durch
Einstein, womit die Fickschen Gesetze eine fundierte theoretische Grundlage erhielten.
Fick stellte die Überlegung an, dass der Strom der Teilchen beim Prozess der Diffusion proportional zum Gefälle des chemischen Potentials, bzw. in einfachen Fällen der Dichte oder
Konzentration der Teilchen selbst sein sollte:
j = −D · ∇f
2
(2.1)
Dabei bezeichnet f die Verteilung der Teilchen, welche betrachtet werden und j den diffusiven
Teilchenstrom, welcher durch diese Teilchenverteilung verursacht wird. Bei dem Faktor D
handelt es sich um den so genannten Diffusionskoeffizienten mit einer Einheit der Form m2 s−1
und kann allgemein als Funktion von x aufgefasst werden. In komplexen Systemen kann dieser
Faktor auch als quadratische Matrix auftreten, in dieser Arbeit werde ich mich aber auf eine
Darstellung als Skalar beschränken. Die Gleichung 2.1 wird als "erstes Ficksches Gesetz"
bezeichnet.
Das zweite Ficksche Gesetz, auch Diffusionsgesetz genannt, erhält man aus dem Postulat der
Massenerhaltung, also ∂f
∂t = −∇·j. Setzt man in diese Gleichung die in 2.1 gefundene Identität
für den Teilchenstrom in diesen Ausdruck ein, so erhält man als Ergebnis:
∂f
= ∇(D · ∇f )
∂t
(2.2)
Reduziert man diese Gleichung auf eine Dimension, so folgt schließlich:
∂f
∂f
∂
D·
=
∂t
∂x
∂x
(2.3)
Diese Gleichung wird im Verlauf der Arbeit eine zentrale Rolle spielen. Unter der Annah∂2f
me, dass D eine Konstante ist, vereinfacht sich 2.3 zu: ∂f
∂t = D ∂x2 . Während der Diffusion
lässt sich für ein einzelnes Teilchen kein konkreter Weg vorhersagen, allerdings lässt sich die
mittlere quadratische Verschiebung, also das Quadrat des Abstandes eines Partikels zu seiner
Ausgangsposition abschätzen nach [10]:
< ∆x2 (t) >∝ Dt
(2.4)
Diese Form der Diffusion wird in vielen Bereichen der Naturwissenschaften beobachtet.
2.2
Anomale Diffusion
Anomale Diffusion ist ein Phänomen, welches in den letzten Jahren immer häufiger registriert
und beobachtet wird, etwa in Supraleiter-Diffusion([9]) oder bei der Diffusion in porösen Medien (siehe zum Beispiel [8] oder [3]), außerdem bei der Auswertung von Herzschlaghistogrammen oder sogar der Ausbreitung von Geldscheinen. Es ist somit klar, dass das Thema eine
Vielzahl an Anwendungsmöglichkeiten besitzt, auch abseits der Physik.
Wodurch zeichnet sich anomale Diffusion nun im Vergleich zu normaler Diffusion aus? Das
unterschiedliche Verhalten liegt in einer unterschiedlichen Beziehung der mittleren quadratischen Verschiebung zur Zeit:
< ∆x2 (t) >∝ Dtα
(2.5)
Wie kommt es zu diesem abweichenden Verhalten? Im Unterschied zur normalen Diffusion
wird der Diffusionskoeffizient nicht als konstant angenommen oder allgemeiner als variabel
in der Ortskoordinate x, sondern es wird im Folgenden noch ausgearbeitet werden, dass er
insbesondere von Gradienten von f abhängen kann. Dies liegt an der Tatsache, dass der
Diffusionskoeffizient abhängig ist von den äußeren Rahmenbedingungen, wie Temperatur,
Druck etc. In der Realtität ist keine dieser Größen stets stabil, so kommt es beispielsweise
bei der in Kapitel 2.1 erwähnten Beschleunigung durch Diffusion in interstellaren Wolken
3
zu Turbulenzen, welche unter anderem durch die diffundierenden Teilchen selbst verursacht
werden. Das Verhalten solcher Prozesse ergibt sich somit wie in 2.3:
∂f
∂f
∂
g x,
=κ
∂t
∂x
∂x
·
∂f
∂x
(2.6)
Dabei ist κ ein konstanter Faktor, während g eine situationspezifische Funktion ist. Im weiteren Verlauf der Arbeit, werden einige mögliche Funktionen behandelt. Einige komplexere
Ansätze könnnen in Assis et al. [1] gefunden werden, dort wird das Problem für sehr allgemeine Fälle gelöst. In dieser Arbeit werden hingegen einige einfache Probleme vorgestellt
und untersucht, wenngleich die hier präsentierten Lösungsmethoden ebenso auf die von [1]
gestellten Probleme angewandt werden können.
Aus der Gleichung 2.5 gehen verschiedene Fälle von anomaler Diffusion hervor, für α = 1
erhält man die in 2.1 besprochene "normale" oder "Gaußsche" Diffusion. Für 0 < α < 1 bezeichnet man den resultierenden Prozess als Subdiffusion. Es ist ersichtlich, dass diese Art
der Diffusion "langsamer" erfolgt als die Standarddiffusion, da zu einem Zeitunkt τ > 1 die
mittlere quadratische Abweichung von Subdiffusion kleiner ist als die der Standarddiffusion.
Auch Superdiffusion (1 < α < 2) verhält sich bezogen auf das quadratische Mittel anders als
die Standarddiffusion, sie erreicht schneller größere Abweichungen vom Ursprungspunkt.
Für den Fall α = 2 spricht man von der so genannten ballistischen Diffusion, bei dieser Art
von Diffusionsbewegung liegt neben der eigentlichen Diffusion noch eine Driftbewegung vor.
Im Falle der ballistischen Diffusion gilt < x2 (t) >∝ t2 , also anschaulich < x(t) >∝ t, was
einer ballistischen Flugbahn entspricht.
2.3
Anomale Diffusion kosmischer Strahlung
Kosmische Strahlung bezeichnet relativistische, geladene Teilchen (größtenteils Protonen oder
positive schwere Kerne), keine elektromagnetische Strahlung. Ihr Ursprung ist bis heute
nicht restlos geklärt, die vielversprechensten Ansätze erklären ihre Erzeugung in SupernovaÜberresten. Bei der Ausbreitung dieser Strahlung kommt es nun, wie bereits erwähnt, ebenfalls
zu anomaler Diffusion. Diese wird verursacht durch Turbulenzen im interstellaren Medium
(kurz ISM), durch welches sich die kosmische Strahlung ausbreitet. Die kosmische Strahlung beeinflusst bei ihrer Durchquerung des ISMs diese Turbulenzen, ist aber zugleich von
ebendiesen Turbulenzen abhängig. Soll nun untersucht werden, wie genau sich die Diffusion
kosmischer Strahlung verhält, muss eine Lösung des Problems gefunden werden, welche diesen
Effekt des Selbsteinflusses berücksichtigt. Solch eine Lösung kann über eine Abhängigkeit des
Diffusionskoeffizienten D von der Verteilungsfunktion f selbst ermittelt werden. Ein solcher
Fall wird beispielsweise in [7] behandelt, die dort angegebenen Lösungen sollen im späteren
Verlauf dieser Arbeit exakt nachvollzogen werden.
Bevor dies effektiv geschehen kann, muss vorher allerdings noch die mathematische Basis
geschaffen werden, da für die Behandlung der folgenden Diffusionsprobleme Gleichungen der
Form
∂f
∂ ∂f γ ∂f
=
·
(2.7)
∂t
∂x ∂x ∂x
auftreten werden. Im Folgenden wird es um Lösungsmethoden für diese spezielle Art Gleichung gehen.
4
2.4
Ähnlichkeitslösungen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen
Dieser Teil der Arbeit soll sich ganz der Darlegung der Ähnlichkeitslösungen am Vorbild von
Dresner [4] widmen. Die Idee der Ähnlichkeitslösungen nutzt die Invarianz gewisser Differendy
tialgleichungen unter Transformationen aus. Die Differentialgleichung dx
= konst. = a ist
(
0
α
x =λ x
invariant unter der Transformation:
y 0 = λα y
0
α
λ dy
dy
dy
Es gilt nämlich: dx
0 = λα dx = dx .
Um zu sehen wie sich diese Art der Invarianz ausnutzen lässt, werden im Folgenden zwei einfachere Gleichungen mit Hilfe dieser Invarianzen gelöst, um die allgemeine Lösungsstruktur
aufzuzeigen. Zunächst wird die Invarianz zur Lösung einer herkömmlichen DGL verwendet,
um die gefundene Lösung im Anschluss vergleichen zu können.
Zunächst wird der allgemeinen Fall betrachtet, dass eine Differentialgleichung der Form1
ẏ = G(x, y)
(2.8)
vorliegt.
Diese Gleichung soll gelöst werden durch Einführung einer neuen Variablen z, welche invariant
gegenüber der folgenden Streckungstransformation sein soll:
(
x0 = λx
y 0 = λα y
Es ergibt sich also eine neue invariante Variable z =
Darstellung nach x, so folgt:
(2.9)
y
xα .
Differenziert man diese allgemeine
dz
1 ẏ
y
1 G
= ( α−1 − α α ) = ( α−1 − αz)
dx
x x
x
x x
(2.10)
Ausserdem folgt ẏ 0 = λα−1 ẏ, sodass weiterhin gilt:
λα−1 ẏ = G(λx, λα y)
∂G
∂G
⇒ (α − 1)G = x
+ αy
∂x
∂y
(2.11)
(2.12)
Dabei entstand der letzte Ausdruck durch Differenzieren nach λ und Auswerten an der Stelle
λ = 1. Dieser Ausdruck kann nun interpretiert werden als Ableitung der Funktion G nach
einer Variablen u, sodass aus einem Vergleich mit dem Ausdruck
dG
∂G dx ∂G dy
=
+
du
∂x du
∂y du
(2.13)
dx
dy
dG
=
=
(α − 1)G
x
αy
(2.14)
folgt:
G
Somit existieren die unter der Streckungsgruppe invarianten Ausdrücke xα−1
und xyα . Diese
beiden Audrücke müssen nun aufgrund der obigen Gleichung die Bedingung erfüllen:
G
y
= f( α )
xα−1
x
(2.15)
1
Hierbei bezeichnet ẏ eine totale Ableitung nach den Argumenten (in diesem Fall also x), keine zeitliche
Ableitung, wie sonst in der physikalischen Schreibweise üblich.
5
Also kann die Gleichung 2.10 geschrieben werden als:
dz
1
= (f (z) − αz)
dx
x
dz
dx
⇒
=
(f (z) − αz)
x
(2.16)
(2.17)
Schlussendlich konnte somit unter Ausnutzung der Streckungsgruppe eine Variablentrennung
vorgenommen werden.
Im Folgenden wird ein kurzes Beispiel gerechnet:
Sei ẏ = xy 2 , dann wird die Invarianz unter der Steckungsgruppe 2.9 erfüllt für α = −2. Unter
Verwendung der neuen Invarianten z = yx2 folgt:
1
1
1
dz
= (ẏx3 + 2yx2 ) = (y 2 x4 + 2yx2 ) = (z 2 + 2z)
dx
x
x
x
(2.18)
Die so entstehenden Integrale lassen sich lösen und es folgt: ln(x) + D = 12 (ln(z) − ln(z + 2)).
Daraus ergibt sich die Lösung in der Form:2
y=
−2
−C
(2.19)
x2
Dies ist das gleiche Ergebnis, das aus einer direkten Integration der DGL folgen würde. Die
Methode der Streckungsgruppe ist an dieser Stelle zwar umfangreicher, doch bei komplexen
DGLs wird sie sich als gute Methode zur Lösung derselben erweisen.
Als nächstes Beispiel wird nun ein kurzer Lösungsabriss für die DGL der Standarddiffusionsgleichung gegeben. Die Gleichung soll für diese Rechnung lauten3
∂f
∂2f
=
∂t
∂x2
(2.20)
Es wird eine neue Streckungsgruppe angesetzt:

