Einheit 8 - Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

Brückenkurs Mathematik
AHS Analysis
Andreas Kucher
[email protected]
Institute for Mathematics and Scientific Computing
Karl-Franzens-Universität Graz
Graz, September 5, 2015
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Hinweis zu den Folien
Diese Folien sind derart konzipiert, dass sie ohne weitere
Erklärungen eher schwer nachzuvollziehen sind. Sie sollen uns als
roter Faden für die VU dienen. Weiters ist zu beachten, dass
Genauigkeit und Wissenschaftlichkeit unter dem propädeutischen
Charakter des Brückenkurses leiden müssen. An einigen Stellen
sollen vordringlich Ideen und Denkweisen vermittelt werden!
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Zur Analysis
I
von analýein “auflösen“.
I
Neben der linearen Algebra das Fundament für die praktische
mathematische Arbeit.
Die Analysis befasst sich mit:
I
I
I
I
Grenzwerten von Folgen (und Reihen).
Funktionen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und
Integration.
In der Schule: Eindimensionale reelle Analysis.
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Folgen
Definition
Sei A 6= ∅ eine Menge und p ∈ Z. Eine (unendliche) Folge in A ist
eine Abbildung
{n ∈ Z | n ≥ p} → A
a=
n
7→ an
Man schreibt auch a = (an )n≥p = (ap , ap+1 , ...).
I
In der Analysis wird meist verwendet A = R oder A = C,
sowie p = 0 oder p = 1.
I
n
)n≥0 .
Beispiel ( n+1
I
n
Beobachtung: ( n+1
)n≥0 ”konvergiert” gegen 1.
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Andreas Kucher
Konvergenz reeller Zahlenfolgen
Definition
Sei (xn )n≥0 eine Folge reeller Zahlen und x ∈ R. Dann heißt x der
Grenzwert von (xn )n≥0 , wenn gilt:
(∀ε ∈ R>0 )(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) : |xn − x| < ε .
Die Folge (xn )n>0 heißt dann konvergent mit Grenzwert x. Wir
schreiben limn→∞ (xn )n≥0 = x oder (xn )n≥0 → x.
I
Sie werden sehr viel über Folgen lernen!
I
Animation
https://www.youtube.com/watch?v=DZT8o7Y08Mw
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Beispiel einer konvergenten Folge
(xn )n≥1 =
(a) ε = 0.185, n0 = 6.
Brückenkurs Mathematik
(−1)n+1
.
n
(b) ε = 0.05, n0 = 21.
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Die Eindeutigkeit des Grenzwertes
Lemma (Dreiecksungleichung für reelle Zahlen)
Seien a, b ∈ R. Dann gilt: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Lemma
Seien a, b ∈ R und (∀ε ∈ R>0 ) : |a − b| < ε. Dann gilt: a = b.
Theorem (Eindeutigkeit des Grenzwerts)
Eine Folge in R hat höchstens einen Grenzwert.
Beweis.
Sei (xn )n≥0 eine konvergente Folge in R und seien x, x̃ ∈ R mit
(xn )n≥0 → x
und
(xn )n≥0 → x̃ .
Wir werden zeigen (∀ε > 0) : |x − x̃| < ε. Dann folgt x = x̃.
Sei ε ∈ R>0 . Dann
(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) : |xn − x| <
ε
2
und
(∃n˜0 ∈ N)(∀n ≥ n˜0 ) : |xn − x̃| <
ε
2
Ist nun n ≥ max (n0 , n˜0 ), so folgt
|x − x̃| = |(xn − x) − (x̃ − xn )| ≤ |xn − x| + |xn − x̃| < ε.
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Rechenregeln für Limiten
Seien (an )n≥0 und (bn )n≥0 konvergente Folgen in R mit
limn→∞ an = a
und limn→∞ bn = b .
Dann gilt:
1. limn→∞ (an + bn ) = limn→∞ an + limn→∞ bn = a + b.
2. (∀λ ∈ R) : limn→∞ (λ an ) = λ limn→∞ an = λ a.
3. limn→∞ (an bn ) = (limn→∞ an )(limn→∞ bn ) = ab.
4. Ist b 6= 0, so gilt: limn→∞ bann =
Brückenkurs Mathematik
limn→∞ an
limn→∞ bn
= ba .
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Monotonie Beschränktheit reeller Zahlenfolgen
Definition
Sei (an )n≥0 eine Folge reeller Zahlen und a ∈ R.
1. (an )n≥0 heißt beschränkt, wenn gilt:
(∃M ∈ R)(∀n ∈ N) : |an | ≤ M .
2. (an )n≥0 heißt monoton steigend wenn gilt:
(∀n ∈ N) : an ≤ an+1 .
3. (an )n≥0 heißt monoton fallend wenn gilt:
(∀n ∈ N) : an ≥ an+1 .
I
I
Solche Eigenschaften sind wichtig, weil sich aus ihnen viel
ableiten lässt!
Z.B: ”Monoton + beschränkt ⇒ konvergent“.
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Heron–Verfahren (Babylonian Method)
Theorem
Seien a ∈ R>0 und x0 ∈ R>0 . Sei (xn )≥1 die rekursiv definierte
Folge
xn + xan
.
(∀n ∈ N) : xn+1 =
2
√
Dann konvergiert (xn )≥1 in R und es gilt: limn→∞ xn = a.
Beweis.
1. Konvergenz (Monotonie und Beschränktheit).
2. Fixpunktgleichung.
Weitere Fragen: Approximationsgenauigkeit des n–ten
Folgengliedes, Approximationsgeschwindigkeit, ...
