Semestralpr ¨ufung – Technische Mechanik III Angabenbogen - FSMB

Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Semestralprüfung – Technische Mechanik III
Angabenbogen
Prüfer: Prof. W. A. Wall
Dienstag, 15. Juli 2008, 17:15–18:15 Uhr
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Matrikelnummer:
Bitte beachten
• Es wird ausschließlich der Bearbeitungsbogen bewertet.
• Weitere Hinweise befinden sich auf dem Bearbeitungsbogen.
• Es dürfen prinzipiell keine individuellen inhaltlichen Fragen beantwortet werden. Sollte Ihrer
Meinung nach eine vermeintliche inhaltliche Unklarheit in der Fragestellung bestehen, ist dies
als Frage schriftlich auf der Rückseite der letzten Seite des Bearbeitungsbogens zu stellen.
Machen Sie sich durch ein Handzeichen bemerkbar. Die Frage wird geprüft, und gegebenenfalls werden die nötigen Informationen allen Studenten gleichzeitig zugänglich gemacht.
A1
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 1
(12 Punkte)
Ein ruhender homogener starrer Balken (Länge 3`, vernachlässigbare Querschnittsabmessungen,
Masse M ) ist im Punkt A gelenkig gelagert. Auf ihn zu bewegt sich eine homogene starre Scheibe (Radius r, Schwerpunkt G, Masse m, Massenträgheitsmoment IG um die Z-Achse durch den
vor in X-Richtung
Schwerpunkt G). Dabei besitzt sie die konstante Schwerpunktsgeschwindigkeit vG
und die konstante Winkelgeschwindigkeit ω vor um die Z-Achse. Beim Auftreffen der Scheibe auf
den Balken im Punkt B bleibt der Kontaktpunkt der Scheibe im Punkt B haften.
vor , ω vor , Koordinatensystem: XY Z Rechtssystem ruhend
Gegebene Größen: `, r, M , m, IG , vG
Y
A
X
2ℓ
M
2r
3ℓ
G
m , IG
B
vor
vG
Ω
ω vor
1.a)
ℓ
Formulieren Sie die Drallerhaltung des Gesamtsystems bezüglich des Punktes A über den
Stoß hinweg. Geben Sie die Gleichung in Abhängigkeit der gegebenen Größen und unbekannten Winkelgeschwindigkeiten der Scheibe ω nach und des Balkens Ωnach unmittelbar
nach dem Stoß an.
1.b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω nach der Scheibe unmittelbar nach dem Stoß.
A2
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 2
(6 Punkte)
Gegeben ist das dargestellte System mit vier Starrkörpern (Stäbe 1 und 3 , Quadratscheibe 2
und Kreisscheibe 4 ). Sie sind jeweils gelenkig miteinander verbunden. Die Quadratscheibe gleitet
auf dem horizontalen Grund ohne abzuheben, die Kreisscheibe rollt an der vertikalen Wand ab,
ohne zu gleiten. Die Abmessungen und Lagerungen sind eingezeichnet. Nun wird der Stab 1
durch Erwärmung mit der Geschwindigkeit v verlängert.
Gegebene Größen: `, r, v
ℓ
ℓ
ℓ
r
r
Rollen
4
3
ℓ
2
2
ℓ
ℓ
1
Gleiten
2.a)
Konstruieren Sie im Bearbeitungsbogen die Momentanpole der Scheiben 2 bis 4 für die
dargestellte Lage. Bezeichnen Sie diese mit (0, i). Die Postitonen sind eindeutig zu kennzeichnen und zu beschriften, ein gegebenenfalls im Unendlichen liegender Pol ist mit einem
(0, i)∞ -beschrifteten Polstrahl anzugeben.
2.b) Berechnen Sie den Betrag der Winkelgeschwindigkeit |ω| der Scheibe 4 infolge der
Erwärmung des Stabes 1 für die gezeichnete Lage.
A3
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 3
(11 Punkte)
Der Hebel AB rotiert ab dem Zeitpunkt t = 0 aus der horizontalen Anfangslage (Ω = 0) mit der
in der Zeichnung gegebenen konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω̇ um den Punkt A. Durch eine
Feder wird der Kontaktpunkt K auf die vertikale Wand gedrückt und sichergestellt, dass er nicht
abhebt. Der horizontale Abstand von A und der Wand ist mit h gegeben. Betrachtet werden Winkel
Ω zwischen 0◦ und 45◦ .
Gegebene Größen: h, Ω, Ω̇, t, Koordinatensystem xy Rechtssystem bewegt mit Hebel AB
B
h
K
x
A
Ω, Ω̇
y
3.a)
Formulieren Sie den Ortsvektor rK (t) zum Punkt K im Koordinatensystem xy.
3.b) Berechnen Sie den Vektor der relativen Geschwindigkeit v K,rel (t) des Punktes K bezüglich
des Hebels AB im Koordinatensystem xy.
Ab hier ist Ihnen der Vektor v K,rel (t) im Koordinatensystem xy gegeben.
3.c)
Berechnen Sie den Vektor der absoluten Geschwindigkeit v K (t) des Punktes K im Koordinatensystem xy.
A4
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 4
(17 Punkte)
Der starre, homogene Stab AB der Masse M ist an beiden Enden verschieblich gelagert und im
Punkt A zusätzlich durch eine Feder der Steifigkeit k gehalten. Im Punkt C ist gelenkig der starre,
homogene Stab CD der Masse m angeschlossen. Zwischen Punkt B und D ist eine Parallelschaltung einer Feder (Steifigkeit k) und eines Dämpfers (Dämpferkonstante c) angeordnet. Die Abmessungen sind eingezeichnet. Es wirkt die Schwerkraft g, das System ist als eben zu betrachten.
