Semestralpr ¨ufung – Technische Mechanik 3 Angabenbogen - FSMB

Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3
Angabenbogen
Prüfer: Prof. W. A. Wall
Mittwoch, 08. 02. 2012, 13:15 – 14:45 Uhr
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Vorname:
Matrikelnummer:
Bitte beachten
• Es wird ausschließlich der Bearbeitungsbogen bewertet.
• Weitere Hinweise befinden sich auf dem Bearbeitungsbogen.
• Es dürfen prinzipiell keine individuellen inhaltlichen Fragen beantwortet werden. Sollte Ihrer
Meinung nach eine vermeintliche inhaltliche Unklarheit in der Fragestellung bestehen, ist dies
als Frage schriftlich auf der Rückseite der letzten Seite des Bearbeitungsbogens zu stellen.
Machen Sie sich durch ein Handzeichen bemerkbar. Die Frage wird geprüft, und gegebenenfalls werden die nötigen Informationen allen Studenten gleichzeitig zugänglich gemacht.
A1
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 1 (20 Punkte)
Ein ruhender, starrer Balken (Länge 3ℓ, Querschnittsfläche A) ist im Punkt P gelenkig gelagert. Seine Dichteverteilung ist gegeben als ρ(s) mit der Balkenlängskoordinate s. Auf ihn zu bewegt sich
eine homogene starre Scheibe (Radius r, Schwerpunkt G, Masse m, Massenträgheitsmoment IG
um die Z-Achse durch den Schwerpunkt G). Dabei besitzt sie die konstante Schwerpunktsgevor in X-Richtung und die konstante Winkelgeschwindigkeit ω vor um die Z-Achse.
schwindigkeit vGX
Der Stoß erfolgt ideal plastisch. Unmittelbar nach dem Stoß rollt die Scheibe ohne zu gleiten auf
dem Stab ab.
vor , ω vor , ρ(s) = ρ 1 − s
Gegebene Größen: ℓ, r, A, m, IG , vGX
0
3ℓ
Gegebene Koordinatensysteme: (P, XY Z) Rechtssystem ruhend, Balkenlängskoordinate s
Y
X
P
s
2ℓ
A
2r
3ℓ
G
m , IG
B
vor
vGX
Ω
ω vor
ℓ
Alle Teilaufgaben sind unabhängig voneinander lösbar.
1.a)
Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment IP des Stabes bezügich des Punktes P um die
Z-Achse mittels Integration.
Für den weiteren Verlauf der Aufgabe ist das Massenträgheitsmoment IP des Stabes bezüglich
des Punktes P als gegeben anzunehmen.
Zusätzlich gegebene Größe: IP
1.b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeiten ω nach der Scheibe und Ωnach der Stange unmittelbar nach dem Stoß.
Für den weiteren Verlauf der Aufgabe sind die Winkelgeschwindigkeiten ω nach der Scheibe und Ωnach
nach und v nach
der Stange unmittelbar nach dem Stoß sowie die Geschwindigkeitskomponenten vGX
GY
des Scheibenschwerpunkts unmittelbar nach dem Stoß als gegeben anzunehmen.
nach , v nach
Zusätzlich gegebene Größen: ω nach , Ωnach , vGX
GY
1.c)
Bestimmen Sie den Energieverlust ∆E über den Stoß hinweg.
A2
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Gegeben ist das dargestellte System mit vier Starrkörpern (Stäbe 1 und 3 , Quadratscheibe 2
und Kreisscheibe 4 ). Sie sind jeweils gelenkig miteinander verbunden. Die Quadratscheibe gleitet
auf dem horizontalen Grund ohne abzuheben, die Kreisscheibe rollt an der vertikalen Wand ab,
ohne zu gleiten. Abmessungen und Lagerbedingungen sind der Skizze zu entnehmen.
Der Stab 1 wird durch Erwärmung mit der Geschwindigkeit v verlängert.
Gegebene Größen: ℓ, r, v
ℓ
ℓ
ℓ
r
r
Rollen
4
3
ℓ
2
2
ℓ
ℓ
1
Gleiten
2.a)
Konstruieren Sie im Bearbeitungsbogen die Momentanpole der Scheiben 2 bis 4 für die
dargestellte Lage. Bezeichnen Sie diese mit (0, i). Die Positionen sind eindeutig zu kennzeichnen und zu beschriften, ein gegebenenfalls im Unendlichen liegender Pol ist mit einem
(0, i)∞ -beschrifteten Polstrahl anzugeben.
2.b) Berechnen Sie den Betrag der Winkelgeschwindigkeit |ω| der Scheibe 4 infolge der