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Differenzierbarkeit
Definition
Sei ∅ 6= D ⊂ R und f : D → R.
1. Sei x0 ∈ D ∩ D 0 . Dann heißt
∆x0 : D\{x0 } → C mit ∆x0 f (x) =
f (x) − f (x0 )
x − x0
der Differenzenquotient von f in x0 . f heißt differenzierbar in x0 , falls
lim (∆x0 f )(x)
x→x0
existiert und man nennt f 0 (x0 ) := limx→x0 (∆x0 f )(x) die Ableitung oder
den Differentialquotienten von von f in x0 .
2. Ist D ⊂ D 0 , so heißt f differenzierbar in D, wenn f für jedes x ∈ D
differenzierbar ist. In diesem Fall nennt man f 0 : D → C mit
f : x → f 0 (x), die Ableitung von f .
3. Bemerkung: Differenzierbarkeit ist eine lokale Eigenschaft.
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Differenzierbarkeit (Schule)
Definition
Sei f : D ⊂ R → R eine Abbildung und x0 ∈ D.
1. Sei x0 ∈ D. f heißt differenzierbar in x0 , falls der Grenzwert
f 0 (x0 ) := lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
existiert und nennen f 0 (x0 ) die Ableitung von f in x0 .
2. f heißt differenzierbar, wenn f differenzierbar in x ist für alle x ∈ D. Wir
nennen die Abbildung
D → R
f0 =
x 7→ f 0 (x)
die (erste) Ableitung von f .
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Die Ableitung von x 2
Beispiel
f : R → R mit f (x) = x 2 ist differenzierbar.
Beweis.
Wir zeigen, dass f (x) = x 2 differenzierbar ist, für alle x0 ∈ R. Sei
x0 ∈ R. Dann gilt:
f (x0 + h) − f (x)
(x0 + h)2 − x02
= lim
=
h→0
h→0
h
h
x 2 + 2x0 h + h2 − x02
lim 0
=
h→0
h
2x0 h + h2
lim
=
h→0
h
lim 2x0 + h = 2x0 .
lim
h→0
Also ist f (x) = x 2 differenzierbar und f 0 (x) = 2x.
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Rechenregeln
Lemma
Seien f , g : D ⊂ R → R differenzierbar und λ ∈ R. Dann gilt:
1. f ist stetig.
2. Die Funktionen f + g , λf und fg sind differenzierbar und es gilt:
(f + g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x),
(λf )0 (x), = λf 0 (x)
(fg )0 (x) = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x) .
3. Sei f (x) 6= 0 für alle x ∈ D. Dann ist
g 0
f
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(x) =
g
f
differenzierbar und es gilt:
g 0 (x)f (x) − g (x)f 0 (x)
.
f (x)2
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Kettenregel (informal)
(g ◦ f )(x) := g (f (x))
(g ◦ f )0 (x) = f 0 (x)g 0 (f (x))
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Ableitungen elementarer Funktionen aus der Schule
I
I
(x n )0 = nx n−1 .
√
x = 2√1 x .
I
exp(x)0 = exp(x).
I
sin(x)0 = cos(x).
I
cos(x)0 = −sin(x).
I
ln(x) = x1 .
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Integralrechnung
Definition (Treppenfunktion)
Seien a, b ∈ R. Eine Funktion f : [a, b] → R heißt reelle Treppenfunktion, wenn
es ein m ∈ N und reelle Zahlen a = a0 < a1 < · · · < am = b gibt, sodass
∀j ∈ {1, ..., m} : f|(aj−1 ,aj ) ist konstant.
Definition (Regelfunktion)
Eine saubere Definition würde den Rahmen der VU bei weitem sprengen!
”Eine Regelfunktion ist eine Funktion, deren einzige Unstetigkeitsstellen
Sprungstellen sind.”
Bsp.: sin
1
x
ist keine Regelfunktion.
Theorem (Approximierbarkeit von Regelfunktionen)
“Jede Regelfunktion lässt sich (gleichmäßig) durch eine Folge von
Treppenfunktionen approximieren”.
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Approximationssatz für Regelfunktionen
Theorem
Jede Regelfunktion auf einem abgeschlossenen Intervall kann durch
eine Folge von Treppenfunktionen gleichmäßig approximiert
werden. Das heißt, zu jeder Regelfunktion f : [a, b] 7→ R existiert
eine Folge (hn )n≥1 von Treppenfunktionen, so dass :
lim kf − hn k∞ = 0
n→∞
gilt, wobei k·k∞ die Supremumsnorm ist.
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Existenz der Stammfunktion
I
Für Treppenfunktionen kann man die Stammfunktion einfach
als “Summe der Rechtecke” definieren.
I
Für Regelfunktionen f : [a, b] 7→ R definiert man die
Stammfunktion als den Grenzwert der Stammfunktionen einer
(beliebigen) Folge von Treppenfunktionen, die f
approximieren.
I
Wir schreiben für die Stammfunktion von f
Z b
Z b
f =
f (x)dx = [F ]ba = F (b) − F (a) .
a
und nennen
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a
Rb
a
f das bestimmte Integral von f von a bis b.
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Rechenregeln
Theorem
Sei I ⊂ R ein Intervall, seien f , g Regelfunktionen, λ ∈ R und
a, b, c ∈ I . Dann ist:
Rb
Rc
Rb
I
f = a f + c f.
a
Ra
I
a f = 0.
Rb
Ra
I
a f =− b f.
Rb
Rb
I
(λf
)
=
λ
a
a f.
Rb
Rb
Rb
I
a (f + g ) = a f + a g .
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Stammfunktionen gängiger Funktionen
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