0
α


f = λ f
t0 = λβ t
(2.21)


x0 = λx
Diese Streckungsgruppe wird im gesamten weiteren Verlauf der Arbeit noch von großer Bedeutung sein. Aus dieser Streckungsgruppe geht hervor, dass β = 2 und α zunächst nicht
näher bestimmbar ist. Wird nun der gleiche Ansatz wie oben verwendet, so ergibt sich über
die geforderte Identität λα f (x, t) = f (λx, λ2 t) und eine Ableitung nach λ an der Stelle λ = 1:
df
dx
dt
=
=
αf
x
2t
(2.22)
Aus dieser Gleichung ergeben sich nun die zwei invarianten Ausdrücke
eine Lösung der Form:
α
f (x, t) = t 2 g(
x
1
t2
2
3
Hierbei bezeichnet C eine reelle Konstante
Unter der Verwendung von D = 1
6
)
f
α
t2
und
x
1
, sodass man
t2
(2.23)
erhält, wobei g eine noch nicht näher bekannte Funktion darstellt. Im Folgenden wird die
neue Variable z = x1 verwendet werden.
t2
Wird die so gefundene Darstellung in die ursprüngliche partielle DGL eingesetzt, so lässt sich
direkt herleiten:
α−2
α α−2
1 α−3
(2.24)
t 2 y(z) − t 2 xẏ(z) = t 2 ÿ(z)
2
2
Diese Gleichung lässt sich leicht vereinfachen und es resultiert:
α
1
y(z) − z ẏ(z) = ÿ(z)
2
2
(2.25)
Dies ist eine im Allgemeinen lösbare Differentialgleichung zweiter Ordnung für y(z). Somit
wäre das Problem gelöst, bis auf den konkreten Wert für α. Dieser ergibt sich aus den Randbedingungen, welche für das behandelte System gesetzt werden. So kann α beispielsweise
ermittelt werden, wenn gefordert wird, dass y an den Rändern des Integrationsgebietes verschwindet, oder das räumliche Integral stets einen konstanten, also zeitunabhängigen Wert
liefert. Dies wird in späteren Kapiteln noch ausführlicher behandelt werden.
2.5
VLUGR3
Nicht alle Differentialgleichungen, welche in der Physik von Bedeutung sind, lassen sich mit
modernen mathematischen Methoden analytisch lösen. Allerdings besteht die Möglichkeit, sie
numerisch mit Hilfe von Computerprogrammen zu ermitteln. Dabei wird den Programmen
nur eine Anfangsbedingung und eine Entwicklungsvorschrift gegeben, die Lösungen für andere
Zeit-/oder Ortspunkte werden dann vom Programm über diskrete Schritte berechnet.
Als sehr einfaches Beispiel sei im Folgenden die Differentialgleichung
dy
=x
dx
(2.26)
mit der Anfangsbedingung y(x = 0) = 3 gegeben. Diese Gleichung kann sowohl analytisch als
auch numerisch berechnet werden. Analytisch ergibt sich die Lösung:
1
y = x2 + 3
2
(2.27)
Um sie numerisch auf einem Bereich von x = 0 bis x = 10 zu lösen muss zuerst der Raum
diskretisiert, also in Zellen eingeteilt werden. Um beim obigen Besipiel zu bleiben, wird der
Raum [0, 10] in 100 kleinere Zellen aufgeteilt, jeweils mit der Größe dx = 0, 1. Sei der Punkt
y(x) bekannt, der jeweils nächste Punkt läge bei x + dx, sein Wert y(x + dx) ergäbe sich über
die Vorschrift:
y(x + dx) = y(x) + ẏ(x) · dx
(2.28)
Wird also dem Programm der Wert y(0) = 3 vorgegeben, so wäre der Wert für y(0, 1) gegeben
durch y(0, 1) = 3+0·0, 1 = 3, der Wert für y(0, 2) = y(0, 1)+ ẏ(0, 1)∗dx = 3+0, 1·0, 1 = 3, 01
etc. Die so erlangten Ergebnisse spiegeln natürlich nicht die analytisch exakt berechneten
Werte wieder, aber bei einer ausreichend feinen Unterteilung kann die Abweichung von den
exakten Werten minimiert werden. In der Abbildung 2.1 ist die Auswirkung der Anzahl der
Integrationsschritte dargestellt. Es wurde nach der oben beschriebenen Methode die Diffedy
rentialgleichung dx
= x auf dem Raum 0 < x < 1, 5 gelöst. Im ersten Fit ist das Ergebnis
7
abgebildet, welches in 5 Integrationschritten angefertigt wurde und welches deutliche Abweichungen von der analytisch exakten Lösung zeigt, welche rechts unten in der Abbildung zu
sehen ist. Ausserdem ist zu erkennen, dass mit zunehmenden Integrationsschritten die Qualität der numerisch ermittelten Lösungen besser wird, bei 10 Gitterpunkten ist die Kurve
schon genauer dargestellt als zuvor und bei 100 Gitterpunkten ist mit dem bloßem Auge kein
Unterschied mehr erkennbar.
Abbildung 2.1: Integrationsplots für unterschiedliche Integrationsschritte
Es ist anschaulich, dass Funktionen, welche eine stärkere Steigung besitzen, sich also
schneller ändern, eine feinere Unterteilung benötigen um gute Resultate zu erhalten als flache
Kurven. Allerdings kommt man schnell an den Punkt, an welchem der benötigte Speicher
zu groß wird, die Rechenzeit des Programmes zu lang ist. Um dieses Problem anzugehen
exisitert eine große Menge an verschiedenen Verfahren, welche in der Numerik angewandt
werden, um kostengünstiger zu rechnen. Einige Methoden bestehen aus einer anderen Berechnungsvorschrift für die Integrationsschritte, welche dann auch bei größeren Schritten eine
bessere Genauigkeit garantieren, andere arbeiten beispielsweise mit Transformationen in den
Frequenzraum mittels Fouriertransformation um Rechenaufwand zu sparen. Im Laufe der Zeit
entstanden somit einige Algorithmen, welche in der Lage sind auch komplexe Probleme schnell
und genau zu lösen. Eines dieser Programme ist das in dieser Arbeit verwendete VLUGR3
[2].
8
VLUGR3 löst Probleme der Form:4
F (t, x, y, z, f, fx , fy , fz , fxx , fyy , fzz , fxy , fxz , fyz , ft ) = 0,
also partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Raum. Auch VLUGR3 verwendet
die Methode der finiten Differenzen, es teilt das Volumen, auf welchem die Gleichung zu lösen
ist in diskrete Gitterpunkte in 3D auf. Im Folgenden nun eine Erklärung wie VLUGR3 ein
Diffusionsproblem der oben beschriebenen Art lösen wird:
∂f
Es gelte eine Diffusionsgleichung der Form: ∂f
=
F
f,
,
...
. Auf dem gerade definierten
∂t
∂x
Gitter, kann nach dieser Vorschrift die rechte Seite ermittelt werden und somit ein konkreter Wert für ∂f
∂t . Mit diesem kann dann ein Zeitschritt durchgeführt werden und man erhält
die Konzentration zum Zeitpunkt t + dt. Dabei ergeben sich Werte für die ersten und zweiten Ableitungen am Punkt i · dx, wobei i eine natürliche Zahl ist, beispielsweise über die
Berechnungsvorschriften:
f ((i + 1)dx) − f ((i − 1)dx)
2 · dx
f ((i + 1)dx) − 2f (i · dx) + f ((i − 1)dx)
fxx (i ∗ dx) =
(dx)2
fx (i ∗ dx) =
(2.29)
(2.30)
Es existiert eine große Zahl an möglichen Berechnungsvorschriften, welche alle ihre eigenen
Vor- und Nachteile im Bezug auf Genauigkeit, Geschwindigkeit usw. besitzen.
Die Besonderheit von VLUGR3 besteht nun in der Verwendung eines adaptiven Gitters. In
der bisherigen Erklärung numerischer Methoden, wurde das diskrete Gitter stets konstant
und äquidistant gewählt. VLUGR3 passt die Feinheit des Gitters nun dem Gradienten der
Funktion an, somit ist das Gitter an den Stellen besonders fein, an welchen sich die Funktion
schnell ändert, sodass Kanten wie im ersten Teilbild von Abbildung von 2.1 vermieden werden.
Außerdem bietet die Methode des adaptiven Gitters einige Vorteile. Beispielsweise wird der
Speicher effizienter genutzt, da in Volumina, in denen der Gradient von f klein ist, nur einige
wenige Punkte gespeichert werden. Dies führt überdies zu einer Steigerung der Rechengeschwindigkeit, da die Änderungen der Funktionswerte auf weniger Punkten berechnet werden
muss. Die Qualität der Ergebnisse leidet kaum unter diesem Verfahren, da das Gitter stets
fein genug erzeugt wird, um hinreichend genaue Ergebnisse zu erhalten. Überdies verwendet
VLUGR3 einen adaptiven Zeitschritt. Durch die Adaptivität dieses Zeitschrittes variiert die
Größe des Wertes dt. VLUGR3 benutzt diese Adaptivität um eine möglichst konvergierende
Lösung der numerischen Simulation zu erhalten.
In einem späteren Kapitel wird VLUGR3 zur Lösung von konkreten Diffusionsproblemen
verwendet.
4
Hierbei soll gelten fx =
∂
,f
∂x xx
=
∂2f
,f
∂x2 xy
=
∂ ∂f
∂x ∂y
=
9
∂ ∂f
∂y ∂x
etc.
Kapitel 3
Analytische Rechnungen
3.1
Rechnung unter Verwendung der Kolmogorov-Dämpfung
In diesem Teil der Arbeit liegt der Fokus auf den Rechungen von Ptuskin et al. ([7]). Diese
untersuchen in ihrer Veröffentlichung den Einfluss von MHD-Turbulenzen1 auf das Diffusionsverhalten kosmischer Strahlung. Ausgangspunkt der gesamten Überlegung ist ein Diffusi4vr
onskoeffizient der Form D = 3πU (kg r ) . Dabei ist v die Geschwindigkeit der Teilchen, welche
aufgrund der relativistischen Energie der kosmischen Strahlung als annähernd c angenommmen werden kann, rg ist der Larmor-Radius der Teilchen und kr = r1g ist die resonante
Wellenzahl. Die Funktion U (k) bezeichnet den normierten und dimensionslosen spektralen
Anteil der zufälligen magnetischen Felder. Um diese Funktion zu ermitteln, betrachtet man
wie [7] die Wachstums- und Dämpfungsraten der MHD-Wellen.
Die Wachstumsrate wird angegeben als 2 :
Γcr (kr ) =
16π 2 Va vp4
|∇f |
3B 2 U (kr )
(3.1)
Als Wellendämpfung wurde eine nicht-lineare Dämpfung nach Kolmogorov angenommen, welche die folgende Form besitzt:3
3
q
ΓK (k) = (2CK )− 2 kVa U (k)
(3.2)
Auf Basis dieser Angaben und unter Verwendung der in Kapitel 2 vorgestellten Ähnlichkeitslösungen wird nun die Verteilungsfunktion f ermittelt und anschließend mit den Ergebnissen
aus [7] verglichen. Zunächst gilt es den Diffusionskoeffizienten zu bestimmen, dafür muss ein
Ausdruck für die Funktion U (kr ) gefunden werden. Diese ergibt sich über:
1
MHD bedeutet an diser Stelle Magneto-Hydrodynamik, eine Erweiterung der Hydrodynamik auf geladene Teilchen, unter Berücksichtigung der erzeugten elektrischen und magnetischen Felder. Ebenso wie in der
Hydrodynamik gibt es auch in der MHD kleinere Störungen in diesen Systemen, die so genannten Turbulenzen
2
Hier ist Va die Alfven-Geschwindigkeit, f die Verteilungsfunktion, welche abhängig ist vom Ort r und der
Zeit t.
3
Hierbei ist CK die so genannte Kolmogorov-Konstante, welche sich nach Ptuskin und Zirakashvili [6] auf
einen Zahlenwert von CK ≈ 3, 6 beläuft.
10
Γcr (kr ) = ΓK (kr )
q
16π 2 Va vp4
− 32
k
V
U (kr )
|∇f
|
=
(2C
)
r
a
K
3B 2 U (kr )
⇒
16
3
⇒
U (kr ) =
2
3
4
2
8
4
3
2
3
2π 3 v 3 p 3 Ck
2
(|∇f |) 3
(3.3)
B kr
Setzt man dies in die Form des gegebenen Diffusionskoeffizenten ein, so erhält man:
2
4
22 vrg B 3 (kr ) 3
D=
3π
16
3
2
3
4
3
2
3
·
8
3
· 2π v p CK
2
4
1
1
(|∇f |)
(vrg ) 3 B 3
=
2
3
1
3
5
3
7
3
8
3
·
3 2 π p CK
1
(|∇f |)
2
3
κ
=
2
(|∇f |) 3
(3.4)
2
Es gilt nun: |∇f | 3 = (∇f ) 3 , somit wird die in Kapitel 2.2 gefundene Gleichung zu:
∂f
∂f
∂
D·
=
∂t
∂x
∂x
∂
=κ
∂x
∂f
∂x
− 2
∂f
·
∂x
3
!
∂
=κ
∂x
∂f
∂x
1 !
3
(3.5)
Diese Art Gleichung kann man, wie oben gesehen, mithilfe
der Ähnlichkeitslösungen behan
0
α