Erwärmung des Stabes 1 für die gezeichnete Lage.
A3
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 3 (18 Punkte)
Der Hebel AB rotiert mit der in der Zeichnung gegebenen Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung α um den Punkt A. Durch eine Feder der Steifigkeit k wird der Kontaktpunkt K auf die
vertikale Wand gedrückt und sichergestellt, dass er nicht abhebt. Der horizontale Abstand von A
zur Wand ist mit h gegeben. Die Feder ist so vorgespannt, dass sie in der Lage ϕ = 0◦ bereits um
die Länge h gestaucht ist. Betrachtet werden Winkel ϕ zwischen 0◦ und 45◦ .
Gegebene Größen: h, ϕ, ω, α, k
Gegebene Koordinatensysteme: (A, xyz)-Rechtssystem bewegt mit Hebel AB
k
B
h
K
x
A
ϕ, ω, α
y
Die Teilaufgabe 3.c) ist unabhänigig von den Teilaufgaben 3.a) und 3.b) lösbar.
3.a)
Berechnen Sie den Vektor der Relativgeschwindigkeit v K,rel zwischen dem Punkt K und dem
Hebel AB, dargestellt im bewegten (A, xyz)-System.
3.b) Berechnen Sie den Vektor der absoluten Beschleunigung aK,abs des Punktes K, dargestellt
im bewegten (A, xyz)-System.
Die nachfolgende Teilaufgabe kann unabhängig von den vorhergegangenen Teilaufgaben gelöst
werden.
3.c)
Berechnen Sie das Federpotential Ve in Abhängigkeit des Winkels ϕ und der gegebenen
Größen.
A4
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 4 (30 Punkte)
Der starre, homogene Stab AB der Masse M ist an beiden Enden verschieblich gelagert und im
Punkt A zusätzlich durch eine Feder der Steifigkeit k gehalten. Im Punkt C ist gelenkig der starre,
homogene Stab CD der Masse m angeschlossen. Zwischen den Punkten B und D ist eine Parallelschaltung einer Feder (Steifigkeit k) und eines Dämpfers (Dämpferkonstante c) angeordnet. Die
Abmessungen sind eingezeichnet. Es wirkt die Erdbeschleunigung g. Das System ist als eben zu
betrachten.
Verwenden Sie die eingezeichneten, generalisierten Koordinaten q = [x ϕ]T . Dabei beschreibt x
die vertikale Bewegung des Punktes B nach unten und ϕ die absolute Verdrehung des Stabes CD
aus der horizontalen Lage im Uhrzeigersinn. Das System ist nur für sehr kleine Auslenkungen
zu betrachten (x ≪ ℓ, sin ϕ ≈ ϕ, cos ϕ ≈ 1). Für alle Rechenschritte und Ergebnisse sind die
Kleinwinkelnäherungen von Anfang an zu berücksichtigen.
Gegebene Größen: ℓ, M , m, k, c, g
Gegebenes Koordinatensystem: Inertialsystem (Ô, XY Z)
Zu verwendende Koordinaten: q = [x ϕ]T
g
ℓ
ℓ
B
x
Ô
Y
c
ϕ
M
A
ℓ
m
C
X
k
D
ℓ
k
2ℓ
Beachten Sie die Hinweise zwischen den Teilaufgaben, die Ihnen zeigen, welche Teilaufgaben
unabhängig voneinander lösbar sind.
4.a)
Bestimmen sie die nichtkonservativen, generalisierten Kräfte Qx und Qϕ .
4.b) Stellen Sie die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems in Abhängigkeit von x, ẋ, ϕ und ϕ̇ auf.
Zusätzlich gegebene Größe: Qϕ
4.c)
Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung bezüglich der generalisierten Koordinate ϕ. Die
nichtkonservative, generalisierte Kraft Qϕ ist Ihnen hierfür gegeben.
A5
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Die weiteren Teilaufgaben sind unabhängig von den vorhergegangenen Teilaufgaben lösbar.
Nun sind Ihnen die folgenden Bewegungsgleichungen des Systems gegeben, wobei einige Zahlenwerte eingesetzt wurden.
5ẍ + ϕ̈ + 3x + 2ϕ = 5
ẍ + 5ϕ̈ + 2x + 3ϕ = 5
4.d) Ermitteln Sie alle Eigenfrequenzen ωi des Systems.
4.e)
Ermitteln Sie die zur ersten Eigenfrequenz ω1 zugehörige Eigenform c1 des Systems und
skizzieren Sie diese.
A6
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 5 (16 Punkte)
Die masselose Platte ABCD ist an zwei Lagern wie skizziert gelenkig angeschlossen und rotiert mit