Die Aufgabe soll mit Hilfe des LAGRANGE’schen Formalismus bearbeitet werden. Verwenden
Sie die eingezeichneten, generalisierten Koordinaten x (vertikale Bewegung des Punktes B nach
unten) und ϕ (absolute Verdrehung des Stabes CD aus der horizontalen Lage im Uhrzeigersinn).
Dabei ist das System für sehr kleine Bewegungen zu betrachten (x ¿ `, sin ϕ ≈ ϕ, cos ϕ ≈ 1).
Gegebene Größen: `, M , m, k, c, g
Zu verwendende Koordinaten: x, ϕ
g
ℓ
ℓ
B
x
c
ℓ
m
C
ϕ
M
A
k
D
ℓ
k
2ℓ
4.a)
Bestimmen sie die nichtkonservativen, generalisierten Kräfte Ξx und Ξϕ .
4.b) Stellen Sie die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems in Abhängigkeit von x, ẋ, ϕ und ϕ̇ auf.
Zusätzlich gegebene Größe: Ξϕ
4.c)
Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung bezüglich der generalisierten Koordinate ϕ. Die
nichtkonservative, generalisierte Kraft Ξϕ ist Ihnen hierfür gegeben.
A5
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 5
(14 Punkte)
Die masselose Platte ABCD ist an drei Festlagern gelenkig angeschlossen und rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um die Y -Achse. In dieser Scheibe wiederum rotiert eine homogene, starre Kreisscheibe um die z-Achse durch ihren Schwerpunkt S mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Die Masse M der Kreisscheibe und die Hauptträgheitsmomente der Kreisscheibe
bezüglich ihres Schwerpunktes sind mit Ix , Iy und Iz im xyz-Koordinatensystem gegeben, welches
auf die Platte eingeprägt ist.
Gegebene Größen: `, b, M , Ix , Iy , Iz , Ω, ω, Zwischenwinkel d. Koordinatensysteme β
Koordinatensysteme: Rechtssysteme xyz mit Platte ABCD mitbewegt, XY Z ruhend
C
Kreisscheibe
S
B
ω
Z
Ω
x
z
D
β
y, Y
P
b
X
β
ℓ
A
b
AZ
5.a)
Berechnen Sie den absoluten Drallvektor H S der Kreisscheibe bezüglich ihres Schwerpunktes S in xyz-Koordinaten.
5.b) Berechnen Sie den Vektor des relativen Dralls H P,rel der Kreisscheibe bezüglich des Punktes P in xyz-Koordinaten.
Zusätzlich gegebene Größe: H P,rel = (0, Hy , Hz )Txyz
5.c)
Berechnen Sie die Auflagerkraft am Punkt A in Z-Richtung AZ in ihrer eingezeichneten,
positiven Wirkungsrichtung.
A6
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Semestralprüfung – Technische Mechanik III
Bearbeitungsbogen
Prüfer: Prof. W. A. Wall
Dienstag, 15. Juli 2008, 17:15–18:15 Uhr
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Hörsaal:
Sitzplatz:
Vorname:
Studiengang:
Matrikelnummer:
Hinweise
• Die Angabe besteht aus 5 Aufgaben auf den Seiten A1–
A6. Der Bearbeitungsteil besteht aus den Seiten B1–B7.
Die Bögen bitte zusammengeheftet lassen!
• Tragen Sie zuerst Ihren Namen, Vornamen und Ihre Matrikelnummer in die oben dafür vorgesehenen Felder ein.
• Die Bearbeitungszeit beträgt 60 Minuten.
• Beantworten Sie nur die vorgelegten Fragen an den dafür
vorgesehenen Stellen auf dem Bearbeitungsbogen. Reicht
der Platz nicht aus, dann verwenden Sie bitte die Rückseiten des Bearbeitungsbogens.
• Ergebnisse müssen in die vorgesehenen Kästen bzw.
Zeichnungen eingetragen werden.
• Alle Ergebnisse sind in den gegebenen Größen und Koordinaten anzugeben, sofern nichts anderes verlangt ist.
Formel- und Bruchausdrücke müssen nicht vereinfacht
oder zusammengefasst werden.
• Zugelassene Hilfsmittel: Formelsammlung (12 Blätter DIN
A4 ohne inhaltliche Beschränkung) und ein nicht-programmierbarer Taschenrechner.
• Verwenden Sie bitte keine grüne Farbe!
B1
Bitte nicht ausfüllen!
1
2
3
4
5
Σ
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 1
Aufgabe 1.a)
Drallerhaltung:
Aufgabe 1.b)
ω nach =
B2
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 2
Aufgabe 2.a)
4
3
2
1
Aufgabe 2.b)
|ω| =
B3
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 3
Aufgabe 3.a)
rK (t) =
Aufgabe 3.b)
v K,rel (t) =
Aufgabe 3.c)
v K (t) =
B4
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 4
Aufgabe 4.a)
Ξx =
Ξϕ =
Aufgabe 4.b)
T =
V =
Aufgabe 4.c)
Bewegungsgleichung:
= Ξϕ
B5
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 5
Aufgabe 5.a)
HS =
Aufgabe 5.b)
H P,rel =
B6
Semestralprüfung – Technische Mechanik III, 15. Juli 2008
Aufgabe 5.c)
AZ =
B7