f = λ f
,
deln. Man verwendet erneut die Streckungsgruppe: t0 = λβ t


x0 = λx
und erhält aus dieser Relation durch Substitution die wichtige Beziehung:
2
2
4 1
β−α=1+ α− −α+1= − α
3
3
3 3
und somit:
4
2
β− α=
3
3
Wie bereits im vorherigen Kapitel, kann nun der Ansatz:
x
α
β
f =t y
(3.6)
!
(3.7)
1
tβ
verwendet werden, wobei erneut z =
x
1
gelten soll. Als nächstes gilt es konkrete Werte für
tβ
α und β zu bestimmen. Der Weg, welcher sich zuerst anbietet, ist die Forderung nach einer
Teilchenzahlerhaltung, also für ein zeitlich konstantes n:
Z ∞
n=
Z ∞
f dx = 2
f dx
−∞
(3.8)
0
Wird der obige Ansatz für f in diese Gleichung eingesetzt, so folgt:
n
=
2
Z ∞
α
β
t y(z)dx = t
0
α
β
Z ∞
1
β
t y(z)dz = t
0
α+1
β
Z ∞
y(z)dz
(3.9)
0
Um eine zeitliche Unabhängigkeit zu gewährleisten, muss somit α = −1 gelten. Aus 3.6 folgt
somit, dass β = 32 . Der resultierende Ansatz lautet somit in aller Vollständigkeit:
3
f = t− 2 y
x
3
t2
11
(3.10)
Gleichung 3.10 eingesetzt in 3.5, führt mithilfe von4
3 5
3 5
3 5
ft = − t− 2 y(z) − t− 2 z ẏ(z) = − t− 2 (y(z) + z ẏ(z))
2
2
2
−3
fx = t ẏ(z)
9
fxx = t− 2 ÿ(z)
1
κ −2
= fx 3 fxx
ft = κ fx3
3
x
(3.11)
zu einer Differentialgleichung für y(z) der Form:
− 2
9
3 5
κ −3
− t− 2 (y(z) + z ẏ(z)) =
t ẏ(z) 3 t− 2 ÿ(z)
2
3
3
κ 2
− (y(z) + z ẏ(z)) = ẏ − 3 (z)ÿ(z)
2
3
3 d
d 1 −
(y(z)z) = κ
ẏ 3 (z)
2 dz
dz
1
3
konst. = κẏ 3 (z) + y(z)z
2
⇒
⇒
⇒
(3.12)
Die Verteilungsfunktion f soll nun symmetrisch sein, um keine Richtung auszuzeichnen, außerdem sollte sie überall stetig differenzierbar sein, sodass wir aus der letzten Gleichung folgern
können, dass für die Ableitung an der Stelle z = 0 gilt ẏ(0) = 0. Weiter folgt:
1
3
− zy(z) = κẏ 3 (z)
2
33 3 3
− 3 z y (z) = κ3 ẏ(z)
2
33
− 3 z 3 dz = κ3 y −3 (z)dy
2
33 4
z + C = κ3 y −2 (z)
24
1
y=q 3
3 4 1
z κ3 +
24
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
C
κ3
Schlussendlich folgt somit:
1
3
f = t− 2 y(z) = q
33 x4 1
24 t3 κ3
+
(3.13)
C 3
t
κ3
Die Konstante C kann ermittelt werden, mithilfe der Forderung 3.8. 3.13 eingesetzt in 3.8
ergibt:
n
=
2
4
Z ∞
Z ∞
f dx =
0
Hierbei sind nun ft =
0
∂f
∂t
4Γ2
1
q
,fx =
33
24
x4
t3
1
κ3
∂f
,f
∂x xx
+
=
C 3
t
κ3
2
∂ f
,
∂x2
dx = √
π
√ 3
Ct 2
3
κ2
5
4
q
4
33 1
24 t6 C
4Γ2 54
=√ √
3
4
π 3C 324
κ2
eine Notation, die von nun an beibehalten wird.
12
(3.14)
Die angegebene Lösung des Integrals kann in Integraltafeln (z.B. Wolfram Alpha) nachgeschlagen werden. Unter Verwendung dieser Gleichung kann somit angeben werden:
5
4
2
3
4
π 3 n
216 Γ8
C=
=
Γ8
Γ4
1
4
1
2
κ6
33 n4
(3.15)
Einsetzen dieser gefundenen Konstante C in 3.13, führt zu der gesuchten exakten Verteilungsfunktion:
1
f (x, t) = r
(3.16)
Γ8 ( 14 ) κ3 t3
3
4
3 x 1
+ Γ4 1 33 n4
24 t3 κ3
(2)
Um den Diffusionskoeffizienten in seiner exakten Darstellung zu betrachten, benötigt man
zunächst:
33 x3 1
1
22 t3 κ3
(3.17)
fx = − 3
2 3 4
Γ8 ( 14 ) κ3 3 2
3 x 1
+ Γ4 1 33 n4 t
24 t3 κ3
(2)
Somit ergibt sich:
− 2

1

D = κ 2
3
33
22
33 x4 1
24 t3 κ3
+
x3
t3
1
κ3
Γ8 14
Γ4 12
( ) κ3 3
t
( ) 33 n4


3 
2 
33 x4 1
24 t3 κ2
=
+
Γ8 ( 14 ) κ4 3
t
Γ4 ( 1 ) 33 n4
2
32 x2 1
22 t2 κ2
8 1
3 x2 Γ 4 22 κ6 t5
=
+
5 4 2
4 t
Γ4 12 3 n x
(3.18)
Mit diesen Angaben kann im Folgenden nun ermittelt werden, wann ein Beobachter an einer
Position x0 eine maximale Teilchenkonzentration, oder einen maximalen Diffusionskoeffizienten registriert. Für die maximale Teilchenkonzentration erhält man nach einer zeitlichen
Ableitung von 3.16 nach t zur Zeit t0 am Ort des Maximums x0 :
0=
0=−
∂f (t, x)
∂t
t=t0 ;x=x0
Γ8
x04
1
3 02
1
4 κ t
+
24 t04 κ3 Γ4 1 32 n4
2
34
(3.19)
Somit ergibt sich eine Beziehung der Form:
3
0
2 · κ 2 Γ2
x =
3
2
3 Γ
1
4
1
2
3
t0 2
(3.20)
n
3
Somit ist x0 ∝ t0 2 .
Für den Diffusionskoeffizienten findet sich ein Maximum an der Stelle x00 zur Zeit t00 :
1
00
x =
2 · 5 4 Γ2
3
2
3 Γ
1
4
1
2
3
κ2
3
t00 2
(3.21)
n
Beim Vergleich dieser Ergebnisse mit denen von Ptuskin et al. [7], stellt man fest, dass die
Ergebnisse exakt übereinstimmen. Somit sind die Ergebnisse von [7] auf diesem Weg verifiziert.
13
3.2
Rechnung unter Verwendung einer schwachen MHD-Kopplung
In diesem Abschnitt wird nun der von Ptuskin [7] nicht näher ausgeführte Fall behandelt,
dass Γdis ∝ U (kr ).
Unter der Annahme, dass Γdis = ξkVa U (kr ), Γcr wie bisher und D auch wie in 3.1 beschrieben,
folgt erneut durch Gleichsetzen der beiden Γ Terme ein Audruck für U (kr ), diesmal in der
Form:
q
U (kr ) ∝ |∇f |
(3.22)
Aus dieser Proportionalität folgt ein Diffusionskoeffizient D:
1
D = κ (|∇f |)− 2
(3.23)
Einsetzen in die Differentialgleichung der Diffusion liefert:
∂f
∂
∂
D f
=
∂t
∂x
∂x
!
1
∂ − 2 ∂
= κ f ·
f
∂x
∂x
(3.24)
∂
∂
Um mit dem Betrag umzugehen, wird an dieser Stelle angenommen, dass | ∂x
f | = ∂x
f , mit
dieser Gleichung wird gerechnet werden und am Schluss die Lösung gegebenenfalls angepasst.
Man erhält als ausgeschriebene Gleichung:
∂f
∂
=κ
∂t
∂x
∂
f
∂x
1 !
2
1 −1
= κ fx 2 fxx
2
(3.25)
Setzt man erneut die Streckungsgruppe wie bisher an, so erhält man diesmal die Beziehung
für α und β:
1
3
1 1
(3.26)
α − β = −1 − + α ⇒ α − β = −
2 2
2
2
Ausserdem folgt der bereits gut bekannte Ansatz:
α
β
f (x, t) = t y
x
!
1
(3.27)
tβ
Da erneut eine konstante Teilchenzahl im Gesamtvolumen vorausgesezt wird, folgt erneut
α = −1 und somit hier β = 1 und man erhält somit einen Ansatz der Form:5 f = t−1 y xt .
Aus dieser Form resultieren die Identitäten:
fx = t−2 ẏ(z)
fxx = t−3 ÿ(z)
ft = −t−2 (y(z) + z ẏ(z))
5
Ab hier gilt wieder z =
x
.
t
14
(3.28)
Durch Einsetzen in 3.25 folgt somit:
⇒
κ −2 − 1
t ẏ 2 (z)ÿ(z)
2
κ 1
−(y(z) + z ẏ(z)) = ẏ − 2 (z)ÿ(z)
2
1
−y(z)z = κẏ 2 (z)
⇒
y 2 (z)z 2 = κ2 ẏ(z)
−t−2 (y(z) + z ẏ(z)) =
⇒
z 2 dz = κ2 y −2 (z)dy
1
1 3
z + C = −κ2
3
y
−κ2
y= 1 3
3z + C
⇒
⇒
⇒
⇒
f (t, x) =
−κ2
x3
3t2
+ Ct
(3.29)
Dabei bezeichnet C erneut eine näher zu bestimmende Konstante. Vorher allerdings sollte
ein Problem der so gefundenen Lösung angesprochen werden. Zwar löst die in 3.29 ermittelte
Verteilungsfunktion formal die Ausgangsdifferentialgleichung 3.25, allerdings ergibt sich das
Problem, dass f im positiven x-Bereich entweder stets negativ ist, oder aber Polstellen besitzt.
Ausserdem ist f in der Form, wie es in 3.29 notiert wurde, überdies noch asymmetrisch, all
diese Eigenschaften widersprechen den eigentlichen Bedingungen einer Verteilungsfunktion.
Leider ist es auch nicht möglich, einfach das Negative des gefundenen Ergebnisses als Verteilungsfunktion zu verwenden, da −f die Ausgangsdifferentialgleichung nicht erfüllt. Um dieses
Problem aus der Welt zu schaffen, betrachte erneut die ursprügnliche Ausgangsdifferentialglei
∂ ∂
chung 3.24, in welcher noch die die Vereinfachung vorgenommen wurde, dass ∂x
f = ∂x
f . In
dieser Gleichung geht aufgrund des Betrages ein negatives Vorzeichen verloren. Somit erfüllt:
f (t, x) =
κ2
x3
3t2
(3.30)
+ Ct
die Ausgangsgleichung 3.24, siehe im Folgenden den Beweis aufgrund der Identitäten:
∂f
κ2
= −
2
∂t
x3
+
Ct
3t2
2 x3
− 3 +C
3t
∂f
κ2
= −
2
∂x
x3
+
Ct
3t2
x2
t2
15
!
!
Somit folgt:

!
− 1
∂ 2 ∂
∂ 
·
f =κ

∂x f ∂x
∂x
κx
t
"
∂
=κ
(−1) ·
∂x
x3
3t2
= −κ  + Ct
+C −
x3
3t2
= −κ2  

x3
2  3t3
x3
3t2

#
x3
t3
2
+ Ct
!−1
κx
t
+ Ct
1
t
x3
3t2
· (−1) · −
+ Ct


= −κ2
x3
3t2
2 x3
− 3 +C
3t
2
+ Ct
x3
3t2


2 
+ Ct

x3
t3
x3
3t2
2
κ2 xt2

2 
+ Ct
!
=
∂f
∂t
(3.31)
Damit ergibt sich als finale Lösung:
f (t, x) =
κ2
|x|3
3t2
(3.32)
+ Ct
Diese Lösung ist nun nicht negativ, symmetrisch und besitzt bei einer positiven Konstante C
und t > 0 auch keine Polstellen.
Um die Konstante C zu bestimmen verwendet man nun erneut die Teilchenzahl n, es folgt:
n
=
2
Z ∞
0
2
3
1
2π 3Ct
3
2πκ2
f (x, t)dx = √
=
2
7
3 3 · 3t21κ2
36 C 3
(3.33)
Die Lösung des Integrals findet sich erneut in Integraltafeln. Es folgt weiterhin:
2
3
C =
4πκ2
7
3
⇒C=
36 n
8π 2 κ3
7
3
(3.34)
34 n2
Nach dem Einfügen dieser Konstante in die Verteilung, folgt:
f (t, x) =
1
|x|3
3t2 κ2
(3.35)
3
+
8π 2 κt
7
3
34 n2
Um nun einen Eindruck davon zu erhalten, inwieweit sich das Verhalten unter der hier angegebenen Verteilungsfunktion im Vergleich zu 3.13 äußert, wird nun mit der hier gefundenen
Lösung ebenfalls eine Extremalrechnung angefertigt. Da f symmetrisch ist, reicht im Folgenden die Betrachtung x0 > 0 aus, da f (t, x) sich in negativer Richtung genau so verhält wie
in positiver, es existiert somit keine ausgezeichnete Richtung. Im Gegensatz dazu werden im
Numerikteil dieser Arbeit auch noch Systeme diskutiert, in denen eine solche Vorzugrichtung
existiert, vorgegeben durch die Richtung einer Konvektionsgeschwindigkeit. Gesucht ist im
Folgenden der Zeitpunkt t0 , zu dem ein Beobachter am Ort x0 ein Maximum an Teilchenkonzentration registriert.
16
Um die Maximumsbedingung zu erfüllen, muss gelten:
∂f (t, x)
∂t
=0
t=t0 ;x=x0
3
⇒
−
⇒
⇒
⇒
2 x03
8π 2 κ
+ 7 3 =0
03
2
3t κ
34 n2
3
2 x03
8π 2 κ
= 7 3
3 t03 κ2
34 n2
3
3
03
8π 2 κ t
03
3
3 = x
34 · 2 · n2
2
1
2 3 π 3 κt0
= x0
1
1
6
2
3 n
(3.36)
Die Abhängigkeit von t0 und x0 ist somit linear, was im Übrigen von Ptuskin et al. vorhergesagt
wurde. Im Vergleich zur Abhängigkeit aus 3.20 zeigt sich, dass bei dieser Art Diffusion, an
einem Ort x0 das Maximum der Konzentration erst später erreicht wird, die Konzentration
breitet sich langsamer aus.
3.3
Verallgemeinerung der Lösungen
γ
Nun soll der Versuch gewagt werden, Lösungen für den Fall Γdis ∝ U 2 (kr ) anzugeben, mit
γ ∈ N . Der Ansatz zur Lösung dieses Problems bleibt gleich.
Es gilt nun an dieser Stelle nach 3.1:
γ
Γcr = ξ|∇f | · U −1 ∧ Γdis = $U 2
(3.37)
Daraus ergibt sich ein Diffusionskoeffizient der Form:
−2
D = κ (|∇f |) γ+2
(3.38)
Setzt man diesen in die Diffusionsgleichung ein, so folgt:
−2
∂f
∂ ∂f γ+2
=κ
∂t
∂x ∂x ∂f
∂x
!
∂
=κ
∂x
∂f
∂x
γ
γ+2
!
(3.39)
An dieser Stelle eine wichtige Anmerkung:
∂f
Die hier aufgeführte Rechnung nimmt genau wie in Abschnitt 3.2 an, dass ∂f
∂x = ∂x . Am
Ende dieses Abschnittes wird gezeigt, dass die Anpassung der gefundenen Lösung genau wie
in 3.2 ermittelt werden kann. Zunächst folgt aus der obigen Gleichung die Beziehung:
γ
γ
+α
γ+2
γ+2
2
−2γ − 2
α
=
+β
γ+2
γ+2
2γ + 2
2
=β−
α
γ+2
γ+2
α − β = −1 −
⇒
⇒
17
(3.40)
Dies folgt nach dem erneuten Einsatz der schon oft verwendeten Streckungsgruppe. Aufgrund
2γ
der zeitlichen Konstanz von n folgt erneut α = −1, woraus nun folgt, dass β = γ+2
. Erneut
folgt der Ansatz der Form:
!
x
α
β
f (t, x) = t y
=t
1
−γ−2
2γ
x
y
tβ
x
Es gilt nun wie schon zuvor z =
t
der Zeit:
ft =
γ+2
2γ
t
!
(3.41)
γ+2
2γ
. Betrachte im Folgenden die partielle Ableitung nach
−3γ−2
−γ − 2 −3γ−2
−γ − 2 −γ−2
−γ − 2 −3γ−2
t 2γ y(z) +
t 2γ ẏ(z)t 2γ x =
t 2γ (y(z) + z ẏ(z))
2γ
2γ
2γ
(3.42)
Für die Ableitungen nach der Raumvariablen gilt:
fx = t
fxx = t
−2γ−4
2γ
−3γ−6
2γ
ẏ(z)
(3.43)
ÿ(z)
(3.44)
Eingesetzt in die Ausgangsgleichung 3.39 ergibt sich:
γ
γ+2
ft = κ fx
x
−2
−γ − 2 −3γ−2
γ
t 2γ (y(z) + z ẏ(z)) = κ
fxγ+2 fxx
2γ
γ+2
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
−γ − 2
2γ
⇒
⇒
−2
−2γ−4
γ+2 −3γ−6
−γ − 2 −3γ−2
γ
t 2γ (y(z) + z ẏ(z)) = κ
t 2γ ẏ(z)
t 2γ ÿ(z)
2γ
γ+2
−3γ−6
−2
−γ − 2 −3γ−2
γ γ2 γ+2
t 2γ [y(z) + z ẏ(z)] =
t ẏ
(z)κt 2γ ÿ(z)
2γ
γ+2
−2
−γ − 2 −3γ−2
γ −3γ−2
t 2γ [y(z) + z ẏ(z)] =
t 2γ ẏ γ+2 (z)κÿ(z)
2γ
γ+2
i
γ
−γ − 2 d
d h γ+2
ẏ
[y(z)z] = κ
(z)
2γ dz
dz
γ
−γ − 2
y(z)z = κẏ γ+2 (z)
2γ
−γ − 2
2γ
γ+2
γ
−γ − 2
2γ
γ+2
γ
z
γ+2
γ
y
γ+2
γ
γ+2
γ
z
(z) = κ
γ+2
γ
dz = κ
γ+2
γ
γ+2
γ
ẏ(z)
y
− γ+2
γ
dy
2γ+2
γ+2
γ
γ
−2
z γ +C =κ γ −
y γ (z)
2γ + 2
2
"
−γ − 2
2γ
γ+2 γ
⇒
y(z) =
⇒

γ+2 −γ − 2 γ

y(z) =
2γ
2γ+2
γ
2
− γ+2
− γ+2
−
z γ
κ γ + Cκ γ
2γ + 2
γ
γ
2γ + 2
x
t
2γ+2
γ
γ 2 +3γ+2
γ2
− γ
2
− γ+2
− γ+2
−
κ γ + Cκ γ 
γ
(3.45)
18
#− γ2
2
−γ−2
Die Verteilungsfunktion f (t, x) ergibt sich nun durch Multiplikation von y mit t 2γ . Für
Lösungen, bei denen γ ungerade ist, liefert dieses Ergebnis die tatsächliche physikalische
Begebenheit. Wie allerdings schon im vorherigen Kapitel deutlich wurde, verhält es sich bei
−γ−2
2γ
γ+2 γ
geraden γ anders. Deutlich wird dies in 3.45 durch die Faktoren
− γ2 . Wählt man
γ gerade wie beispielsweise in der Rechnung im Kapitel zuvor (dort galt γ = 2), so erhält
man an dieser Stelle ein negatives Vorzeichen, während der Exponent der äußeren Klammer
gerade ist. Somit resultieren in der Klammer entweder komplett negative Ergebnisse falls
C < 0 oder Polstellen wenn C > 0. Dies führt in beiden Fällen zu Widersprüchen, entweder
erhält man komplexe Ergebnisse, oder aber es wird zu Polstellen kommen, beides widerspricht
der physikalischen Auffassung einer Verteilungsfunktion. Um dieses Problem für gerade γ zu
überwinden, sollte der gleiche Weg wie im Kapitel 3.2 gewählt werden. Für gerade γ stellt
sich die Ausgangsgleichung wie in 3.39 dar.
Es wird im Anhang gezeigt, dass die Funktion:
fγ (x, t) = t
−γ−2
2γ

