Einheit 2 - Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

Brückenkurs Mathematik
Elementare Logik
Andreas Kucher
[email protected]
Institute for Mathematics and Scientific Computing
Karl-Franzens-Universität Graz
Graz, September 5, 2015
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Hinweis zu den Folien
Diese Folien sind derart konzipiert, dass sie ohne weitere
Erklärungen eher schwer nachzuvollziehen sind. Sie sollen uns als
roter Faden für die VU dienen. Weiters ist zu beachten, dass
Genauigkeit und Wissenschaftlichkeit unter dem propädeutischen
Charakter des Brückenkurses leiden müssen. An einigen Stellen
sollen vordringlich Ideen und Denkweisen vermittelt werden!
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Warum Collegium Logicum?
Mephistopheles:
Gebraucht der Zeit, sie geht so schnell von hinnen,
Doch Ordnung lehrt Euch Zeit gewinnen.
Mein teurer Freund, ich rat Euch drum
Zuerst Collegium Logicum.
Da wird der Geist Euch wohl dressiert,
In spanische Stiefeln eingeschnürt,
Daß er bedächtiger so fortan
Hinschleiche die Gedankenbahn,
Und nicht etwa, die Kreuz und Quer,
Irrlichteliere hin und her.
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Aussagen
I
Aussagen sind die Grundlagen einer jeden Wissenschaft.
I
(Logische) Aussagen sind Sätze, die wahr oder falsch sein
können. (Dies hat nichts damit zu tun, ob wir die Wahrheit
feststellen können; vgl. Epistemologie und Ontologie.)
Beispiele:
I
I
I
I
I
I
Es regnet jetzt. (Aussage)
3 + 4. (keine Aussage)
3 + 4 = 7. (Aussage)
3 + x = 7. (keine Aussage, solange x nicht bekannt ist)
Der Brückenkurs ist langweilig. (?)
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Motivation
Theorem (Satz von Caratheodory)
Es sei U ⊂ C eine einfach zusammenhängende, offene Teilmenge
der komplexen Ebene, deren Rand
f : U → D2
stetig zu einem Homöomorphismus des Abschlusses
cl(U) = U ∪ ∂(U)
2
f : cl(U) → D
2
auf die abgeschlossene Kreisscheibe D = {z ∈ C : kzk ≤ 1}
fortsetzen. Insbesondere ist f |Γ ein Homöomorphismus
f |Γ : Γ → S 1 .
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Verknüpfung von Aussagen
I
p: 4 ist eine gerade Zahl; wahr(?)
I
q: 4 ist durch 3 teilbar; falsch(?)
Seien p, q Aussagen. Wir können Aussagen verknüpfen:
I
I
I
I
I
und (∧): p ∧ q
oder (∨): p ∨ q
Negation (¬): ¬p
Wahrheitstabelle: Tabellarische Aufstellung des
Wahrheitswertverlaufs einer logischen Aussage.
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Implikation – Biimplikation
I
Implikation ⇒
I
I
I
I
I
I
Biimplikation ⇔
I
I
I
I
I
I
Wenn das Semester beginnt, dann studiere ich fleißig.
p: Das Semester beginnt.
q: Ich studiere fleißig.
Wichtig: Keine Aussage über die Wahrheit von p und q.
Wahrheitstabelle
Ich studiere fleißig, genau dann (dann und nur dann) wenn das
Semester beginnt.
p: Das Semester beginnt.
q: Ich studiere fleißig.
Wichtig: Keine Aussage über die Wahrheit von p und q.
Wahrheitstabelle
Wichtige Konvention: ¬ vor ∨,∧ vor ⇔,⇒.
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Tautologien und Kontradiktionen
I
Tautologie: Zusammengesetzte Aussage, die immer wahr ist.
z.B.: p ∨ (¬p).
I
Kontradiktion: Zusammengesetzte Aussage, die immer falsch
ist.
z.B.: p ∧ (¬p).
Lässt sich p ⇒ q anders ausdrücken?
I
I
I
Wichtig: (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
I
I
Tautologie: ¬(p ⇒ q) ⇔ (¬q ∧ p) (Wahrheitstabelle)
Übung! (Wahrheitstabelle)
Übung: DeMorgansche Regeln!
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Andreas Kucher
Prädikatenlogik
I
Ausdrücke mit Variablen
I
Problem: Sie sind keine Aussagen (z.B. x > 0; was ist x?)
Lösung:
I
i) Belegen der Variablen mit einem konkreten Wert.
ii) Verwendung von Quantoren.
I
Allquantor ∀:
I
I
I
I
I
Sei p eine Aussage und M eine Menge
∀x : p(x)
Für alle x in M gilt p(x).
Beispiel: ∀x ∈ M : x > 0
Beispiel: ∀x ∈ Q : x 2 ∈ Q
I
Existenzquantor ∃:
I
∃x : p(x)
I
Es existiert ein x ∈ M sodass gilt: p(x).
I
Beispiel: ∃x ∈ Z : 4x + 4 = 0.
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Miscellen zu Quantoren
I
Es gibt genau ein...
I
I
I
Es existiert ein... bedeutet: Es existiert mindestens ein..
Wie sieht es mit “es gibt genau ein” aus?
Lösung:
∃x : (p (x) ∧ (∀y : (p (y ) ⇒ y = x))) .
I
I
Notation: ∃!x : p(x)
Man kann auch Aussagen mit Quantoren negieren (und
verknüpfen).
Überlegen Sie nun selbst!
I
I
¬(∀x : p(x)) ⇔?
¬(∃x : p(x)) ⇔?
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher
Rechenübungen
1. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x1 + 2x2 = 1 und
3x1 + 6x2 = 3.
2. Ist die Gleichung −3x 2 + 5x − 1 = −2x 2 + 4x +
lösbar?
1
4
über R
3. Lösen Sie die Betragsungleichung |x + 1| < 3 über R
4. Ist die Aussage 20142015 < 20152014 wahr? (Taschenrechner)
Brückenkurs Mathematik
Andreas Kucher