Brückenkurs Mathematik - Mengenlehre
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Brückenkurs Mathematik Mengenlehre Andreas Kucher [email protected] Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015 Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Hinweis zu den Folien Diese Folien sind derart konzipiert, dass sie ohne weitere Erklärungen eher schwer nachzuvollziehen sind. Sie sollen uns als roter Faden für die VU dienen. Weiters ist zu beachten, dass Genauigkeit und Wissenschaftlichkeit unter dem propädeutischen Charakter des Brückenkurses leiden müssen. An einigen Stellen sollen vordringlich Ideen und Denkweisen vermittelt werden! Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Über die Mengenlehre Unter einer Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von ” ” bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente“ von M genannt ” werden) zu einem Ganzen.“ G. Cantor I Extensionalitätsprinzip: Mengen werden durch ihre Elemente eindeutig festgelegt. I Die leere Menge ∅. I Heute: ZF–Mengenlehre http://de.wikipedia.org/wiki/ Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Mengen angeben I Durch Aufzählung der Elemente. I I I z.B. {1, 2, 3, 4} {1, 1, 2} = {1, 2} Durch Aussageformen (prädikaitve Definition). I I I I I I Eigenschaft, die alle Elemente der Menge erfüllen. M = {x | p(x)}. Tautologie: y ∈ {x | p(x)} ⇔ p(y ). Wir beziehen hier uns immer auf eine Grundmenge! Vorsicht: Betrachte die “Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten”. Konsequenz: Wir Arbeiten mit bereits “existierenden” Mengen. Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Mengenoberationen I Vereinigung “∪” A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. I Durchschnitt “∩“ A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. I Differenz ”\“ A\B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ / B}. I Teilmenge ”⊂“ A ⊂ B :⇔ (∀x ∈ A) : x ∈ B. I Ein Beweis: A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ). I Übung: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ). I Übung: Überlegen Sie, welche Definition für eine ”echte Teilmenge ( Sinn machen könnte! Also A ( B :⇔... Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Kartesisches Produkt Definition Seien A1 , A2 nichtleere Mengen. Für a1 ∈ A1 und a2 ∈ A2 definieren wir das Paar (a, b) durch (a1 , a2 ) := {{a1 }, {a1 , a2 }} . Lemma Seien A1 , A2 nichtleere Mengen und a1 , a˜1 ∈ A1 , a2 , a˜2 ∈ A2 . Es gilt {{a1 }, {a1 , a2 }} = {{a˜1 }, {a˜1 , a˜2 }} . dann und nur dann, wenn a1 = a˜1 und a2 = a˜2 . Ohne Beweis. I Aufgabe: Geben Sie für A1 , A2 , A3 und a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , a3 ∈ A3 (a1 , a2 , a3 ) als Menge an! Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Das kartesische Produkt Definition Seien A, B Mengen mit A, B 6= ∅. Dann ist das kartesische Produkt von A und B definiert durch A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} . I I Beispiele Beweis: Seien A, B, C 6= ∅. Dann gilt (A ∪ B) × C = (A × B) ∪ (B × C ). Definition Sei n ∈ N und Ai , i = 1, ..., n Mengen mit Ai 6= ∅. Dann ist das kartesische Produkt von Ai , i = 1, .., n definiert durch A1 × ... × An := n Y Ai = {(a1 , ..., an ) | ai ∈ Ai , i = 1, .., n} . i=1 Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Noch einmal die leere Menge Für die leere Menge wird (innerhalb der Logik notwendig) festgelegt: I ∃x ∈ ∅ : p(x) ist immer falsch! I ∀x ∈ ∅ : p(x) ist immer wahr! Wie könnte man nun die leere Menge formal definieren? Und... gibt es genau eine leere Menge? Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Exkurs: Summen– und Produktschreibweise I Summenschreibweise I I I I I I Wie können wir die Summe 1 + 2 + ... + 10 “sauber” aufschreiben? Aus gutem Grund mögen Mathematiker “...” nicht gerne... Ausweg: Summennotation (lässt sich formal stringent begründen!) P10 Wir schreiben: i=1 i. P1 Leere Summe: z.B. i=2 i := 0 Produktschreibweise I I I Wie können wir das Produkt von 1 · 2 · ... · 10 “sauber” aufschreiben? Q 10 Wir schreiben: i=1 i. Q1 Leeres Produkt: z.B. i=2 i := 1 Übung: Summe aller geraden/ungeraden Zahlen von 1 bis 100. Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Intervalle als Teilmengen von R Definition Eine Teilmenge I ⊂ R heißt Intervall, wenn es a, b ∈ R mit a < b gibt, sodass die Menge I eine der folgenden vier Formen hat: I [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}. I (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}. I [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}. I (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}. Man nennt a, b die Eckpunkte von I . Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher Rechenübungen Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß–Jordan–Verfahren: 1x1 + 1x2 − 1x3 = 15 8x1 − 1x2 + 3x3 = 13, 5x1 + 3x2 − 10x3 = 14 Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß–Verfahren: 1x1 0x1 1x1 2x1 Brückenkurs Mathematik + + + + 0x2 1x2 2x2 1x2 + − − + 1x3 2x3 1x3 3x3 + + + − 2x4 0x4 0x4 2x4 = = = = 6, −3, −2, 0. Andreas Kucher Rechenübungen Berechnen/Vereinfachen Sie: 1 1 3 (84 ) , 2 r a + b (u + v )2 u 2 −v 2 u 2 +v 2 , r ! √ √ b 8− 2 √ . , √ a 8+ 2 9b 3 20b −4 · . 25a−4 16a2 3 Leiten Sie die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen her, also Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, c ∈ R . Tipp: Subtrahieren Sie zunächst c und multiplizieren Sie dann mit einem passenden Vielfachen von a. Brückenkurs Mathematik Andreas Kucher