γ+2 γ+2 γ

2γ
γ
2γ + 2
2γ+2
γ
x
t
− γ
2
− γ+2
− γ+2
κ γ + Cκ γ 
γ
γ 2 +3γ+2
γ2
2
(3.46)
nun tatsächlich 3.39 auf positiven x erfüllt.
Aus der so gefundenen Lösung lassen sich selbstverständlich die Lösungen aus 3.1 und 3.2
reproduzieren. Betrachte also:
− 32
f1 (x, t) =t
" 3 3 1 x4
2
t6
4
#− 1
· 2κ
"
33 x4
= 4 3 κ−3 + Cκ−3 t3
2 t
−3
−3
2
+ Cκ
#− 1
2
(3.47)
Und:
f2 (x, t) =t−1
=
" 1 x3
t3
3
" 1 x3
3
t2
#−1
κ−2 + Cκ−2
#
−2
κ
−2
+ Cκ
t
(3.48)
Somit konnten alle alten Ergebnisse verifiziert werden. Die Konstante
C lässt sich in einer
R
allgemeinen γ-Darstellung nicht bestimmen, da das Integral n2 = 0∞ fγ (x, t)dx
keine allgemeine Lösung besitzt.
3.4
Ansatz zur Lösung einer zeitabhängigen Teilchenzahl
Als letzte Rechnung soll noch der Fall einer zeitabhängigen Teilchenzahl behandelt werden,
um zu zeigen, dass die Ähnlichkeitslösungen auch in diesem Fall zu Ansätzen/Ergebnissen
führen. Die Differentialgleichung lautet wie zuvor:
−2
∂f
∂ ∂f γ+2
=κ
∂t
∂x ∂x 19
∂f
∂x
!
(3.49)
Unter den gleichen Annahmen wie im vorherigen Kapitel, folgt somit erneut ein Ansatz der
Form:
!
α
x
f (t, x) = t β y
(3.50)
1
tβ
Bisher wurde an dieser Stelle der Koeffizient α bstimmt, über die Annahme, dass die Teilchenzahl n zu allen Zeitpunkten konstant sein soll. In diesem Teil der Arbeit, soll kurz der Frage
nachgegangen werden, inwiefern eine Zeitabhängigkeit der Teilchenzahl n sich in den resultierenden Gleichungen äußert. Die Teilchenzahl n kann aus verschiedenen Gründen zeitabhängig
sein, beispielsweise könnten durch eine Quelle der kosmischen Strahlung mehr Teilchen in das
relevante System befördert werden. Eine weitere Möglichkeit ist, dass Teilchen absorbiert
werden, oder sich gegenseitig eliminieren. Inwiefern die Teilchenzahl dann zeitabhängig ist,
ist natürlich stark vom betrachteten Szenario abhängig. Im Folgenden wird diskutiert, was
geschieht, wenn sich die Teilchenzahl nach einem Potenzgesetz der folgenden Form verhält:
n(t) = φtδ
(3.51)
Es gilt somit:
φtδ
=
2
Z ∞
α
β
t y
0
x
1
β
!
α
dx = t β · t
−1
β
Z ∞
α
t β y (z) dz
(3.52)
0
t
Da die Exponenten von t auf beiden Seiten übereinstimmen müssen, gilt:
δ=
α+1
β
(3.53)
Es gelten also unter Berücksichtigung von 3.40 zwei Gleichungen zur Bestimmung von α und
β:
δ=
α+1
β
2γ + 2
=β−
γ+2
(3.54)
2
α
γ+2
(3.55)
Nach α umgeformt, ergibt sich:
α = δβ − 1
γ+2
2γ + 2
γ+2
α=
β−
=
β − (γ + 1)
2
2
2
Gleichsetzen führt zu:
δβ − 1 =
γ+2
β−γ−1
2
γ+2
⇒ δ−
β = −γ
2
−γ
⇒β=
δ − γ+2
2
Wird dies in die Gleichungen für α eingesetzt, so folgt:
α=
−δγ − δ +
δ−
20
γ+2
2
γ+2
2
(3.56)
Aus diesem Ergebnis lassen sich nun erneut die bereits erlangten Ergebnisse replizieren. Betrachtet man beispielsweise den Fall von Ptuskin et al [7], also γ = 1, δ = 0, dann ergeben
sich α, β zu:
3
2
= −1
− 32
−1
2
β= 3 =
3
−2
α=
Sehr offensichtlich gestaltet sich dieses Problem nun als noch komplexer um allgemeine Lösungen anzugeben, da α und β nun vergleichsweise umfangreiche Ausdrücke von γ und δ
enthalten. Nichtsdestotrotz lässt sich natürlich auch mit diesen Ausdrücken ein Ansatz für
das Diffusionsproblem definieren, dieser ergibt sich nun zu:
f (t, x) = t
δγ+δ−
γ
γ+2
2