der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um die Y -Achse. In dieser Scheibe wiederum rotiert eine
homogene, starre Kreisscheibe um die z-Achse durch ihren Schwerpunkt G mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Die Masse M der Kreisscheibe und die Hauptträgheitsmomente der Kreisscheibe bezüglich ihres Schwerpunktes sind mit Ix , Iy und Iz im (P, xyz)-Koordinatensystem gegeben,
welches fest mit der Platte ABCD verbunden ist. Der Winkel zwischen beiden Koordinatensystem
ist β.
Gegebene Größen: ℓ, b, M , Ix , Iy , Iz , Ω, ω, Zwischenwinkel der Koordinatensysteme β
Koordinatensysteme: Rechtssysteme (P, XY Z) ruhend, (P, xyz) mit Platte ABCD mitbewegt
C
Kreisscheibe
G
B
ω
Z
Ω
x
z
D
y, Y
β
X
β
ℓ
P
A
b
b
AZ
Die Teilaufgabe 5.c) ist unabhängig von den Teilaufgaben 5.a) und 5.b) lösbar.
5.a)
Berechnen Sie den absoluten Drallvektor H G der Kreisscheibe bezüglich ihres Schwerpunktes G im (P, xyz)-System.
5.b) Berechnen Sie den Vektor des relativen Dralls H P,rel der Kreisscheibe bezüglich des Punktes P im (P, xyz)-System.
Zusätzlich gegebene Größe: H P,rel = (0, Hy , Hz )Txyz , wobei Hy und Hz zeitlich konstant sind.
5.c)
Berechnen Sie die Auflagerkraft AZ am Punkt A in Z-Richtung in ihrer eingezeichneten,
positiven Wirkungsrichtung.
A7
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3
Bearbeitungsbogen
Prüfer: Prof. W. A. Wall
Mittwoch, 08. 02. 2012, 13:15 – 14:45 Uhr
Name:
Hörsaal:
Sitzplatz:
Vorname:
Studiengang:
Matrikelnummer:
Hinweise
• Die Angabe besteht aus 5 Aufgaben auf den Seiten A1–
A7. Der Bearbeitungsteil besteht aus den Seiten B1–B14.
Die Bögen bitte zusammengeheftet lassen!
• Tragen Sie zuerst Ihren Namen, Vornamen und Ihre Matrikelnummer in die oben dafür vorgesehenen Felder ein.
• Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.
• Beantworten Sie nur die vorgelegten Fragen an den dafür
vorgesehenen Stellen auf dem Bearbeitungsbogen. Reicht
der Platz nicht aus, dann verwenden Sie bitte die Rückseiten des Bearbeitungsbogens.
• Ergebnisse müssen in die vorgesehenen Kästen bzw.
Zeichnungen eingetragen werden.
• Alle Ergebnisse sind in den gegebenen Größen und Koordinaten anzugeben, sofern nichts anderes verlangt ist.
Formel- und Bruchausdrücke müssen nicht vereinfacht
oder zusammengefasst werden.
• Zugelassene Hilfsmittel: Formelsammlung (12 Blätter DIN
A4 ohne inhaltliche Beschränkung) und ein nicht-programmierbarer Taschenrechner.
• Verwenden Sie bitte keine grüne Farbe!
B1
Bitte nicht ausfüllen!
1
2
3
4
5
Σ
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 1
Aufgabe 1.a)
IP =
B2
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 1.b)
ω nach =
Ωnach =
B3
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 1.c)
∆E =
B4
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 2
Aufgabe 2.a)
4
3
2
1
Aufgabe 2.b)
|ω| =
B5
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 3
Aufgabe 3.a)

v K,rel





=











B6
xyz
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 3.b)

aK,abs





=











xyz
B7
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 3.c)
Ve =
B8
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 4
Aufgabe 4.a)
Qx =
Qϕ =
B9
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Aufgabe 4.b)
T =
V =
B10
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 4.c)
Bewegungsgleichung:
= Qϕ
Aufgabe 4.d)
ω1 =
ω2 =
B11
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 4.e)
c1 =
B
x
c
k
C
ϕ
A
k
B12
D
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 5
Aufgabe 5.a)
HG =
Aufgabe 5.b)
H P,rel =
B13
Semestralprüfung – Technische Mechanik 3, 08. 02. 2012
Aufgabe 5.c)
AZ =
B14