x
y
t
γ+2
δ− 2
−γ


(3.57)
Ein Ansatz für solch ein zeitabhängiges Verhalten konnte also angegeben werden. Natürlich ist
es wenig wahrscheinlich, dass sich die Teilchenzahl so systematisch nach einem Potenzgesetz
verhält, allerdings lässt sich jede in Frage kommende Zeitfunktion nach einer Taylorreihe
entwickeln und somit zumindest über Potenzgesetze approximieren.
Nun folgt ein kurzer Überblick über mögliche Werte von α und β nach der obigen Vorschrift.
Zunächst einmal ist es recht interessant, dass der Fall α = −1 tatsächlich nur in einem System
mit zeitunabhängiger Teilchenzahl möglich ist, denn α = −1 impliziert δ = 0 ∨ γ = 0. Der
erste Fall entspricht dem oben genannten System mit zeitunabhänigiger Teilchenzahl. Der
zweite Fall führt zu der folgenden Form von f :
f (t, x) = t
−1
0
y
x
1
(3.58)
t0
Diese Funktion macht als Verteilungsfunktion keinen physikalischen Sinn. Somit sind für zeitabhänige Lösungen nur Werte von α ungleich eins zulässig. Dies führt auf einen wesentlich
schwerer zu lösenden Typ von Differentialgleichung, da nun die Exponenten von t nicht mehr
betragsmäßig gleich sind. (Im Anhang zwei Beispiele an denen die Komplikationen deutlich
werden, welche beim Lösen dieser Gleichungen auftreten können.)
Als Fazit für zeitabhängige Lösungen ergibt sich somit, dass eine nicht konstante Teilchenzahl die Schwierigkeit der Lösungen der Gleichungen drastisch erhöht. Um für diese Art der
Diffusion im Allgemeinen Lösungen angeben zu können, muss weiter in die Tiefe gegangen
werden, was aber an dieser Stelle nicht Bestandteil der Arbeit sein soll.
21
Kapitel 4
Auswertung mit VLUGR3
4.1
Numerische Behandlung analytisch gelöster Systeme
Im folgenden Teil soll es nun vor allem um die numerische Behandlung der Diffusionsprobleme gehen. Zunächst sollte überprüft werden, ob VLUGR3 [2] das in Kapitel 3.1 gefundene
analytische Ergebnis repliziert. Um dies zu überprüfen, wurden in VLUGR3 die Rahmenbedingungen des in Kapitel 3.1 aufgestellten Diffusionsproblems implementiert, also eine zu
lösende Differentialgleichung der gleichen Form wie in 3.11:
0 = ft −
−2
κ
fxx · fx 3
3
(4.1)
Da VLUGR3 allgemein in drei Dimensionen rechnet, galt es bei der folgenden Auswertung
zunächst, diese Rechnung auf eine Dimension einzugrenzen. Dazu wurde das dreidimensionale
Gitter, auf welchem VLUGR3 rechnet, so erstellt, dass in y- und z-Richtung jeweils nur drei
Gitterpunkte vorlagen, was die Rechnung somit auf einen sehr dünnen, quasi eindimensionalen Quader reduzierte. Die beiden Achsen spannten dabei einen Bereich von y = z = [1; 2] auf.
Der Definitionsbereich der x-Achse wurde gewählt als x = [1, 32], die Auflösung betrug zunächst 201 Gitterpunkte. Überdies wurde als weitere Randbedingung gewählt, dass fz und fy
jeweils verschwinden1 , um eine glatte Funktion in Richtung der für die Berechnung irrelevanten Achsen zu garantieren. Als Ausgangsverteilung wurde die in Kapitel 3.1 exakt berechnete
Verteilung zum Zeitpunkt t = 0 gewählt, bei den Parameterwerten κ = 1,n = 1, um die
Rechnung zu vereinfachen2 . Desweiteren wurde die Lösung an den Rändern des Definitionsbereiches von x ebenfalls durch die analytische Lösung definiert. Eine Alternative an dieser
Stelle wäre beispielsweise die Randbedingung, dass auch die partielle Ableitung nach x an
den Rändern verschwindet. Die zeitliche Lösung der numerischen Rechnung sollte zwischen
den Zeitpunkten t = 1, 5 und t = 4 ermittelt werden, ein Plot wurde alle 0,5 Zeiteinheiten
erstellt. Sollte das Programm stabil und fehlerfrei laufen, wäre an dieser Stelle somit eine
Übereinstimmung zwischen dem analytisch berechneten und numerisch simulierten Ergebnis
zu erwarten. Neben der numerisch errechneten Lösung wurde deshalb noch ein Plot angelegt,
welcher den exakt berechneten Verlauf der Konzentration spiegelt, um die Ergebnisse miteinander vergleichen zu können. Es ergab sich durch die Rechnung mit diesen Randbedingungen
der Plot der in Abbildung 4.1 zu sehen ist.
1
Sowohl hier als auch in der obigen Gleichung bedeutet dies, dass die gegebenen Ausdrücke einem Residuum
entsprechen, mit einem Wert sehr dicht bei 0 [2], da bei numerischer Integration ein Wert exakt gleich 0 nicht
garantiert werden kann, als Folge der Rundungen, die das Prgramm zwangsläufig tätigen muss.
2
Eine mögliche Erweiterung der vorliegenden Arbeit läge beispielsweise in der Anpassung dieser Parameter
an reale Systeme, um eine reale Situation beobachten zu können
22
Abbildung 4.1: Plot numerischer und analytischer Ergebnisse nach Ptuskin et al [7] mit 201
Gitterpunkten
numerical
analytical
0.05
f(x)
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
5
10
15
20
25
30
x
Man kann sehen, dass der Grad der Übereinstimmung der beiden Kuren extrem hoch ist,
d.h. die analytische Lösung stimmt mit den numerischen Ergebnissen überein. Sowohl die
numerische, als auch die analytische Rechnung zeigen einen Teilbereich einer glockenkurvenähnlichen Funktion, welche in Richtung großer x-Werte abfällt. Beide Resultate zeigen auch,
dass diese Ausgangskurve mit der Zeit immer weiter abflacht. Man kann sich vorstellen, das
die Kurve auf dem betrachteten Bereich nach einer unendlichen Zeit genau einer Konstanten
Funktion entspricht.
Da die benötigte Rechenzeit mit der Anzahl der Gitterpunkt steigt, stellt sich die Frage,
ob das Programm auch mit deutlich weniger vorgegebenen Gitterpunkten ähnlich gute Ergebnisse erzielt. Der nächst Plot zeigt das Ergebniss einer Rechnung vollkommen identischer
Parameter, allerdings mit weniger Gitterpunkten. Dies sollte zeigen, ob VLUGR3 auch mit
wenigen Ausgangsgitterpunkten in der Lage ist ein gutes Ergebniss zu erzielen. Die Rechnung
wurde nun nicht mit 201 sondern nur mit 21 Gitterpunkten, also einer zehnfach schlechteren
Auflösung durchgeführt, das Ergebnis ist in Abbildung 4.2 präsentiert.
23
Abbildung 4.2: Plot numerischer und analytischer Ergebnisse nach Ptuskin et al [7] mit 21
Gitterpunkten
numerical
analytical
0.05
f(x)
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
5
10
15
20
25
30
x
Zu sehen ist, dass zwar die Abweichungen von der analytisch berechneten Kurve geringfügig größer sind, die analytische Kurve allerdings qualitativ immer noch gut dargestellt wird.
Somit zeigt sich, dass VLUGR3 sehr effizient dabei ist, die Differentialgleichung numerisch
auszuführen und eine Lösung zu ermitteln.
4.2
Numerische Berücksichtigung der Konvektion
Im Anschluss soll nun versucht werden, die Konvektion in den bisher ermittelten numerischen
Lösungen zu berücksichtigen. Kosmische Strahlung unterliegt neben einer Diffusionsbewegung
auch einer Konvektionsbewegung, somit verändert sich die bisher bekannte Änderungsrate der
Konvektion zu:
∂f
= ∇ (D · ∇f ) − v∇f
(4.2)
∂t
Dabei ist v die so genannte Konvektionsgeschwindigkeit. In der auf eine Dimension vereinfachten Gleichung ergibt sich:
∂f
∂
∂f
=
D·
∂t
∂x
∂x
− vx
∂f
∂x
(4.3)
Diese Gleichung ist nun im Allgemeinen nicht über die bisher verwendeten Ähnlichkeitslösungen lösbar, im Anhang wird gezeigt, dass für die Gleichung mit einen Diffusionskoeffizienten
der Form aus Kapitel 3.1 keine analytische Lösung angegeben werden kann. Somit bietet sich
VLUGR3 als Lösungswerkzeug für dieses Problem an, da schon im vorherigen Unterkapitel
deutlich wurde, dass es sich eignet um nicht lineare partielle Differentialgleichungen zu simulieren. Im Folgenden wird nun eine grobe Approximation der Delta-Funktion in den Punkt
24
x = 20 gelegt. Dabei wurde eine Konvektionsgeschwindigkeit in negativer Richtung gewählt.
Die Delta-Approximation hat im verwendeten Fall die Form:
(x−20)2
1
f (x) = √ · e− a2
πa
(4.4)
Dabei wurde a = 1, 5 und vx = −4, 5 gewählt. Das von VLUGR3 berechnete numerische
Ergebniss stellt sich wie folgt dar:
Abbildung 4.3: Simulation der Konvektion ohne kontinuierlichen Quellterm bei 201 Gitterpunkten
0.5
t>0
t=0
0.4
f(x)
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
5
10
15
20
25
30
x
Die Ergebnisse entsprechen den Erwartungen:
Zum Einen zerfliesst der anfägliche Delta-Hügel mit zunehmender Zeit, was gut an der immer flacheren Gestalt der Verteilung zu sehen ist. Zum Anderen propagiert das Maximum
der Verteilung nun in die Richtung der vorgegebenen Konvektionsgeschwindigkeit. Bei sehr
großen Zeiten ist zu erwarten, dass die Konzentration gegen 0 konvergiert, da die gesamte
Verteilung durch die Konvektion aus dem betrachteten Bereich getragen wird.
Im Folgenden soll der Frage nachgegangen werden, was geschieht, wenn nun anstelle der
einmaligen Implementation eines Delta-Peaks zu Beginn der Simulation eine kontinuierliche
Erzeugung an diesem Ort stattfindet. Dies ist ein Szenario, welches in der Umgebung von
Sternen gefunden werden kann. Dabei erzeugen die Sterne durch Winde kontinuierlich neue
25
Teilchen, welche sowohl der anomalen Diffusion als auch der Konvektion durch das interstellare Medium unterworfen sind. Es gilt also eine Simulation mit Konvektionsgeschwindigkeit
durchzuführen, wobei an einem Ort kontinuierlich neue Teilchen eingefügt werden. Was wäre
nun zu erwarten?
In negativer v-Richtung tragen Diffusionsstrom und Konvektionsstrom gleiche Vorzeichen,
somit sollte sich in dieser Richtung eine Art Plateau ergeben. Im Bereich x ≥ 21 weisen die
beiden Ströme hingegen in entgegengesetzte Richtungen. In dieser Richtung kann es somit
zu einem stationären Zustand, einer Schockfront kommen. Um dieses Problem anzugehen,
wurde das zu berechnende Problem in zwei Teile aufgeteilt. Zunächst wurde eine Rechnung
mit den gleichen Werten für vx , κ und a im Bereich x = [0, 21] durchgeführt. Dabei wurde
eine Auflösung von 201 Gitterpunnkten gewählt. Anschließend wurde mit identischen Parametern eine Rechnung im Bereich x = [21; 31] durchgeführt. In der ersten Rechnung wurde die
rechte Seite des Definitionsbereiches konstant auf dem Anfangswert des Deltapeaks gehalten,
die linke Seite wurde als Randbedingung 0 gewählt. Bei der zweiten Rechnung wurden diese
Randbedingungen umgedreht. Die numerischen Ergebnisse können im folgenden Diagramm
betrachtet werden:
Abbildung 4.4: Simulation der Konvektion mit kontinuierlichem Quellterm bei 401 Gitterpunkten
0.4
t>0
t=0
0.3
f(x)
0.2
0.1
0
−0.1
0
5
10
15
20
25
30
x
In der Tat kann das Vermutete in der Simulation beobachtet werden. In negativer Rich-
26
tung bildet sich ein Plateau heraus, die Tatsache, dass dieses Plateau an der Stelle x = 0 auf
0 abfällt ist den vorgegebenen Randbedingungen geschuldet, die ein Verschwinden der Verteilungsfunktionen an den Rändern des betrachteten Bereiches verlangen. Dies kann leicht
umgangen werden indem der betrachtete x-Bereich vergrößert wird, bei gleich bleibenden
Zeitintervall.
Die Randbedingungen stellen in positiver Richtung kein Problem dar, es stellt sich tatsächlich
ein Gleichgewichtsprofil ein. Ab der gut zu sehenden Schockfront fällt die Teilchenkonzentration stark ab, an dieser Stelle gleichen sich Diffusionstrom und Konvektionsstrom gegenseitig
aus.
Im Folgenden soll noch einmal die Struktur des Schocks besser dargestellt werden, dazu wurde
die obige Rechnung erneut durchgeführt, allerdings mit der wesentlich höheren Auflösung von
1000 Gitterpunkten. Ausserdem ist nur der relevante Bereich von x = [17, 24] abgebildet.
Abbildung 4.5: Simulation der Konvektion mit kontinuierlichem Quellterm bei 2001 Gitterpunkten
0.4
t>0
t=0
0.3
f(x)
0.2
0.1
0
−0.1
17
18
19
20
21
22
23
24
x
Zum Abschluss der Arbeit soll an dieser Stelle noch verglichen werden, wie essenziell der
Effekt der anomalen Diffusion in dem oben behandelten Szenario ist. Um dies zu überprüfen
wurde erneut eine Simulation durchgeführt, diesmal allerdings eine Lösung der Form:
0=
∂2f
∂f
∂f
− D 2 − vx
∂t
∂x
∂x
27
(4.5)
Sämtliche Parameter wurden aus dem Fit aus Abbildung 4.4 übernommen, der Diffusionskoeffizient D wurde aus Gründen der numerischen Einfacheit auf 1 gesetzt, wie schon κ zuvor.
Es ergibt sich folgende Kurve, bei insgesamt 1400 Gitterpunkten:
Abbildung 4.6: Simulation der Konvektion mit Quellterm und Gaußscher Diffusion bei 1401
Gitterpunkten
0.4
t>0
t=0
0.3
f(x)
0.2
0.1
0
−0.1
0
5
10
15
20
25
30
x
Es ist zu sehen, dass sich auch in diesem Falle eine Gleichgewichtsverteilung einstellt.
Dies ist mit der gleichen Argumentation zu erklären wie schon zuvor bei der anomalen Diffusion, Konvektionsstrom und Diffusionsbewegung gleichen sich aus. Die Form des Plateaus
gestaltet sich bei D = 1 allerdings anders als bei der vorherigen Rechnung mit κ = 1 bei
anomaler Diffusion. Im Falle der Gaußschen Diffusion scheint die Konvektionsgeschwindigkeit
eine erheblich größere Rolle zu spielen, da das Deltapeak nur nach links getragen wird und
sich in dieser Richtung seine Gestalt kaum verändert. Erst nach längerer Zeit zeigt sich eine
Formveränderung. Dafür scheint das Profil in der Nähe des Schocks im rechten Bereich der
Simulation wesentlich steiler. Dies liegt erneut daran, dass die anomale Diffusion an einer
solchen Struktur wesentlich höher ist, da sie an dieser Stelle proportional zu einer positiven
Potenz des extrem hohen Gradienten ist. Somit kann die anomale Diffusion die Teilchen bei
gleicher Konvektionsgeschwindigkeit weiter in den Raum hinaus tragen, was sich in einem
flacheren Schock äußert. Für eine exakte Beschreibung der Diffusion sollte also das Modell
28
der anomalen Difffusion berücksichtigt werden.
Zuletzt soll nun noch eine andere Art der Implementation für das Konvektionsproblem besprochen werden. In den bisherigen Rechnungen für Konvektion mit einer Teilchenquelle erfolgte
das Hinzufügen der Teilchen über die Randbedingungen. Es ist natürlich auch möglich, die
Quelle als Term in der Diffusionsgleichung darzustellen. Diese ergibt sich dann wie folgt:
0 = ft −
−2
(x−20)2
κ
1
∂f
fxx · fx 3 − √ · e− a2 − vx
3
πa
∂x
(4.6)
Dabei sind a und vx wie zuvor. Die Abbildung 4.7 entstand unter dieser Vorraussetzung und
den Randbedingungen, dass die Verteilungsfunktion an den Rändern verschwinden möge.
Abbildung 4.7: Simulation der Konvektion mit in der DGL integriertem Quellterm, anomaler
Diffusion und 201 Gitterpunkten
0.5
t>0
t=0
0.4
f(x)
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
5
10
15
20
25
30
x
Der Plot entstand unter der Verwendung von 201 Gitterpunkten.
Zu sehen ist, dass das Plateau, welches sich ausbildet einen erheblich niedrigeren DichteWert hat und auch der Schock erheblich flacher ist. Woran liegt dieses Verhalten? In dieser
Simulation wurde über den Term
(x−20)2
1
√ · e− a2
(4.7)
πa
29
eine Quelle bei x = 20 eingefügt, welche eine bestimmte Anzahl an Teilchen pro Zeiteinheit
dt in das System einfließen lässt. Ist die Konvektionsgeschwindigkeit groß genug, so trägt sie
mehr teilchen pro Zeiteinheit von der Quelle fort, als diese nachfließen lassen kann, der Teilchenwert am Ort der Quelle reduziert sich, was in der Folge einen niedrigeren Gradienten der
Verteilung zur Folge hat.
Werden die Teilchen über Randbedingungen hinzugefügt, so ist es unerheblich, wie groß die
Konvektionsgeschwindigkeit ist und wie schnell die Teilchen abgetragen werden, der Funktionswert an der Stelle der Quelle wird immer auf den gleichen Wert gesetzt. Es handelt sich in
diesem Falle also um eine Quelle welche unbegrenzt viele Teilchen in beliebig kleinen Zeiteinheiten nachliefern kann. Dieser Unterschied in der Implementation der Quelle sorgt für das
unterschiedliche Erscheinungsbild der resultierenden Kurven.
Welche Art der Implementation nun angewandt werden sollte oder müsste, ist ahängig von
dem System das simuliert werden soll. Handelt es sich um ein System mit vergleichweise kleiner Teilchenkonzentration und/oder hohen Konvektiosngeschwindigkeiten, sollte die Quelle
direkt in der Gleichung eingefügt werden, da diese Form der Beschreibung die physikalische
Realität besser beschreibt.
Bei Systemen mit hohen Teilchenkonzentrationen und/oder kleinen Konvektiongeschwindigkeiten kann die Implementation der Quelle über Randbedingungen erfolgen. Auch wenn diese
eine unphysikalische unerschöpfliche Teilchenquelle simulieren, reicht dies als Näherung für
viele Systeme mehr als aus. Außerdem hat sich im Laufe des Arbeitsprozesses mit dem Programm VLUGR3 herausgestellt, dass diese Art der Implementation der Quelle viel stabiler
läuft, als das Einfügen des Quellterms in der zu lösenden Gleichung.
30
Kapitel 5
Fazit
Im Verlauf der vorliegenden Arbeit, ist es gelungen das Phänomen der anomalen Diffusion
anschaulich zu beschreiben und auf eine kompakte mathematische Form zu bringen.
Dabei hat sich gezeigt, dass die resultierenden Diffusionsprozesse sich sehr gut durch nichtlineare partielle Differentialgleichungen beschreiben lassen, welche durch eine Abhängigkeit
des Diffusionskoeffizienten von der zu berechnenden Verteilung selbst entstehen.
Durch die Methode der Ähnlichkeitslösungen konnte ferner eine solide Methode entwickelt
werden, diese Gleichungen zu lösen. Die Methode der Ähnlichkeitslösungen bewährte sich bei
einer Reihe von grundlegenden Problemstellungen, beispielsweise konnte das Szenario von
Ptuskin et al. [7] exakt nachvollzogen werden.
Überdies konnten die Lösungen auf allgemeinere Fälle und Anwendungen erweitert werden.
Bei der Behandlung von anomaler Diffusion in Verbindung mit Konvektion stellte sich heraus, dass die Ähnlichkeitslösungen keine zuverlässige Methode darstellen die resultierenden
partiellen Differentialgleichungen zu erfüllen. An dieser Stelle musste somit das Programm
VLUGR3 eine numerische Lösung liefern. Das Programm zeigt sich als gut anwendbar, da es
sowohl die analytisch errechneten Ergebnisse verifizierte, als auch Lösungen für die Konvektionsprobleme lieferte.
Mithilfe des Programms konnten Schocks modelliert werden, welche durch die Kombination
einer Teilchenquelle, anomaler Diffusion und einer Konvektionsgeschwindigkeit entstanden.
Ein Vergleich mit dem Verhalten von normaler Gausscher Diffusion zeigte qualitative Unterschiede im Verhalten der Teilchenkonzentrationen auf kurzen Zeitskalen. Somit ist gezeigt,
dass eine Berücksichtigung der anomalen Diffusion qualitative Unterschiede für einige Modellrechnungen bedeutet.
Mögliche Anwendungen für zukünftige Arbeiten wären zum Einen eine Erweiterung der Ähnlichkeitslösungen um anomale Diffusion analytisch besser beschreiben zu können und zum
Anderen eine nähere Untersuchung der Rahmenbedingungen unter denen der Einfluss der
Anomalität der Diffusion relevant wird, also die selbstkonsistente Lösung ermittelt werden
muss und keine Gaussche Diffusion angenommen werden sollte. Außerdem bietet die zuletzt
im Numerikteil angesprochene Variation der Implementation der Quellen ebenfalls noch eine
Möglichkeit weiter in die Tiefe gehende Vergleiche anzustellen um möglichst optimale Randund Implementationsbedingungen für die Simulationen zu erarbeiten.
31
Literatur
[1]
P. C. Assis Jr. u. a. “Nonlinear diffusion equation, Tsallis formalism and exact solutions”.
In: Journal of Mathematical Physics 46.12, 123303 (Dez. 2005), S. 123303. doi: 10.
1063/1.2142838.
[2]
J.G. Blom und J.G. Verwer. “VLUGR3: a vectorizable adaptive grid solver for PDEs in
3D, part I: algorithmic aspects and applications”. In: Applied Numerical Mathematics
16.1 (1994), S. 129 –156. issn: 0168-9274. doi: http://dx.doi.org/10.1016/01689274(94)00047- 6. url: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
0168927494000476.
[3]
O. V. Bychuk und B. O’Shaughnessy. “Anomalous Diffusion at Liquid Surfaces”. In:
Physical Review Letters 74 (März 1995), S. 1795–1798. doi: 10.1103/PhysRevLett.
74.1795.
[4]
L. Dresner. Similarity solutions of nonlinear partial differential equations. Research
notes in mathematics. Pitman Advanced Pub. Program, 1983. isbn: 9780273086215.
url: https://books.google.de/books?id=DTrvAAAAMAAJ.
[5]
A. Lazarian und H. Yan. “Superdiffusion of Cosmic Rays: Implications for Cosmic Ray
Acceleration”. In: ApJ 784, 38 (März 2014), S. 38. doi: 10.1088/0004-637X/784/1/38.
arXiv: 1308.3244 [astro-ph.HE].
[6]
V. S. Ptuskin und V. N. Zirakashvili. “Limits on diffusive shock acceleration in supernova remnants in the presence of cosmic-ray streaming instability and wave dissipation”.
In: A&A 403 (Mai 2003), S. 1–10. doi: 10.1051/0004-6361:20030323. eprint: astroph/0302053.
[7]
V. S. Ptuskin, V. N. Zirakashvili und A. A. Plesser. “Non-linear diffusion of cosmic
rays”. In: Advances in Space Research 42 (Aug. 2008), S. 486–490. doi: 10.1016/j.
asr.2007.12.007.
[8]
H. Spohn. “Surface dynamics below the roughening transition”. In: Journal de Physique
I 3 (Jan. 1993), S. 69–81. doi: 10.1051/jp1:1993117.
[9]
V. M. Vinokur, M. V. Feigel’man und V. B. Geshkenbein. “Exact solution for flux
creep with logarithmic U(j) dependence: Self-organized critical state in high-Tc superconductors”. In: Physical Review Letters 67 (Aug. 1991), S. 915–918. doi: 10.1103/
PhysRevLett.67.915.
[10]
G. Zimbardo u. a. “Superdiffusive transport in laboratory and astrophysical plasmas”.
In: Journal of Plasma Physics 81.6, 495810601 (Dez. 2015), S. 495810601. doi: 10 .
1017/S0022377815001117.
32
Anhang A
Verifizierung der Lösung 3.46
In diesem Teil des Anhang wird gezeigt, dass die Gleichung (vgl. 3.46):
f (x, t) = t
−γ−2
2γ

γ+2 γ+2 γ

2γ
γ
2γ + 2
x
t
2γ+2
γ
− γ
2
− γ+2
− γ+2
κ γ + Cκ γ 
γ
2γ 2 +3γ+2
γ2
2
(A.1)
tatsächlich die Ausgangsdifferentialgleichung
−2
∂ ∂f γ+2
∂f
=κ
∂t
∂x ∂x ∂f
∂x
!
(A.2)
erfüllt. Um dies zu verifizieren, wird zunächst die bestehende Gleichung vereinfacht zu:

γ+2 γ
γ
+
2
f (x, t) = 
2γ

γ+2 γ+2 γ

=
2γ
1
γ+1
1
γ+1
x
t
2γ 2 +3γ+2−γ−2
γ2
x
t
2γ+2
γ
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
κ
− γ+2
γ
κ
− γ+2
γ
− γ+2
γ
+ Cκ
− γ+2
γ
+ Cκ
t
γ+2
γ2
t
γ+2
γ2
− γ
2

− γ
2
(A.3)

Nun werden zuerst die partiellen Ableitungen nach der Zeit und dem Ort bestimmt:

γ
γ+2
ft = − 
2
2γ
γ+2 
γ
γ 2 + 2γ
· −
γ2
!
1
γ+1
γ+2
2γ
x
t
2γ+2
γ
γ 2 +γ
γ2
γ+2 γ
κ
− γ+2
γ
− γ+2
γ
1
γ+1
+ Cκ
x
t
2γ+2
γ
κ
γ 2 +γ
γ2
− γ+2
γ
t
γ+2
γ2
+
 −γ−2
2


−γ 2 +γ+2
γ+2
− γ+2
γ t
γ2

Cκ
γ2
(A.4)

γ+2 γ  γ+2 γ
fx = −
2
2γ
1
γ+1
x
t
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
κ


γ+2
γ+2
γ
γ+2
γ
x
2
γ+2
−
κ γ 
·
γ 2 +2γ
γ
2γ
t
γ2
33
− γ+2
γ
− γ+2
γ
+ Cκ
t
γ+2
γ2
 −γ−2
2

(A.5)
Daraus kann der Betrag von fx entnommen werden, und es folgt:
−2
|fx | γ+2
γ
=
2

γ+2 γ+2 γ

2
γ
−2
γ+2
2γ
·
γ+2
2γ
− 2
γ
x
t
2
− γ+2
⇒ |fx |
γ+2
2γ
−2
γ+2
x
t
1
γ+1
− γ2
x
t
x
t
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
γ+2 −2
· γ+2
γ
κ
γ 2 +2γ −2
· γ+2
γ2
2γ+2
γ
− γ+2
γ
κ
γ 2 +2γ
γ2
κ
− γ+2
γ
− γ+2
γ
+ Cκ
t
γ+2
γ2


−2
− γ+2
· γ+2
γ
− γ+2
γ
+ Cκ
t

γ+2
γ2

2
κγ
· fx
2γ
·
γ
− γ2

γ+2 γ+2 γ
=
γ+2 ·
γ+2
2γ

γ+2 γ+2 γ

=
1
γ+1
2γ
·
−2
γ+2
− 2
γ
x
t
1
γ+1
− γ2
− γ2
t
2γ+2
γ
− γ+2
γ
κ
γ 2 +2γ
γ2
− γ+2
γ
+ Cκ
t

γ+2
γ2

2
κγ

γ+2 γ+2 γ
γ
·− 
2
x
2γ
1
γ+1
x
t
2γ+2
γ
κ
γ 2 +2γ
γ2
− γ+2
γ
− γ+2
γ
+ Cκ
t
γ+2
γ2
 −γ−2
2



γ+2
γ+2
γ
γ+2
γ
2
γ
+
2
x
−
·
κ γ 
γ 2 +2γ
γ
2γ
t

γ+2 γ
γ
+
2
=−
2γ
γ2
1
γ+1
x
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
κ
− γ+2
γ
− γ+2
γ
+ Cκ
t
γ+2
γ2
− γ
2

t
γ + 2 x −1
·
κ
2γ
t
Somit ergibt sich für die rechte Seite der DGL:
(A.6)
−2
κ(|fx | γ+2 fx )x

γ+2 γ+2 γ

=−κ
2γ
γ+2
·
2γ
γ+2
·
2γ
x
t
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
− γ+2
γ
− γ+2
γ
κ
+ Cκ
t
γ+2
γ2
− γ
2

1 −1
κ
t

γ+2 γ  γ+2 γ
+ κ
2
1
γ+1
2γ
γ+2 γ
1
γ+1
1
γ+1
x
t
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
2γ + 2
γ
34
− γ+2
γ
κ
x
t
γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
− γ+2
γ
+ Cκ
− γ+2
γ
κ
·
t
γ+2
γ2
γ+2
2γ
 −γ−2
2

x −1
κ
t
(A.7)
Nachdem die Summanden zusammengefasst wurden, ergibt sich:
−2
κ(|fx | γ+2 fx )x

γ+2 γ+2 γ
=
2γ

· −
γ+2
2γ
2γ+2 γ

γ+2 γ+2 γ
=
2γ

· 1 −
1
γ+1
1
γ+1

· −
2γ
2
γ+1

γ+2
2γ
· −
2γ
γ2
+ 2γ
γ2
!
2γ+2
γ
x
t
x
t
κ
2γ+2
γ
− γ+2
γ
x
t
1
γ+1
t
x
γ
t
1
γ+1
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
x
t
− γ+2
γ
− γ+2
γ
− γ+2
γ
κ
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
κ
1
γ+1
x
t
− Ct
2
+ Cκ
2γ 2 +2γ
γ2
− γ+2
γ
κ
t
− γ+2
γ
t
γ+2
γ2
γ+2
γ2
+
κ
2γ+2
γ

2γ 2 +2γ
γ2

x
t

γ+2 
2γ
 −γ−2
2

−γ 2 +γ+2
γ2
− γ+2
γ
2γ+2
γ
+
γ

−γ 2 +γ+2
γ2
+ Cκ
2γ+2
γ+2
2γ
2
γ+2
γ2
t
 −γ−2
− γ+2
γ
+ Cκ
− γ+2
γ
·κ

γ+2
2γ
− γ+2
γ
− γ+2
γ
t
 −γ−2
γ+2
γ2
+ Cκ
κ
κ
t
−γ 2 +γ+2
γ2
− γ+2
γ
2γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
γ+2 γ
2γ+2
γ
2γ 2 +2γ
γ2
x
+ Cκ
− Ct
κ
γ 2 +2γ
γ2
γ
− γ+2
γ
2γ+2
γ
2γ 2 +2γ
γ2
2γ+2
γ+2
2γ
− γ+2
γ
γ 2 +2γ
γ2
2γ+2

γ+2 γ  γ+2 γ
=−
2
t
γ+2
2γ

γ+2 γ  γ+2 γ
=−
2
x
1
γ+1
1
γ+1

γ+2 
γ2
 −γ−2
2

γ+2
Cκ
γ2
− γ+2
γ
−2
t
−γ 2 +γ+2
γ2


(A.8)
Ein kurzer Vergleich zeigt, dass die beiden Ausdrücke ft und κ(|fx | γ+2 fx )x übereinstimmen,
die in 3.3 gefundene Verteilungsfunktion ist also tatsächlich eine Lösung.
35
Anhang B
Ansätze zur Lösung von Systemen mit zeitabhängiger Teilchenzahl
B.1
Ansatz für γ = 1 und δ = 1
Hier soll nun so weit wie möglich ein Ansatz für die Lösung der Differentialgleichung 3.5
angegeben werden. Aus 3.54 und 3.55 erhält man für γ = 1 und δ = 1 eine Funktion der
Form:
1
x
f (t, x) = t 2 y 1
(B.1)
t2
Für diese Funktion gilt:
3
1 1
1 1
1 1
ft = t− 2 y(z) − t 2 xẏ(z)t− 2 = t− 2 (y(z) − z ẏ(z))
2
2
2
(B.2)
Ausserdem gilt:
1
1
fx = t 2 ẏ(z)t− 2 = ẏ(z)
1
⇒ fxx = ÿ(z)t− 2
1
1
κ 2
⇒ κ (fx ) 3 = ẏ − 3 (z)ÿ(z)t− 2
x
3
(B.3)
Eingesetzt in die Diffusionsgleichung folgt:
1 −1
t 2 (y(z) − z ẏ(z)) =
2
1
1
⇒ y(z) − z ẏ(z) =
2
2
1
κ −2
ẏ 3 (z)ÿ(z)t− 2
3
κ −2
ẏ 3 ÿ(z)
3
(B.4)
Um diese Differentialgleichung anzugehen, sollte erneut ein Blick auf die Methode der Ähnlichkeitslösungen geworfen werden.
Sei also y eine Funktion von z und es gelte die Vorschrift:
ÿ = F (z, y, ẏ)
(B.5)
Erneut lässt sich die Invarianz bezüglich einer Streckungsgruppe ausnutzen, sei also:
(
y0 = θµ y
z 0 = θz
36
(B.6)
Dann lässt sich die Bedingung formulieren:
θµ−2 F (z, y, ẏ) = F θz, θµ y, θµ−1 ẏ
(B.7)
Differenzieren und Auswerten an der Stelle θ = 1 liefert somit:
(µ − 2)F = zFz + µyFy + (µ − 1)ẏFẏ
(B.8)
Genau wie im Grundlagenteil dieser Arbeit lässt sich somit feststellen:
dF
dz
dy
dẏ
=
=
=
(µ − 2)F
z
µy
(µ − 1)ẏ
(B.9)
Es ergeben sich somit drei Abhängigkeiten der Form
F
z µ−2
= c1
ẏ
= c2
z µ−1
y
= c3
zµ
Sei von nun an u =
Form:
y
zµ
und v =
ẏ
.
z µ−1
(B.10)
Der naheliegendste Ansatz gestaltet sich nun nach der
F
z µ−2
= H(u, v)
(B.11)
Es ist nun Ziel, eine Verbindung zwischen v und u herzustellen, denn sollte dies gelingen,
wäre das Problem reduziert auf eine Gleichung in Abhängigkeit von z, y, ẏ, also auf eine
Differentialgleichung erster Ordnung.
Diese Verbindung folgt aus:
du
v µu
= −
dz
z
z
dv
H(u, v) (µ − 1)v
=
−
dz
z
z
(B.12)
Kombiniert man diese beiden Ausdrücke, so erhält man:
H(u, v) − (µ − 1)v
dv
=
du
v − µu
(B.13)
Mit einem Blick auf das gegebene konkrete Beispiel, folgt zunächst nach Anwendung der
Streckungsgruppe:
2
2
µ=− µ+ −2+µ
3
3
2
4
⇒ µ=−
3
3
⇒ µ = −2
Somit folgt weiterhin:
F z 4 = H(u, v); u = yz 2 ; v = ẏz 3
37
(B.14)
Und weiter:
dv
H(u, v) + 3v
=
du
v + 2u
(B.15)
H(u, v) folgt aus:
ÿ = F (z, y, ẏ)
31 2 31 5
y ẏ 3 −
z ẏ 3
⇒F =
2κ
2κ
31 2 4 31 5 5
⇒ F z4 =
y ẏ 3 z −
z ẏ 3
2κ
2κ
2
31 3 5
31
=
(yz 2 )(ẏz 3 ) 3 −
(z ẏ) 3
2κ
2κ
31 2 31 5
=
uv 3 −
v 3 = H(u, v)
2κ
2κ
(B.16)
Somit folgt schlussendlich:
2
5
31
uv 3 − 23 κ1 v 3 + 3v
dv
= 2κ
(B.17)
du
v + 2u
Für diese Differentialgleichung kann an dieser Stelle keine Lösung angegeben werden. Es
besteht die Möglichkeit qualitative Aussagen über das Verhalten der Differentialgleichung zu
treffen, wenn sie graphisch dargestellt wird, beispielsweise in einem 2D Flussdiagramm.
B.2
Ansatz für γ = 1 und δ = −1
Der Lösungsansatz verläuft ganz analog zu dem aus dem ersten Teil dieses Anhangs. Es gilt
für diese Parameter:
x
− 27
f (t, x) = t y 5
(B.18)
t2
Es folgt für die partiellen Ableitungen:
7 9
5 9
ft = − t− 2 y(z) − t− 2 z ẏ(z)
2
2
− 12
2
fx = t
ẏ(z)
17
fx x = t− 2 ÿ(z)
1
κ 9 2
κ (fx ) 3 = t− 2 ẏ − 3 (z)ÿ(z)
x
3
(B.19)
Zusammen ergibt sich somit eingesetzt in die Diffusionsgleichung:
7 −9
5 9
κ 9 2
t 2 y(z) − t− 2 z ẏ(z) = t− 2 ẏ − 3 (z)ÿ(z)
2
2
3
21 1 2 15 1 5
⇒−
y ẏ 3 −
z ẏ 3 = ÿ = F
2 κ
2 κ
(B.20)
Durch Anwendung der bekannten Streckungsgruppe folgt erneut µ = −2, somit folgt der
Großteil des weiteren Lösungsweges genau wie im oberen System. Es folgt:
dv
H(u, v) + 3v
=
du
v + 2u
38
(B.21)
Aus der obigen Darstellung von F folgt überdies:
F z4 = −
Eingesetzt in
dv
du
21 1 2 15 1 5
uv 3 −
v3
2 κ
2 κ
(B.22)
folgt somit:
2
5
1 3
− 21 1 uv 3 − 15
dv
2 κ v + 3v
= 2 κ
du
v + 2u
(B.23)
Erneut folgt somit eine Differentialgleichung von v und u, welche an dieser Stelle nicht mit den
bisher angewandten Methoden gelöst werden kann. Es hat sich somit, wie schon in Kapitel 3.4
der Arbeit ausgearbeitet, gezeigt, dass ein Diffusionsproblem mit zeitabhängiger Teilchenzahl
nicht ohne Weiteres analytisch zu lösen ist.
39
Anhang C
Versuch der analytischen Lösung einer konvektiven
DGL
Es gilt zu zeigen, dass die Differentialgleichung:
∂f
∂
=κ
∂t
∂x
∂f
∂x
1 !
3
+v
∂f
∂x
(C.1)
keine analytische Lösung besitzt, welche über die Methode der Ähnlichkeitslösungen bestimmbar wäre. Um diese Gleichung invariant gegenüber einer Streckungsgruppe der Form

0
α


f = λ f
t0 = λβ t


x0 = λγ x
zu machen, müssen in allen drei Summanden der Gleichung die Potenzen von λ übereinstimmen. Setzt man die Streckungsgruppe an, so folgt für die Exponenten von λ:
α−β ∂f
λ
∂t
=λ
1
α− 43 γ
3
∂
∂f
D
∂x
∂x
+ λα−γ vx
∂f
∂x
(C.2)
Weiter folgt:
1
4
α−β = α− γ
3
3
1
4
α− γ =α−γ
3
3
(C.3)
(C.4)
Betrachte zunächst C.4, dann folgt:
γ = −2α
Eingesetzt in C.3 folgt weiterhin:
β = −2α
Somit lässt sich die Streckungsgruppe schreiben als:

0
α

f = λ f

t0 = λ−2α t


x0 = λ−2α x
40
(C.5)
Das Verfahren folgt nun dem bereits bekannte Muster:
λα f (x, t) = f (λ−2α x, λ−2α t)
∂f (x, t)
∂f (x, t)
⇒ αf (x, t) = −2αt
− 2αx
∂t
∂x
df
dt
dx
⇒
=
=
αf (x, t)
−2αt
−2αx
(C.6)
Weiterhin folgt nach den bekannte Schritten:
f (x, t)
− 12
t
x
=y
t
− 21
⇒ f (x, t) = t
x
t
y
(C.7)
Es lässt sich somit bestimmen:
3
3
∂f
1 3
1
= − t− 2 y(z) − t− 2 z ẏ(z) = t− 2 − y(z) − z ẏ(z)
∂t
2
2
3
∂f
= t− 2 ẏ(z)
∂x
5
∂2f
= t− 2 ÿ(z)
2
∂x
(C.8)
Somit folgt aus der Differentialgleichung:
− 2
3
5
3
1
κ −3
t− 2 − y(z) − z ẏ(z) =
t 2 ẏ(z) 3 t− 2 ÿ(z) + vt− 2 ẏ(z)
2
3
3
3
2
3
1
κ
⇒ t− 2 − y(z) − z ẏ(z) = t− 2 ẏ − 3 (z)ÿ(z) + vt− 2 ẏ(z)
2
3
κ −2
1
⇒ − y(z) − (z + v)ẏ(z) = ẏ 3 (z)ÿ(z)
2
3
2
5
3
31
y(z)ẏ 3 (z) − (z + v)ẏ 3 (z) = ÿ(z)
⇒−
2κ
κ
(C.9)
Diese Differentialgleichung kann nun nicht invariant gegenüber einer Streckung der Form:
(
y0 = θµ y
z 0 = θζ z
sein, denn es müsste aufgrund des zweiten Summanden der linken Seite von C.9 gelten:
3
5
5
5
µ− ζ = µ− ζ
2
2
2
2
(C.10)
Daraus würde folgen, dass ζ = 0 und daraus schließlich auch µ = 0. Somit lässt sich keine
Streckungsgrupe finden, um die Differentialgleichung zu lösen, also ist die Ausgangsdifferentialgleichung nicht über Ähnlichkeitslösungen lösbar, somit ist eine numerische Behandlung
nötig.
41